Luận văn thạc sĩ về nội lực và chuyển vị dầm trong công trình dân dụng và công nghiệp

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu nội lực và chuyển vị dầm trong kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp bằng phương pháp sai phân hữu hạn.

• Tác giả: Trịnh Hiếu Đông
• Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Đạt
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng
• Đề tài: Nghiên Cứu Nội Lực Và Chuyển Vị Của Dầm Bằng Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ Kỹ Thuật
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN THƯỜNG DÙNG TRONG CƠ HỌC
• 1.1. Phép tính biến phân
• 1.2. Nguyên lý thế năng biến dạng tối thiểu
• 1.3. Nguyên lý công bù cực đại
• 1.4. Nguyên lý công ảo
• 1.5. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss
• 1.6. Cơ học chất điểm
• 2. CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT DẦM CHỊU UỐN
• 2.1. Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli
• 2.2. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng
• 2.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
• 2.4. Lý thuyết dầm xét biến dạng trượt ngang
• 2.5. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN TÍNH TOÁN DẦM CHỊU UỐN
• 2.5.1. Phương pháp sai phân hữu hạn
• 2.5.2. Biểu diễn đạo hàm các cấp bằng phương pháp sai phân hữu hạn
• 2.5.3. Biểu diễn đạo hàm bằng parabôn nội suy
• 2.5.4. Biểu diễn đạo hàm bằng phép triển khai Taylor
• 2.5.5. Sai phân lùi (sai phân lệch trái)
• 2.5.6. Sai phân tiến
• 2.5.7. Sai phân trung tâm
• 2.5.8. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tính toán dầm chịu uốn có các điều kiện biên khác nhau
• 2.5.9. Phương trình vi phân cân bằng của dầm
• 2.5.10. Các bước thực hiện
• 2.5.11. Các ví dụ tính toán
• MỞ ĐẦU
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về nội lực và chuyển vị dầm

Nghiên cứu nội lực và chuyển vị dầm là một phần quan trọng trong lĩnh vực xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp. Việc hiểu rõ về các yếu tố này giúp các kỹ sư thiết kế và tính toán chính xác hơn trong quá trình xây dựng. Nội lực là lực tác động bên trong của dầm, trong khi chuyển vị là sự thay đổi vị trí của dầm dưới tác động của tải trọng. Các phương pháp tính toán hiện đại, như phương pháp sai phân hữu hạn, đã được áp dụng để xác định các giá trị này một cách chính xác và hiệu quả.

1.1. Tầm quan trọng của nội lực

Nội lực trong dầm có vai trò quyết định đến khả năng chịu tải và độ bền của công trình. Việc phân tích nội lực giúp xác định các điểm yếu trong kết cấu, từ đó đưa ra các biện pháp khắc phục kịp thời. Các phương pháp phân tích như phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân hữu hạn cho phép tính toán nội lực một cách chính xác, giúp đảm bảo an toàn cho công trình trong suốt quá trình sử dụng.

1.2. Chuyển vị và ảnh hưởng đến thiết kế

Chuyển vị của dầm không chỉ ảnh hưởng đến tính thẩm mỹ mà còn đến tính năng sử dụng của công trình. Chuyển vị dầm lớn có thể dẫn đến hư hỏng hoặc thậm chí là sập đổ. Do đó, việc tính toán và kiểm soát chuyển vị là rất cần thiết trong thiết kế kết cấu. Các tiêu chuẩn xây dựng hiện hành thường quy định giới hạn cho phép về chuyển vị, nhằm đảm bảo an toàn và độ bền cho công trình.

II. Phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán

Phương pháp sai phân hữu hạn là một trong những phương pháp số phổ biến nhất trong tính toán nội lực và chuyển vị dầm. Phương pháp này cho phép giải quyết các bài toán phức tạp mà phương pháp phân tích cổ điển không thể thực hiện. Bằng cách chia nhỏ dầm thành các phần tử, phương pháp này giúp tính toán chính xác hơn về nội lực và chuyển vị dưới tác động của tải trọng tĩnh.

2.1. Nguyên lý hoạt động của phương pháp

Phương pháp sai phân hữu hạn hoạt động dựa trên nguyên lý chia nhỏ bài toán thành các phần tử nhỏ hơn, từ đó áp dụng các công thức sai phân để tính toán. Mỗi phần tử sẽ được mô hình hóa và tính toán nội lực và chuyển vị riêng biệt. Kết quả cuối cùng sẽ được tổng hợp từ các phần tử này, giúp đưa ra một cái nhìn tổng thể về hành vi của dầm dưới tải trọng. Phương pháp này không chỉ chính xác mà còn tiết kiệm thời gian tính toán.

2.2. Ứng dụng thực tiễn

Trong thực tế, phương pháp sai phân hữu hạn đã được áp dụng rộng rãi trong các dự án xây dựng lớn. Các kỹ sư sử dụng phương pháp này để mô phỏng hành vi của dầm trong các điều kiện khác nhau, từ đó đưa ra các giải pháp thiết kế tối ưu. Việc ứng dụng phương pháp này không chỉ giúp tiết kiệm chi phí mà còn nâng cao độ an toàn cho công trình, đảm bảo rằng các tiêu chuẩn về an toàn xây dựng được thực hiện.

III. Kết luận và khuyến nghị

Nghiên cứu về nội lực và chuyển vị dầm là rất cần thiết trong lĩnh vực xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp. Việc áp dụng các phương pháp hiện đại như phương pháp sai phân hữu hạn không chỉ giúp nâng cao độ chính xác trong tính toán mà còn đảm bảo an toàn cho công trình. Các kỹ sư cần tiếp tục nghiên cứu và phát triển các phương pháp mới để cải thiện quy trình thiết kế và thi công.

3.1. Đề xuất nghiên cứu tiếp theo

Cần có thêm nhiều nghiên cứu về ứng dụng của các phương pháp số trong tính toán nội lực và chuyển vị. Việc kết hợp giữa lý thuyết và thực tiễn sẽ giúp nâng cao hiệu quả trong thiết kế kết cấu. Các nghiên cứu này cũng nên xem xét đến các yếu tố như tải trọng động và ảnh hưởng của môi trường đến nội lực và chuyển vị.

3.2. Tăng cường đào tạo và cập nhật công nghệ

Đào tạo cho các kỹ sư về các phương pháp tính toán hiện đại là rất quan trọng. Các chương trình đào tạo nên bao gồm cả lý thuyết và thực hành, giúp kỹ sư nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết. Đồng thời, cần cập nhật công nghệ mới để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong ngành xây dựng.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp, việc tính toán nội lực và chuyển vị của dầm chịu uốn là một vấn đề quan trọng nhằm đảm bảo an toàn và hiệu quả kết cấu. Theo ước tính, các kết cấu dầm chiếm tỷ lệ lớn trong các công trình xây dựng hiện đại, do đó việc nghiên cứu các phương pháp tính toán chính xác nội lực và chuyển vị của dầm có ý nghĩa thiết thực trong thiết kế và thi công. Luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp sai phân hữu hạn để tính toán nội lực và chuyển vị của dầm chịu tải trọng tĩnh, với mục tiêu xây dựng mô hình toán học và thuật toán tính toán hiệu quả, áp dụng cho các dầm có điều kiện biên và tải trọng đa dạng.

Phạm vi nghiên cứu được giới hạn trong các dầm chịu uốn với độ cứng uốn không đổi, tải trọng phân bố đều hoặc tập trung, trong điều kiện tĩnh học. Nghiên cứu được thực hiện dựa trên các nguyên lý biến phân, lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và lý thuyết xét biến dạng trượt ngang, kết hợp với phương pháp sai phân hữu hạn để giải các phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua khả năng ứng dụng phương pháp số hiện đại để giải quyết các bài toán kết cấu phức tạp, nâng cao độ chính xác và hiệu quả tính toán trong thiết kế kỹ thuật.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các nguyên lý biến phân trong cơ học, bao gồm phép tính biến phân, nguyên lý thế năng biến dạng tối thiểu, nguyên lý công bù cực đại và nguyên lý công ảo. Các nguyên lý này cung cấp cơ sở toán học để thiết lập phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm. Ngoài ra, lý thuyết dầm Euler-Bernoulli được sử dụng để mô tả ứng xử uốn của dầm, với giả thiết mặt cắt ngang dầm vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm sau biến dạng, đồng thời vật liệu có tính đàn hồi tuyến tính.

Lý thuyết xét biến dạng trượt ngang (lý thuyết dầm Timoshenko) cũng được áp dụng nhằm xem xét ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang đến chuyển vị và nội lực trong dầm, đặc biệt khi môđun trượt không vô cùng lớn. Các khái niệm chính bao gồm: mômen uốn M, lực cắt Q, độ cứng uốn EJ, môđun đàn hồi E, môđun trượt G, hệ số Poisson ν, và hệ số α xét sự phân bố không đều của ứng suất cắt.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các công thức lý thuyết, phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm, cùng các phương pháp số để giải các phương trình này. Phương pháp sai phân hữu hạn được lựa chọn để rời rạc hóa các đạo hàm trong phương trình vi phân, chuyển bài toán liên tục thành hệ phương trình đại số tuyến tính dễ dàng giải trên máy tính.

Cỡ mẫu nghiên cứu được xác định qua việc chia dầm thành các đoạn nhỏ có độ dài h đều hoặc không đều, với số điểm nút đủ lớn để đảm bảo độ chính xác. Phương pháp chọn mẫu dựa trên nguyên tắc chia nhỏ miền tính toán sao cho sai số tính toán giảm dần khi h → 0. Phân tích số liệu được thực hiện bằng cách so sánh kết quả tính toán với các lời giải giải tích hoặc các kết quả nghiên cứu trước đó để đánh giá độ chính xác và hiệu quả của phương pháp.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng thời gian học tập tại trường Đại học Dân lập Hải Phòng, với các giai đoạn: tổng hợp lý thuyết, xây dựng mô hình toán học, phát triển thuật toán sai phân hữu hạn, thực hiện tính toán và phân tích kết quả, hoàn thiện luận văn.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Thiết lập thành công phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm bằng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss: Phương trình vi phân bậc bốn mô tả chuyển vị dầm chịu uốn được thiết lập với các điều kiện biên linh hoạt, bao gồm dao động tự do và cưỡng bức. Ví dụ, phương trình dao động tự do của dầm có dạng:

$$ EJ \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + m \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0 $$

2. Phương pháp sai phân hữu hạn cho kết quả tính toán nội lực và chuyển vị chính xác: Sử dụng biểu diễn đạo hàm cấp hai bằng parabôn nội suy, sai phân trung tâm và sai phân lùi, sai số tính toán được kiểm soát tốt, giảm dần khi khoảng chia h giảm. Ví dụ, đạo hàm cấp hai được xấp xỉ bằng công thức:

$$ y_i'' \approx \frac{y_{i-1} - 2 y_i + y_{i+1}}{h^2} $$

3. Lý thuyết xét biến dạng trượt ngang bổ sung hiệu quả cho mô hình dầm: Khi xét biến dạng trượt, mô hình cho thấy sự khác biệt rõ rệt về chuyển vị và nội lực so với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli truyền thống, đặc biệt với dầm có tiết diện lớn hoặc vật liệu có môđun trượt thấp. Hệ số α được xác định khoảng 1.2 cho tiết diện chữ nhật, giúp mô hình sát thực tế hơn.

4. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss cho phép so sánh và chuyển đổi giữa các hệ cơ học khác nhau: Việc so sánh hai hệ môi trường liên tục với các thông số đàn hồi khác nhau và cùng chịu lực tác dụng giống nhau giúp xây dựng các phương trình cân bằng mới, mở rộng khả năng ứng dụng trong tính toán kết cấu phức tạp.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp sai phân hữu hạn là công cụ hiệu quả để giải các phương trình vi phân bậc cao trong cơ học kết cấu, đặc biệt là bài toán dầm chịu uốn. Việc sử dụng các biểu diễn đạo hàm khác nhau (parabôn nội suy, triển khai Taylor, sai phân lùi) giúp linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp với từng bài toán cụ thể, đồng thời kiểm soát sai số tính toán.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng ứng dụng nguyên lý cực trị Gauss trong việc thiết lập phương trình cân bằng và dao động của dầm, đồng thời kết hợp với lý thuyết xét biến dạng trượt để nâng cao độ chính xác mô hình. Việc xác định hệ số α và áp dụng lý thuyết dầm Timoshenko giúp mô hình phản ánh đúng hơn các hiện tượng vật lý thực tế, như biến dạng trượt và vênh mặt cắt ngang.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ phân bố ứng suất uốn và ứng suất cắt trên mặt cắt ngang dầm, biểu đồ chuyển vị dọc theo chiều dài dầm dưới các tải trọng khác nhau, cũng như bảng so sánh sai số giữa các phương pháp sai phân hữu hạn với lời giải giải tích.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong phần mềm tính toán kết cấu: Đề xuất phát triển hoặc tích hợp module tính toán nội lực và chuyển vị dầm dựa trên phương pháp sai phân hữu hạn, nhằm nâng cao độ chính xác và khả năng xử lý các bài toán phức tạp trong thiết kế công trình. Thời gian thực hiện: 6-12 tháng; chủ thể: các nhóm nghiên cứu và doanh nghiệp phần mềm kỹ thuật.

2. Nghiên cứu mở rộng lý thuyết xét biến dạng trượt cho các kết cấu phức tạp hơn: Khuyến nghị tiếp tục phát triển mô hình xét biến dạng trượt cho khung, tấm và vỏ, đồng thời xác định hệ số α phù hợp với các loại tiết diện khác nhau. Thời gian: 1-2 năm; chủ thể: các viện nghiên cứu và trường đại học.

3. Tổ chức đào tạo và hội thảo chuyên sâu về phương pháp số trong cơ học kết cấu: Đào tạo kỹ thuật viên, kỹ sư thiết kế về ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực trị Gauss trong tính toán kết cấu, nâng cao năng lực chuyên môn. Thời gian: 3-6 tháng; chủ thể: các trường đại học và trung tâm đào tạo.

4. Phát triển bộ dữ liệu chuẩn và bài toán mẫu để kiểm thử các phương pháp tính toán: Xây dựng bộ dữ liệu chuẩn về các bài toán dầm chịu uốn với lời giải tham khảo để đánh giá và so sánh các phương pháp số khác nhau. Thời gian: 6 tháng; chủ thể: các tổ chức nghiên cứu và hiệp hội kỹ thuật.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành kỹ thuật xây dựng: Luận văn cung cấp kiến thức nền tảng và phương pháp nghiên cứu hiện đại về tính toán kết cấu, giúp nâng cao kỹ năng nghiên cứu và ứng dụng thực tế.

2. Kỹ sư thiết kế kết cấu công trình: Các kỹ sư có thể áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn và lý thuyết xét biến dạng trượt để thiết kế dầm và kết cấu chịu uốn chính xác hơn, giảm thiểu sai sót trong tính toán.

3. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực cơ học kết cấu: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá để phát triển các đề tài nghiên cứu mới, mở rộng ứng dụng nguyên lý cực trị Gauss và phương pháp số trong cơ học.

4. Doanh nghiệp phát triển phần mềm kỹ thuật: Các công ty phần mềm có thể tích hợp các thuật toán và mô hình tính toán trong luận văn để nâng cao chất lượng sản phẩm, đáp ứng nhu cầu tính toán kết cấu phức tạp.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp sai phân hữu hạn có ưu điểm gì so với phương pháp phần tử hữu hạn?
   Phương pháp sai phân hữu hạn đơn giản trong việc triển khai và tính toán, đặc biệt hiệu quả với các bài toán có điều kiện biên đơn giản và miền tính toán hình học chuẩn. Ví dụ, trong tính toán dầm thẳng chịu uốn, sai phân hữu hạn cho phép giải nhanh các phương trình vi phân bậc cao với sai số kiểm soát tốt.

2. Lý thuyết xét biến dạng trượt có ảnh hưởng như thế nào đến kết quả tính toán dầm?
   Lý thuyết này bổ sung biến dạng trượt ngang, làm tăng chuyển vị và thay đổi phân bố nội lực so với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli. Trong thực tế, với dầm có tiết diện lớn hoặc vật liệu có môđun trượt thấp, sai số nếu bỏ qua biến dạng trượt có thể lên đến 10-15%.

3. Nguyên lý cực trị Gauss được áp dụng như thế nào trong nghiên cứu này?
   Nguyên lý này được sử dụng để thiết lập phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm bằng cách so sánh hệ cần tính với hệ tự do hoặc hệ có thông số khác, từ đó xây dựng lượng cưỡng bức cần cực tiểu. Đây là phương pháp tổng quát, giúp thống nhất các bài toán cơ học kết cấu.

4. Sai số của phương pháp sai phân hữu hạn được kiểm soát ra sao?
   Sai số phụ thuộc vào khoảng chia h và cách biểu diễn đạo hàm. Khi h giảm, sai số giảm theo bậc của phương pháp (thường là bậc hai với sai phân trung tâm). Việc lựa chọn biểu diễn đạo hàm (parabôn nội suy, triển khai Taylor) cũng ảnh hưởng đến độ chính xác.

5. Phương pháp này có thể áp dụng cho các kết cấu phức tạp hơn không?
   Có thể, tuy nhiên cần mở rộng mô hình và phương pháp tính toán, ví dụ như áp dụng phần tử hữu hạn hoặc kết hợp với các phương pháp số khác. Luận văn đề xuất nghiên cứu tiếp tục để áp dụng cho khung, tấm và các kết cấu đa chiều.

Kết luận

• Luận văn đã thiết lập thành công các phương trình vi phân cân bằng và dao động của dầm chịu uốn dựa trên nguyên lý cực trị Gauss và lý thuyết biến dạng trượt.
• Phương pháp sai phân hữu hạn được áp dụng hiệu quả để giải các phương trình vi phân, với sai số được kiểm soát và giảm dần khi tăng độ mịn lưới.
• Lý thuyết xét biến dạng trượt giúp mô hình phản ánh chính xác hơn các hiện tượng vật lý trong dầm, đặc biệt với các tiết diện lớn và vật liệu có môđun trượt thấp.
• Nghiên cứu mở ra hướng phát triển các phương pháp số hiện đại trong tính toán kết cấu, góp phần nâng cao chất lượng thiết kế và thi công công trình.
• Đề xuất các bước tiếp theo bao gồm phát triển phần mềm tính toán, mở rộng mô hình cho kết cấu phức tạp và đào tạo chuyên sâu cho kỹ sư thiết kế.

Các nhà nghiên cứu và kỹ sư trong lĩnh vực kết cấu được khuyến khích áp dụng và phát triển tiếp các phương pháp nêu trên để nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong thiết kế công trình hiện đại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

đặt vấn đề tại sao ngay từ đầu lại không xét liên kết không giữ. Dựa trên các nhận xét trên Gauss đưa ra nguyên lý mới và chung của mình như sau: “Chuyển động của hệ chất điểm giữa chúng có liên kết tùy ý, chịu tác dụng bất kỳ, ở mỗi thời điểm, trùng hoàn toàn nếu như có thể, với chuyển động của hệ đó khi hoàn toàn tự do, tức là chuyển động xảy ra với lượng cưỡng bức tối thiểu nếu như số đo lượng cưỡng bức lấy bằng tổng tích của khối lượng mỗi chất điểm với bình phương độ lệch vị trí khả dĩ của chất điểm khi có liên kết với vị trí chuyển động của chất điểm khi hoàn toàn tự do sau một thời đoạn vô cùng nhỏ”. Giả sử ở thời điểm t chất điểm m có vị trí A. Nếu như ở thời điểm này ta giải phóng các liên kêt thì do có vận tốc ban đầu và tác dụng của lực, sau thời đoạn vô cùng nhỏ dt chất điểm có vị tri B.

Chất điểm khi có lực tác dụng và chịu ảnh hưởng của liên kết sau thới đoạn dt sẽ có vị trí C có thể nào đó. Chuyển động thực xảy ra khi lượng cưỡng bức Z của chất diểm viết đối với hệ nhiều chất diểm là tối thiểu : ̅̅̅̅𝑖2 → 𝑚𝑖𝑛 𝑍 = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝐵𝐶 (1.27) Dựa vào bất đẳng thức (2.4) là bất đẳng thức cũng do ông đưa ra, Gauss trình bày các luận cứ chứng minh cho nguyên lý của mình. Biểu thức giải tích của nguyên lý Gauss Trong cơ hệ chất điểm nguyên lý được giải thích như sau [1]. Xét hệ chất điểm có tọa độ r và vận tốc 𝑟̇ ở thời điểm t.

Sau thời đoạn vô cùng nhỏ dt chất điểm chịu tác dụng của lực F và của vận tốc sẽ có vị trí 1̇ r(t+dt) = r+𝑟̇ 𝑑𝑡 + 𝑟̈ 𝑑𝑡 2 (a) 2 Nếu như tại thời điêm t ta giải phóng các liên kết nhưng vẫn giữ lực tác dụng, thì sau thời đoạn dt vị trí của chất diểm sẽ là ̇ 1𝐹 2 r(t+dt) = r+𝑟̇ 𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 (b) 2𝑚 Hiệu của (b) và (a) là độ lệch vị tri chất điểm khi hoàn toàn tự do và khi có liên kết. Lượng cưỡng bức chuyển động theo của hệ chất điểm theo (1.28b) Trong hệ tọa độ vuông góc x, y, z biểu thức (1.29) các đại lượng X,Y,Z lần lượt là hình chiếu trên các trục tọa độ x,y,z của lực F tác dụng lên chất điểm .29) là các biểu thức giải tích của nguyên lý (1. Khối lượng chất điểm cũng như lực tác dụng lên nó đã biết cho nên trong (1.29) gia tốc là đaị lượng chưa biết. Khảo sát với các điều kiên liên kết khác nhau, các nhà nghiên cứu cho rằng đại lượng biến phân trong các biểu thức giải tích (1.29) chỉ có thể là gia tốc [1, 2, 3].

Các tài liệu cơ học hiện nay khi bàn về nguyên lý cực trị Gauss, ví dụ xem [1, 2, 3, 4],đều giới thiệu biểu thức (1.29), nhưng cần lưu ý rằng các biểu thức này không phải do Gauss mà do những nhà nghiên cứu nguyên lý Gauss đưa ra. Ngoài ra, trong [2] còn nêu nhận định rằng nguyên lý Gauss là một dạng đặc biệt của nguyên lý D’Alambert. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Như Gauss đã viết, nguyên lý của ông là nguyên lý chung của cơ học, nghĩa là có tính khái quát cao, nhưng với kết luận và nhận định trình bày ở trên, nguyên lý này hầu như không được sử dụng trong cơ học. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trình bày ở đây là phương pháp sử dụng trực tiếp nguyên lý Gauss để xây dựng các phương trình chuyển động và phương trình cân bằng của cơ hệ nhằm khẳng định phần nào tính khái quát của nguyên lý.

Cơ học chất điểm Các biểu thức (1.29) trình bày ở trên là các biểu thức của lượng cưỡng bức viết cho hệ chất điểm khi có liên kết bất kỳ (liên kết giữ và liên kết không giữ). Trong trường hợp liên kết giữ, xem gia tốc là đại lượng biến phân, từ (1.28) ta nhận được phương trình cân bằng: 1 ∑𝑖 (𝐹𝑖 − 𝑚𝑖 𝑟𝑖̈ )𝛿𝑟𝑖̈ =0 (1.30) 𝑚𝑖 Chú ý rằng thành phần trong ngoặc đơn của (1.30) biểu thị điều kiện cân bằng lưc tác dụng lên chất điểm, cho nên có thể xem 𝑟𝑖̈ là gia tốc ảo. Về mặt toán học , các đại lượng ảo là bất kỳ, nghĩa là có thể xem không chỉ gia tốc, mà cả vận tốc và chuyển vị cũng là các đại lượng ảo .30), có thể viết thêm 1 ∑𝑖 (𝐹𝑖 − 𝑚𝑖 𝑟𝑖̈ )𝛿𝑟𝑖̇ =0 (1.32) 𝑚𝑖 Phương trình (1.5) xem vận tốc là đại lượng biến phân, phương trình (1.32) xem chuyển vị là đại lượng biến phân. Như vậy, các đại lượng biến phân của nguyên lý cực trị Gauss (1.27) trong trường hợp liên kết giữ có thể là gia tốc, vận tốc hoặc chuyển vị Tương tư, trong trường hợp liên kết giữ, từ biểu thức lượng bức (1.29) sẽ nhận được các phương trình 𝑋 𝑌 𝑍 ∑𝑖 𝑚𝑖 {( 𝑖 − 𝑥𝑖̈ ) 𝛿𝑥𝑖̈ + ( 𝑖 − 𝑦𝑖̈ ) 𝛿𝑦𝑖̈ + ( 𝑖 − 𝑧𝑖̈ )𝛿𝑧𝑖̈ } = 0 (1.35) 𝑚𝑖 𝑚𝑖 𝑚𝑖 Đại lượng biến phân trong (1.33) là gia tốc, trong (1.34) là vận tốc, trong (1.35) là chuyển vị.

Như vậy, trong trường hợp liên kết giữ, nguyên lý Gauss (1.27) được dẫn về nguyên lý công ảo (1. Viết phương trình chuyển động của chất điểm có khối lượng m chuyển động không ma sát dưới tác dụng của lực trọng trường trên đường cong phẳng 𝑦 = 𝑏𝑥 2 (hình 2). Ví dụ này lấy từ [ 4]. Bài làm: Trong ví dụ này lực tác dụng lên chất điểm chiều x là X=0, chiều y là Y=mg.

Các phương trình (1.35) với chú ý rằng lực quán tính mang dấu âm và chuyển động xảy ra trong mặt phẳng (x,y), được viết lại như sau 𝑚𝑔 𝑚(𝑥̈ )𝛿𝑥̈ +𝑚( +𝑦̈ )𝛿𝑦̈ = 0 (a) 𝑚 𝑚𝑔 𝑚(𝑥̈ )𝛿𝑥̇ +𝑚( +𝑦̈ )𝛿𝑦̇ = 0 (b) 𝑚 𝑚𝑔 𝑚(𝑥̈ )𝛿𝑥 + 𝑚( +𝑦̈ )𝛿𝑦 = 0 (c) 𝑚 y g m O x Hình 2. Minh họa cho ví dụ 1 Bây giờ ta tính các vận tốc và gia tốc của y theo vận tốc và gia tốc của x 𝑦 = 𝑏𝑥 2 , 𝑦̇ = 2𝑏𝑥𝑥̇ , 𝑦̈ = 2𝑏𝑥̇ 2 + 2𝑏𝑥𝑥̈ Ta tính các biến phân 𝛿𝑦 , 𝛿𝑦̇ , 𝛿𝑦̈ qua các biến phân 𝛿𝑥, 𝛿𝑥̇ , 𝛿𝑥̈ 𝛿𝑦̈ = 𝛿𝑥̈ (2𝑏𝑥̇ 2 + 2𝑏𝑥𝑥̈ ) = 2𝑏𝑥𝛿𝑥̈ (d) 𝛿𝑦̇ = 𝛿𝑥̇ (2𝑏𝑥𝑥̇ ) = 2𝑏𝑥𝛿𝑥̇ (e) 𝛿𝑦 = 𝛿𝑥 (2𝑏𝑥 2 ) = 2𝑏𝑥𝛿𝑥 (f) Đưa lần lượt các các biến phân (d),(e),(f) vào các phương trình (a),(b),(c) ta sẽ nhận được cùng một phương trình sau 𝑥̈ + (𝑔 + 2𝑏𝑥̇ 2 + 2𝑏𝑥𝑥̈ )2𝑏𝑥 = 0 Sắp xếp lại, ta có (1 + 4𝑏2 𝑥 2 )𝑥̈ + 4𝑏2 𝑥𝑥̇ 2 + 2𝑏𝑔𝑥 = 0 Phương trình vừa nhận được là phương trình chuyển đông cần tìm của ví dụ trên. Những trình bày trên chỉ ra rằng,đối với cơ học chất điểm trong trường hợp liên kết giữ, đại lượng biến phân của nguyên lý Gauss có thể là gia tốc, vận tốc hoặc chuyển vị. Cơ học môi trường liên tục a.

Các phương trình Navier Sử dụng trực tiếp nguyên lý Gauss (1.1) để xây dựng các phương trình chuyển động của môi trường liên tục là nội dung của phần trình bày dưới đây. Để trình bày được rõ ràng, ta xét môi trường đàn hồi đồng nhất đẳng hướng. Tách một phân tố khối dx.dz ra khỏi môi trường. Các lực tác dụng đặt ở trọng tâm phân tố là các lực khối 𝑏𝑥, , 𝑏𝑦 , 𝑏𝑧 và các lực quán tính 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑧 , còn ở trên các bề mặt của phân tố có các ứng suất pháp 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 vá các ứng suất tiếp 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 , 𝜏𝑦𝑧 (hinh 2).

Do có lực tác dụng, trọng tâm phân tố có các chuyển vị u theo chiều x, v theo chiều y và w theo chiều z.2 Trạng thái ứng suất phân tố Các biến dạng của phân tố do các chuyển vị gây ra, khi xem các chuyển vị là bé, theo lý thuyết đàn hồi, ví dụ xem [ ], được xác theo các biểu thức 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤 𝜀𝑥 = , 𝜀𝑦 = , 𝜀𝑧 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑣 𝜀𝑥𝑦 = ( + ) ,𝜀𝑥𝑧 = ( + ) , 𝜀𝑦𝑧 = ( + ) (1.36) 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng sẽ là 𝜈 𝜈 𝜎𝑥 = 2𝐺(𝜀𝑥 + 𝜃) , 𝜎𝑦 = 2𝐺(𝜀𝑦 + 𝜃) , 𝜎𝑧 = 2𝐺(𝜀𝑧 + 1−2𝜈 1−2𝜈 𝜈 𝜃), 1−2𝜈 𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝜀𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 = 𝐺𝜀𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝜀𝑦𝑧 𝐸 𝜃 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 , 𝐺= (1.37) 2(1+𝜈) Trong các biểu thức trên 𝜃 là biến dạng thể tích, 𝐺 là mođun trượt của vật liệu, 𝐸 là mođun đàn hồi và 𝜈 là hệ số Poisson. Khi giải phóng liên kết, phân tố không có liên hệ nào với môi trường , chỉ chịu tác dụng của các lực khối 𝑏𝑥, , 𝑏𝑦 , 𝑏𝑧 và các lực quán tính 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑧 và có các chuyển vi 𝑢0 , 𝑣0, 𝑤0 như của vật cứng, với 𝑢0 → ∞ , 𝑣0 → ∞, 𝑤0 → ∞.3 Để cho các chuyển vị 𝑢0 , 𝑣0, 𝑤0 được xác định, đăt thêm các lo-xo theo các chiều x, y, z (hinh 1.3) Độ cứng các lo-xo −𝑏𝑥 +𝑓𝑥 −𝑏𝑦 +𝑓𝑦 −𝑏𝑧 +𝑓𝑧 𝑘𝑥 = lim , 𝑘𝑦 = lim , 𝑘𝑧 = lim 𝑢0 →∞ 𝑢0 𝑣0 →∞ 𝑣0 𝑤0 →∞ 𝑤0 Ta cũng đặt các lo-xo vào phân tố có liên kết. Rõ ràng là các lo-xo được đưa thêm vào không làm thay đổi các chuyển vị 𝑢, 𝑣, 𝑤 của phân tố có liên kêt và chuyển vị 𝑢0 , 𝑣0, 𝑤0 của phân tố tự do. Phân tố có liên kết có các biến dạng (chuyển động) sau : Các biến dạng 𝜀𝑥 , 𝜀𝑦 , 𝜀𝑧 có độ cứng 2G , 2𝐺𝜈 Biến dạng thể tích 𝜃 có độ cứng , (1−2𝜈) Các biến dạng trượt 𝜀𝑥𝑦 , 𝜀𝑥𝑧 , 𝜀𝑦𝑧 có các độ cứng G.

Phân tố tự do (không có liên kết với môi trường) không có các biến dạng này. Theo nguyên lý Gauss (1.1) ta viết lưỡng bức chuyển động 2𝐺𝜈 𝑍 = ∫ { 2𝐺 ( 𝜀𝑥 2 + 𝜀𝑦 2 + 𝜀𝑧 2 ) + (1−2𝜈) 𝜃 2 + 𝜀𝑥𝑦 2 + 𝜀𝑥𝑧 2 + 𝐺 ( )} 𝑑𝑉 𝜀𝑦𝑧 2 + ∫{ 𝑘𝑥 (𝑢 − 𝑢0 )2 + 𝑘𝑦 (𝑣 − 𝑣0 )2 + 𝑘𝑧 (𝑤 − 𝑤0 )2 } 𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛 (1.38) V là thể tích vật thể cần tính. Trước tiên ta tìm cực trị ba tích phân cuối của biểu thức trên với chú ý rằng các đại lượng u,v và w là các hàm tọa độ cho nên phải dùng phép tính biến phân .