Nghiên Cứu Phát Triển Thuật Toán Xây Dựng Máy Cắt Lớp X-Quang

Chuyên khảo kỹ thuật phân tích Xây dựng một phần mềm mới cho máy cắt lớp x quang, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.

• Tác giả: Không rõ
• Người hướng dẫn: Không rõ
• Trường học: Không rõ
• Chuyên ngành: Kỹ thuật X-quang
• Đề tài: Nghiên cứu phát triển thuật toán xây dựng máy cắt lớp X-quang
• Loại tài liệu: Luận văn
• Năm xuất bản: Không rõ
• Địa điểm: Không rõ

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Máy Cắt Lớp X Quang Khám Phá Tiềm Năng

Máy cắt lớp X-quang, hay còn gọi là máy quét CT, là một công cụ chẩn đoán hình ảnh y tế quan trọng. Nó sử dụng tia X-quang để tạo ra hình ảnh chi tiết về cấu trúc bên trong cơ thể. Nghiên cứu và phát triển các thuật toán xây dựng ảnh cho máy cắt lớp X-quang đóng vai trò then chốt trong việc nâng cao chất lượng hình ảnh, giảm thiểu liều lượng bức xạ và cải thiện hiệu quả chẩn đoán. Các thuật toán này liên quan đến thuật toán tái tạo ảnh, hiệu chỉnh ảnh, và giảm nhiễu ảnh CT. Cần chú trọng đến cả phần cứng máy cắt lớp và phần mềm xử lý ảnh y tế. Sự phát triển của công nghệ hình ảnh y học đang mở ra những cơ hội mới trong chẩn đoán và điều trị bệnh.

1.1. Lịch sử phát triển của công nghệ máy cắt lớp X quang

Máy cắt lớp X-quang đã trải qua một lịch sử phát triển lâu dài và đầy ấn tượng. Từ những thiết kế ban đầu đến những hệ thống hiện đại ngày nay, công nghệ này đã chứng kiến những bước tiến vượt bậc về tốc độ, độ phân giải và khả năng ứng dụng. Nghiên cứu về lịch sử phát triển giúp chúng ta hiểu rõ hơn về những thách thức đã vượt qua và định hướng cho tương lai. Các tài liệu nghiên cứu ban đầu thường tập trung vào các vấn đề về độ phân giải hình ảnh CT và liều lượng bức xạ CT. Những cải tiến về phần cứng máy cắt lớp và giải thuật hình ảnh đã đóng góp quan trọng vào sự tiến bộ của công nghệ này.

1.2. Vai trò của máy cắt lớp X quang trong chẩn đoán hình ảnh y tế

Máy cắt lớp X-quang đóng một vai trò không thể thiếu trong chẩn đoán hình ảnh y tế hiện đại. Với khả năng tạo ra hình ảnh chi tiết về cấu trúc bên trong cơ thể, nó giúp các bác sĩ chẩn đoán và theo dõi nhiều loại bệnh lý khác nhau. Ứng dụng lâm sàng CT rất đa dạng, từ chẩn đoán các bệnh về tim mạch, thần kinh đến ung thư và các bệnh lý khác. Theo tài liệu gốc, máy cắt lớp X-quang được áp dụng rộng rãi trong y khoa, nhưng việc sử dụng còn hạn chế do chi phí và công nghệ độc quyền. Do vậy, nghiên cứu và phát triển các thuật toán xây dựng ảnh lớp dữ chiếu là rất quan trọng.

II. Thách Thức Phát Triển Thuật Toán Xây Dựng Ảnh CT Hiện Nay

Việc phát triển thuật toán xây dựng ảnh cho máy cắt lớp X-quang đối mặt với nhiều thách thức. Liều lượng bức xạ CT là một vấn đề quan trọng, cần giảm thiểu để đảm bảo an toàn cho bệnh nhân. Đồng thời, cần duy trì độ phân giải hình ảnh CT cao để đảm bảo chất lượng chẩn đoán. Các yếu tố như nhiễu ảnh, artifact và thời gian tái tạo ảnh cũng cần được cải thiện. Một thách thức khác là tích hợp ứng dụng AI trong y học, đặc biệt là deep learning trong CT, để tự động hóa quá trình phân tích và chẩn đoán hình ảnh. Cuối cùng, việc đảm bảo an toàn bức xạ và tuân thủ các tiêu chuẩn chất lượng ảnh CT là vô cùng quan trọng.

2.1. Giảm nhiễu và loại bỏ artifact trong hình ảnh cắt lớp

Nhiễu và artifact là những vấn đề phổ biến trong hình ảnh cắt lớp, ảnh hưởng đến chất lượng và độ chính xác của chẩn đoán. Các thuật toán giảm nhiễu ảnh CT và loại bỏ artifact đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện hình ảnh. Theo tài liệu, cần nghiên cứu các thuật toán ảnh chính xác cao trong điều kiện dữ chiếu không nhiều, đây là một bài toán khó. Các phương pháp giải thuật lọc ảnh CT và phục hồi ảnh CT đang được nghiên cứu và phát triển để giải quyết vấn đề này.

2.2. Tối ưu hóa liều lượng bức xạ trong quá trình chụp CT

Giảm thiểu liều lượng bức xạ trong quá trình chụp CT là một ưu tiên hàng đầu. Các nghiên cứu tập trung vào việc phát triển các kỹ thuật chụp ảnh với liều lượng thấp, đồng thời duy trì chất lượng hình ảnh chấp nhận được. Các phương pháp tính toán hiệu năng máy CT và đánh giá chất lượng ảnh CT đóng vai trò quan trọng trong việc tối ưu hóa liều lượng bức xạ.

2.3. Xử lý dữ liệu không đầy đủ và sparse view CT

Trong thực tế, dữ liệu thu thập được từ máy quét CT có thể không đầy đủ do nhiều nguyên nhân khác nhau. Các thuật toán tái tạo ảnh cần phải có khả năng xử lý dữ liệu không đầy đủ và tạo ra hình ảnh chất lượng cao. Các kỹ thuật giải thuật tái tạo ảnh và thuật toán tái tạo ảnh đặc biệt quan trọng trong trường hợp sparse-view CT, khi số lượng góc chiếu bị hạn chế.

III. Phương Pháp Biến Đổi Radon và Ứng Dụng Trong CT

Phép biến đổi Radon là một công cụ toán học quan trọng trong việc tái tạo ảnh từ dữ liệu chiếu. Nó được sử dụng rộng rãi trong xây dựng thuật toán cho máy cắt lớp X-quang. Các nghiên cứu tập trung vào việc cải tiến các thuật toán dựa trên phép biến đổi Radon để tăng tốc độ tái tạo ảnh và cải thiện chất lượng hình ảnh. Tài liệu gốc nhấn mạnh nghiên cứu về phép biến đổi Radon và các phép biến đổi quan trọng, trên cơ sở đó xây dựng các thuật toán ảnh chính xác cao. Các biến thể của phép biến đổi Radon, như phép biến đổi Radon ngược và phép biến đổi Radon chuỗi Fourier, cũng được nghiên cứu.

3.1. Phép biến đổi Radon ngược và các thuật toán liên quan

Phép biến đổi Radon ngược là một phần không thể thiếu trong quá trình tái tạo ảnh từ dữ liệu chiếu. Các thuật toán tái tạo ảnh dựa trên phép biến đổi Radon ngược được sử dụng để tạo ra hình ảnh cắt lớp từ dữ liệu thu thập được. Các nghiên cứu tập trung vào việc cải tiến các thuật toán này để tăng tốc độ tái tạo và cải thiện chất lượng hình ảnh. Theo tài liệu gốc, bài toán phục hồi đữ chiếu (dữ liệu chiếu) xác định hàm ƒ từ các dữ chiếu Rƒ(p,θ) ∈ R, θ ∈ S¹ (xe R²) cho phép biến đổi Radon R.

3.2. Phép biến đổi Radon chuỗi Fourier và ứng dụng trong tái tạo ảnh

Phép biến đổi Radon chuỗi Fourier là một phương pháp khác để tái tạo ảnh từ dữ liệu chiếu. Nó sử dụng các khai triển chuỗi Fourier để biểu diễn phép biến đổi Radon, giúp đơn giản hóa quá trình tái tạo ảnh. Các nghiên cứu tập trung vào việc phát triển các thuật toán hiệu quả dựa trên phép biến đổi Radon chuỗi Fourier. Tài liệu gốc có đề cập đến việc xét các khai triển cửa của biến Radon Rƒ theo chuỗi Fourier.

3.3. Các phương pháp tính tích phân Cauchy Hadamard trong CT

Các phương pháp tính tích phân Cauchy Hadamard được sử dụng để xử lý các điểm kỳ dị trong quá trình tái tạo ảnh. Các thuật toán này giúp cải thiện chất lượng hình ảnh và giảm thiểu artifact. Theo tài liệu gốc, cần xem xét một phân hoạch của đoạn, đồng thời nhấn mạnh rằng phân hoạch không nhất thiết phải đều. Công thức tính tích phân và đạo hàm cũng được đề cập.

IV. AI và Deep Learning Bước Tiến Mới Trong Xây Dựng Ảnh CT

Ứng dụng AI trong y học, đặc biệt là deep learning trong CT, đang mở ra những hướng đi mới trong xây dựng ảnh. Các mô hình deep learning có khả năng học các đặc trưng phức tạp từ dữ liệu ảnh, giúp cải thiện chất lượng ảnh, giảm nhiễu và tự động hóa quá trình phân tích ảnh. Các nghiên cứu tập trung vào việc phát triển các mô hình deep learning để tái tạo ảnh từ dữ liệu sparse-view, giảm liều lượng bức xạ và phát hiện các bệnh lý. Việc tích hợp AI trong chẩn đoán hình ảnh hứa hẹn sẽ cải thiện hiệu quả và độ chính xác của chẩn đoán.

4.1. Tái tạo ảnh CT từ dữ liệu sparse view bằng deep learning

Deep learning có thể giúp tái tạo ảnh CT chất lượng cao từ dữ liệu sparse-view, giảm liều lượng bức xạ cho bệnh nhân. Các mô hình học sâu có khả năng lấp đầy các thông tin bị thiếu trong dữ liệu sparse-view, tạo ra hình ảnh có độ phân giải cao. Các nghiên cứu tập trung vào việc phát triển các kiến trúc mạng nơ-ron phù hợp cho bài toán này.

4.2. Phát hiện và phân loại bệnh lý tự động bằng AI trong ảnh CT

AI có thể được sử dụng để phát hiện và phân loại bệnh lý tự động trong ảnh CT. Các mô hình deep learning có khả năng nhận diện các dấu hiệu bất thường trong ảnh, giúp bác sĩ chẩn đoán bệnh nhanh chóng và chính xác hơn. Các ứng dụng bao gồm phát hiện ung thư phổi, bệnh tim mạch và các bệnh lý khác.

4.3. Cải thiện chất lượng ảnh CT bằng mạng nơ ron tích chập CNNs

Mạng nơ-ron tích chập (CNNs) là một công cụ mạnh mẽ để cải thiện chất lượng ảnh CT. Các mô hình CNNs có khả năng loại bỏ nhiễu, giảm artifact và tăng độ phân giải của ảnh CT. Các nghiên cứu tập trung vào việc phát triển các kiến trúc CNNs phù hợp cho từng loại ứng dụng cụ thể.

V. Ứng Dụng Thực Tế và Kết Quả Nghiên Cứu Máy Cắt Lớp X Quang

Các thuật toán xây dựng ảnh cho máy cắt lớp X-quang được ứng dụng rộng rãi trong y học và công nghiệp. Trong y học, chúng được sử dụng để chẩn đoán và theo dõi nhiều loại bệnh lý khác nhau. Trong công nghiệp, chúng được sử dụng để kiểm tra chất lượng sản phẩm và phát hiện các khuyết tật. Theo tài liệu gốc, ở các nước công nghiệp, hệ thống xử lý ảnh lớp mục là đối tượng nghiên cứu của nhiều phòng nghiệm cho các ứng dụng trong y-khoa và trong kiểm không phá hủy sản phẩm công nghiệp. Các nghiên cứu về ứng dụng lâm sàng CT và phân tích hình ảnh y tế đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả và độ chính xác của chẩn đoán.

5.1. Ứng dụng trong chẩn đoán bệnh tim mạch và ung thư

Máy cắt lớp X-quang được sử dụng để chẩn đoán và theo dõi các bệnh tim mạch, như xơ vữa động mạch và bệnh van tim. Nó cũng được sử dụng để phát hiện và đánh giá ung thư, giúp bác sĩ lên kế hoạch điều trị phù hợp. Ứng dụng trong y học đa dạng, cho thấy tầm quan trọng của việc phát triển thuật toán.

5.2. Ứng dụng trong kiểm tra chất lượng sản phẩm công nghiệp

Trong công nghiệp, máy cắt lớp X-quang được sử dụng để kiểm tra chất lượng sản phẩm và phát hiện các khuyết tật, như nứt, rỗ và vật liệu lạ. Nó giúp đảm bảo chất lượng sản phẩm và giảm thiểu rủi ro trong quá trình sản xuất. Ví dụ, có thể dùng để kiểm tra các khớp nối kim loại.

5.3. Kết quả mô phỏng và thử nghiệm trên dữ liệu thực tế

Các thuật toán xây dựng ảnh cho máy cắt lớp X-quang cần được thử nghiệm trên dữ liệu thực tế để đánh giá hiệu quả và độ tin cậy. Các kết quả mô phỏng và thử nghiệm giúp xác định các điểm mạnh và điểm yếu của thuật toán, từ đó cải tiến và tối ưu hóa. Theo tài liệu gốc, đối tượng được chụp X-quang nhiều góc chụp khác nhau, các ảnh X-quang này sau đó được chuyển vào máy cấu của tượng được khảo các mặt. Ta thấy, ảnh phụ thuộc chặt chẽ vào góc quay.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Tương Lai Máy Cắt Lớp X Quang

Nghiên cứu và phát triển thuật toán xây dựng ảnh cho máy cắt lớp X-quang là một lĩnh vực đầy tiềm năng, với nhiều cơ hội để cải thiện chất lượng chẩn đoán và điều trị bệnh. Các hướng phát triển tương lai bao gồm giảm thiểu liều lượng bức xạ, tăng độ phân giải ảnh, tích hợp AI và phát triển các thuật toán tái tạo ảnh hiệu quả hơn. Cần chú trọng đến việc xây dựng phát triển hệ thống CT và hệ thống phần mềm nhúng CT để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của y học và công nghiệp.

6.1. Tích hợp các công nghệ mới vào máy cắt lớp X quang

Việc tích hợp các công nghệ mới, như AI, deep learning và các cảm biến tiên tiến, sẽ giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác của máy cắt lớp X-quang. Các công nghệ này có thể được sử dụng để giảm nhiễu, tăng độ phân giải và tự động hóa quá trình phân tích ảnh.

6.2. Phát triển các hệ thống máy cắt lớp X quang di động và giá rẻ

Việc phát triển các hệ thống máy cắt lớp X-quang di động và giá rẻ sẽ giúp mở rộng khả năng tiếp cận dịch vụ chẩn đoán hình ảnh cho các vùng sâu vùng xa và các nước đang phát triển. Các hệ thống này cần phải đảm bảo chất lượng hình ảnh và độ tin cậy, đồng thời có giá thành hợp lý.

6.3. Nghiên cứu về giao diện người dùng và trải nghiệm người dùng

Việc nghiên cứu về giao diện người dùng máy cắt lớp (GUI) và trải nghiệm người dùng đóng vai trò quan trọng trong việc giúp bác sĩ và kỹ thuật viên sử dụng máy cắt lớp X-quang một cách dễ dàng và hiệu quả. Cần chú trọng đến việc thiết kế GUI thân thiện, trực quan và dễ sử dụng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Bước Đầu Xây Dựng Một Máy Ảo Cắt Lớp X-Quang Ba Chiểu Trong Kỹ Nghệ 1. Sơ lược về phép biến đổi Radon ị Cho một hàm liên tục có giá bị chặn ƒ: R” -aR. Với mỗi đường thẳng L =ip,Ø8, tp eR, Ø e [0,z[, trong mặt phẳng RẺ xác định bởi hệ thức: (1.1) xcos(Q) + x sin(Q) = p, xy eR, phép biến đổi Radon R((p, 6) tai diém (p, 8), tp e R, Ø e [0,xƒ, là tích phân đường: (2) RỢXø,0)= jZœ»# = ñL/0ss) —qsin(@), psin(@) + q cos(Ø))dg RỢŒIp. 8 © [0,af, cing goi ia di liệu chiếu của hàm ƒ.

Trong đó, x, y được xác định bởi p, 4, và ngược lại, bởi hệ thức: (3) x= pcost8-asin(8), y = psin( 6)+qcos( 8), p= xcos(81+ysin(6),4 = -xsin(6)+ycos(6) Hệ thức (1.2) tương đương với: 4) RỢXø.8)= fat (x, y)5(x cos(@) ~ sin) — p)dedy ở đây, 514 ham delta Dirac. Tương tự, dùng hệ qui chiếu hình cầu, ta định nghĩa phép biến đổi Radon R;(/) của moubam f: R? > R: 5) RNep.w= k FY, DOR sin(BYcos(p) + ysin(8)sin(g) + 2 cos(®) ~ p))dxebyde = [7080 are = (sin( O)cos( g),sin( O)sin( p),cos( O), r = (x,y,2), pr = xsin( Ojcos( p) + ysin( Osin(g) +2c03(8)), p € [0,22], 6 € [0,n], R;(fp. Tương tự, ta định nghĩa phép biến đổi Radon R,(f) cba mot ham f: R" > R: (6) RH = f SOR= Hy Tadd,§ 6 day, wz, 14 vecto định hướng đơn vị của Ẩ”, và p cÑ. Một phương pháp tính biến đổi radon cửa một ảnh số hóa Mỗi ảnh số hóa có thể được xem như một hình chữ nhật của mặt phẳng R, có cạnh song song với hai trục tọa độ, gồm có VxM hình vuông giống nhau, mỗi hình vuông mang một số thực, số thực này là độ xám tương ứng với hình vuông trong ảnh số hóa.

Để tính biến đổi Radon của một ảnh số hóa, do tính tuyến tính của phép biến đổi Radon, ta chỉ cần tính biến đổi Radon của hàm đặc trưng của một hình vuông. Vì tính chất trượt của phép biến đổi Radon: (2.1) (Rfxta)Xp,) = (M\p+ur, H), = (cos(8),sin(6)), vp e R, 0 ¢ [0,xf, ta chỉ cần tính biến đổi radon ă của hàm đặc trưng ƒ cửa hình vuông Ð, tâm O, canh h > 0. Với 0 < 8 <4, 0= (cos(8)-sin[8))M2, t; = (cos()+sin())V2, ta có: N (Rp. Và ta Có: (Rƒl(p, 8) = (RJl(p, 22 - 6), Yp eR, 6 €]z4, 2]: (24) (R0(p, 6 = (RJ(p,0~2), Vỹ eR, 6 e J2, 3⁄4], (Rp, 0 = (Rip, x- 6), vp <Ñ, 0 <]34, zj.4) cho ta biến đổi radon của bất cứ hình vuông cạnh ñ nào, Ghi chú là 8/ không phụ thuộc vào trị số của ƒ trên các cạnh của hình vuông D.

ƒ bằng phép biến đổi Radon ngược, bên Và khi tái lập hàm đặc trưng trong hình vuông Ð có trị là 1 ; bên ngoài hình vuông Ð có tị là 0 ; ở mỗi góc của hình vuồng, ta có trị là 1⁄4 ; và ở mỗi điểm nằm trên cạnh hình vuông khong trùng một góc hình vuông, ta có trị là 14. Áp dụng Một áp dụng là so sánh hai ảnh số hóa, khẳng định sự giống nhau của chúng, hoặc ảnh này là một phẳn của ảnh kia, bằng cách so sánh biến đổi Radon của hai ảnh. Vấn để này rất có ích trong việc nhận diện và truy tìm ảnh, chẳng hạn, khách hàng trong một cơ sở thương mại, nhận diện ảnh thí sinh trong các kỳ thi, nhận diện và truy tìm trong kiểm soát chống gian lận, giả mạo, phạm pháp trong một cơ sở dữ liệu ảnh. Một phương pháp tính biến đổi Radon 3-chiều từ các tích phân đường f: R’ ~—z R, theo hệ thức (1.5), ta có Cho một hàm liên tục có giá bị chan biến đổi Radon 3-chiều R;(/} củaƒ: 3.9 = In’ fsy, dL lacosl g)+ ysin{ p))sin( @)+2cos( 8-p]dxdyde = |p’ flxy.2d& xcost g)+ysin( g) - 4)+ Aqcos( g)ysin( p)-p)dgdxdydz = le tle’ fixy.z)Axcos( g}+ysin{ g)-qjdudy] Xqsin( 8)+zc0s( 0)-pjdgde Trong hệ thức (3.1), tích phân Í¿Ÿƒ[x,y,z)ð(xeos( g)+ysir(p)-q)dxdy chính là biến đổi radon 2-chiều của hàm (x,y) e Rˆ -› Jfx,y.2) tại điểm (4, ø), với z € R cố định.

Và ta viết như sau: (3. ;z) được gọi là biến đổi Radon từng phẩn của hàm #fx,y,z). Hai hệ thức (3. với p,ø,Øcố định.

Như vậy biến đổi Radon 3-chiều của hàm ƒíx,y,⁄J có thể được thực hiện bằng hai phép biến đổi Radon 2-chiéu. ƒ là hàm đặc trưng của quả cầu đơn vị V= Áx»2)€ RỦ; xty tổ <1}, Với mọi : e j-7.!J cố định, hàm (x3) eR’ —>fx,y,z) là hàm đặc trưng của đĩa đơn vị /(xg)e RẺ say? <(1-2ƒ! 2. Vậy tà có: (RA pgs Leg), vl 0-2); (RUN p. Và tạ có R(Ip.

Đó là diện tích của mặt cắt của hình cầu V bởi mặt phẳng ƒ (x,y,⁄)€ Ý ; z =pj-l<p<l. ƒ†à hàm đặt trưng của một khối lập phương trong không gian RÌ, có cạnh song song với ba trục tọa độ, có Am O, và cạnh bằng h >0. Với mỗi lì <⁄2, ham (xy) e RẺ — ffx,yx) là hàm đặc trưng của một hình vuông tâm O, cạnh È trong #”. Và các hệ thức (2.4} cho ta biến đổi Radon từng phần (Rzƒ(( p,p; 4) của hàm ƒ, và ta có: (RAM pg (RPM p.9; 0), Vizl She; (Rofl Bp O, Vizl > h/2 Va hệ thức (3.3) cho ta biến đổi Radon 3-chiéu cda hamft (3.

Giả sử: 0< @<74;t = (cos(@) -sin(@))N/2 ; t; = (cos(ø) + sin(@))V2, theo hệ thức (2. Theo các hệ thức (2.4), hàm s e # - RgW cos(Ø)+s sin(6),ø;0) là một hàm đơn thức bậc một từng mảnh, có giá bị chặn, nên có nguyên hàm là một đa thức bậc hai từng mảnh, có giá bị chặn, và ta có thể nh tích phân [BNC 1 cos( Os sin(8), :0}ds một cách giải tích. Mặt khác, ta có thể tính tích phân hữu hạn này bằng phép tính tích phân hình thang. Dùng tính chất trượt (2.1), ta có biến đổi Radon 3- chiều của bất cứ hàm tỷ trọng có dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của những khối lập phương có cạnh h.

Ghi chú là để tính những tích phân đường (R;ƒJ( p,ø; 2), ta chỉ dùng những tía X song song với mặt phẳng Oxy mà thôi, đây là một thuận lợi khá quan trọng. Ta có thể gọi các dữ liệu (z/J( p,0; z) của biển đổi radon từng phẩn là những dữ liệu từng phản. Vấn để này rất quan trọng, trong việc phục hồi hàm tỷ trọng từ các tích phân đường, trong các máy cất lớp X-quang 3-chiểu, vì X-quang chỉ cung cấp tích phân đường chứ không cung cấp dữ liệu chiếu. Với z e Ñ cố định, X-quang cho ta những tích phân đường (R;/J( p,ø; ¿) theo hệ thức (3.

Và từ đó, ta tính biến đổi Radon 3-chiểu #;(//(p,ø,8) cña hàm tỷ trọng ƒ theo hệ thức (3.3) Cuối cùng, ta dùng hệ thức (4.6), xem phẩn sau, để phục hổi hàm tỷ trọng. Phục hồi từ dữ liệu chiếu bằng phép biến đổi Radon ngược Bài toán phục hồi từ đữ liệu chiếu là xác định hàm ƒ: R” -› từ các dữ liệu chiếu: RAP. ba) VP ER, fy ES = (xe RY; Wl = 11, cho bởi phép biến đổi Radon (1. Had = Ue? fled Ñp - Ha tale.

Đùng lý thuyết phép biến đổi Fourier, trong wang hop n >2 là một số chẵn, ta có: - Jace (42) 42 /ứ) -- a dp Hate Nếu ñ = 2, ta có: Lee (Zhen FO LO) = Fh Oh xeavố) xi) , ( Spare 8) (43) Tom of. xe8)+yin(8)-p? L pe fae FA 2) ( —|R ở ỨX,9),Ø) =— aah C xeos()+ ysin(6)~ p Ngoài ra, vì Rf(p.0+ 2) = Rfl-p, 6), ta có: 10 (Sheeran = {Ệ} t9. Trong trường hợp n > 3 là một số lễ, ta có: (45) /0)= Ui toed, Nếu n= 3, ta có: 1x | “6 70)5/02)= tk cof < : }w 3X⁄,?„.6) là các công thức phục hổi của phép biến đổi Radon ngược. Ghi chú là trong các hệ thức (4.3), các tích phân lệ za PoP) (2 here.

be aa? #,12—P Ce ° “s xeos(0) + ysn()~ p là những tích phân kỳ dị của Cauchy, Xem phần 8 sẽ rõ. Phép biến đổi Radon và chuỗi Fourier Cho một hàm liên tục ƒ: RŸ +R có giá nằm trong đĩa đơn vị Ð = {z c€C ; Izll<f}. Xét các khai triểm cửa ƒ và của biến đổi Radon Rf theo chuỗi Eourier: i (5.1) flay) = ffrcos(8), rsin( 8) = Zahir LAN x's (rcos(Ø),r sin(6))eˆ"°đổ, YneZ,0s7s1 (5. Vìÿ P = Rƒ là những hàm thực, ta có 63) 7„= Sứ) P,()=,0, VneZ,0<r«] Để phục hồi các hệ số Fourier /.

Ghỉ chú là các bệ số P„(z) thỏa các điểu kiện tương hợp sau (xem Deans [2] trang 158, Chapman-Cary [1] trang 30): (5.@dr=0, vez Losksn-l. Va hé tic (5.6 frou, Oar=o, vnz0. 7 Vi vay, hai hé thife (5.6) cho: 12 (57) Z,0)= POT —r`Y"*ä, Vô <r <L,n >0, x Ghi chứ rằng, nến các hé so P,(t) duge tinh toda tY nhing dit liéu duc nghiệm, bê thức (5.5) không thỏa, và hệ thức (5.7) sé sai lac. Vi vay chỉ nên dùng hệ thức (5.

Một phương pháp giải bài toán phục hổi vành ngoài Xét hệ thức (5.4), bài toán phục hổi vành ngoài là tính các trị số #(r), r œ[R,1J, từ các trị 36 P(t), ¢ © {RA}, ở đây, n >0, 0 < R <'1 là những số cố định. Ghi chứ là các trị số Pa(t), + e [R,1] được tinh toán tử các dữ liệu vành ngoai (RAL). Xét phân hoạch sau của đoạn thẳng ƒR,l} : t,= 1 ~ ¿k, h= (-R)/N, 0 Si <N Dùng xấp xỉ spline bậc 5, xem Prenter [7], ta có các trị số P,'(ty), Pa"(t, 0<i<N. Dùng nội suy Hermite, xem Prenter [7] trang 67, ta có một hàm đa thức từng mảnh ÖŸ: (R,!J ->Ñ, xấp xỉ với hàm P„' trên đoạn (R,1J, sao cho HR mot đa thức bậc 3 trên mỗi đoạn /t„1J, Ì <ỉ <Ñ, và: (6.(07) Như vậy, trên mỗi đoạn //,„,!,j, 1 SiSN, bamt € (t., một đa thức bậc n+Š, và ta có thể tính các nguyên hàm bữu hạn sau đây một cách giải tích: 13 (6.3) PHOT INE Py 44,0 «r < >0; bằng các hệ thức sau: lít ~ r) “đt = log(t+(È ~ r?)2), (6.4) [ae Pye =P - Py", [eee — Fy ats pe? — Py?) J + ((m — DP Smif? - Fy", Vin 22.

Giả sửn là một số chấn, 2 = 2m + 2, m >2 ; trường hợp n là số lẻ cũng tưởng tự.5) Ugals) = amas) = cos? 4057 tems, 5 ER. Và ta có thể viết lại hệ thức (5.4) như sau: /A0)=-—-Í P0fe,01r)+e01922% +6 (tIrya z (66 -L[P0Jf„0/M#~?) zh tái Ch OM, ala gy [z0 na, s8, = 1 fea; (6.7) “ Muc đích của ta là xây dựng một hệ tuyến tính có z#+7 ẩn số: đg,4p,. Sau khi giải hệ tuyến tính này, ta được các trị số /;(rj, I <i SN, theo hệ thức (6. Trong trường hợp r = 1, ta có /;(1) = 0, và hệ thức (6.

14 Trong trường hợp r = ¡; Ì £¡ <me+1, hệ thức (6.