Nghiên Cứu Nội Lực Và Chuyển Vị Của Dầm Sử Dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

• Tác giả: Nguyễn Tiến Mạnh
• Người hướng dẫn: GS. Hà Huy Cương
• Trường học: Đại học Dân lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp
• Đề tài: Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn
• Loại tài liệu: luận văn thạc sỹ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU
• 1.1. Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân bằng phân tố
• 1.2. Phƣơng pháp năng lƣợng
• 1.3. Nguyên lý công bù cực đại
• 1.4. Nguyên lý công ảo
• 1.5. Phƣơng trình Lagrange
• 2. BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI
• 2.1. Phƣơng pháp lực
• 2.2. Phƣơng pháp chuyển vị
• 2.3. Phƣơng pháp hỗn hợp và phƣơng pháp liên hợp

I. Giới thiệu về nghiên cứu

Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích nội lực dầm và chuyển vị dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu do khả năng mô phỏng chính xác các bài toán phức tạp. Mục tiêu chính của nghiên cứu là xác định nội lực và chuyển vị của dầm chịu tải trọng tĩnh phân bố đều, từ đó đưa ra các giải pháp thiết kế tối ưu. Nghiên cứu cũng đề cập đến các phương pháp truyền thống như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, và phương pháp hỗn hợp, đồng thời so sánh hiệu quả của chúng với phương pháp FEM.

1.1. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của nghiên cứu là tính toán nội lực và tính toán chuyển vị của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Nghiên cứu nhằm cung cấp một phương pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán phân tích kết cấu phức tạp, đặc biệt trong các công trình xây dựng dân dụng và công nghiệp.

1.2. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tập trung vào việc mô hình hóa kết cấu dầm đơn giản chịu tải trọng tĩnh phân bố đều. Các phương pháp số như phương pháp sai phân và phương pháp biến phân cũng được đề cập để so sánh với phương pháp FEM.

II. Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một kỹ thuật tính toán hiệu quả để giải các bài toán phân tích kết cấu. Phương pháp này chia miền xác định của bài toán thành các phần tử nhỏ, từ đó tìm nghiệm gần đúng của hàm cần tìm. FEM đặc biệt phù hợp với các bài toán có miền phức tạp và điều kiện biên khác nhau. Trong nghiên cứu này, FEM được áp dụng để phân tích dầm và xác định nội lực cũng như chuyển vị.

2.1. Cơ sở lý thuyết của FEM

FEM dựa trên việc chia miền xác định thành các phần tử nhỏ và sử dụng các hàm xấp xỉ để tìm nghiệm. Phương pháp này cho phép phân tích ứng suất và phân tích biến dạng một cách chính xác, đặc biệt trong các bài toán có hình học phức tạp.

2.2. Ứng dụng FEM trong phân tích dầm

Trong nghiên cứu này, FEM được sử dụng để phân tích dầm chịu tải trọng tĩnh phân bố đều. Kết quả cho thấy FEM là một công cụ mạnh mẽ để tính toán nội lực và tính toán chuyển vị, đặc biệt trong các bài toán phân tích kết cấu phức tạp.

III. Phương pháp truyền thống

Nghiên cứu cũng đề cập đến các phương pháp truyền thống như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, và phương pháp hỗn hợp. Các phương pháp này được sử dụng để giải các bài toán phân tích kết cấu và so sánh hiệu quả với phương pháp FEM. Kết quả cho thấy FEM có ưu thế vượt trội trong việc giải quyết các bài toán phức tạp và có miền xác định không đồng nhất.

3.1. Phương pháp lực

Phương pháp lực là một phương pháp truyền thống để giải các bài toán phân tích kết cấu. Phương pháp này thay thế các liên kết thừa bằng các lực chưa biết và giải hệ phương trình đại số tuyến tính để tìm nghiệm.

3.2. Phương pháp chuyển vị

Phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn số và giải hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định các đại lượng cần tìm. Phương pháp này thích hợp cho các bài toán có số lượng nút lớn.

IV. Kết quả và ứng dụng

Nghiên cứu đã chứng minh rằng phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ mạnh mẽ để phân tích kết cấu và tính toán nội lực cũng như tính toán chuyển vị. Kết quả nghiên cứu có thể được ứng dụng trong thiết kế các công trình xây dựng, đặc biệt là các công trình có kết cấu phức tạp. Phương pháp FEM cũng có thể được mở rộng để giải quyết các bài toán phân tích ứng suất và phân tích biến dạng trong các lĩnh vực khác như cơ khí và hàng không.

4.1. Ứng dụng trong xây dựng

Kết quả nghiên cứu có thể được ứng dụng trong thiết kế các công trình xây dựng, đặc biệt là các công trình có kết cấu phức tạp như nhà cao tầng và cầu.

4.2. Ứng dụng trong cơ khí và hàng không

Phương pháp FEM cũng có thể được mở rộng để giải quyết các bài toán phân tích ứng suất và phân tích biến dạng trong các lĩnh vực khác như cơ khí và hàng không.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp, việc phân tích nội lực và chuyển vị của dầm chịu tải trọng là một vấn đề then chốt nhằm đảm bảo an toàn và hiệu quả kết cấu. Theo ước tính, các công trình nhà cao tầng ngày càng phát triển với quy mô lớn, đòi hỏi các phương pháp tính toán chính xác và hiệu quả để xử lý các bài toán cơ học kết cấu phức tạp. Luận văn tập trung nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm đơn chịu tải trọng tĩnh phân bố đều, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) – một phương pháp số hiện đại, có khả năng giải quyết các bài toán với hình học phức tạp và điều kiện biên đa dạng.

Mục tiêu chính của nghiên cứu là xây dựng mô hình toán học và chương trình máy tính để tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn, từ đó đánh giá độ chính xác và hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp truyền thống. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào dầm có tiết diện chữ nhật, chịu tải trọng tĩnh phân bố đều, với các trường hợp dầm đơn giản, dầm đầu ngàm - đầu khớp và dầm hai đầu ngàm. Thời gian nghiên cứu được thực hiện trong năm 2017 tại trường Đại học Dân lập Hải Phòng.

Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào tính toán kết cấu, góp phần nâng cao độ chính xác trong thiết kế và kiểm tra an toàn công trình xây dựng, đồng thời cung cấp cơ sở khoa học cho việc phát triển các phần mềm tính toán kết cấu hiện đại.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, trong đó giả thiết trục dầm không biến dạng, mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm sau biến dạng, và không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao dầm. Phương trình vi phân cân bằng của dầm được thiết lập dựa trên mối quan hệ giữa mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố đều, với phương trình chính:

$$ EJ \frac{d^4 y}{dx^4} = q $$

trong đó $EJ$ là độ cứng uốn của dầm, $y(x)$ là độ võng, và $q$ là tải trọng phân bố.

Ngoài ra, luận văn trình bày các nguyên lý cơ bản trong cơ học kết cấu như nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu, nguyên lý công bù cực đại và nguyên lý công ảo, làm nền tảng cho việc xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng theo mô hình chuyển vị, trong đó chuyển vị được xấp xỉ bằng các hàm nội suy đa thức trong từng phần tử, giúp rời rạc hóa kết cấu liên tục thành các phần tử hữu hạn.

Ba khái niệm chính được sử dụng gồm:

• Hàm chuyển vị (Shape functions): Đa thức bậc nhất hoặc bậc hai dùng để xấp xỉ chuyển vị trong phần tử.
• Ma trận độ cứng phần tử: Xây dựng dựa trên nguyên lý công khả dĩ, biểu diễn mối quan hệ giữa lực và chuyển vị nút.
• Ghép nối ma trận độ cứng: Kết hợp các ma trận phần tử thành ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu, đồng thời xử lý điều kiện biên và liên tục chuyển vị, góc xoay giữa các phần tử.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các công thức lý thuyết, mô hình toán học và các ví dụ tính toán dầm đơn chịu tải trọng tĩnh phân bố đều. Phương pháp phân tích chính là phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị, được triển khai bằng lập trình máy tính sử dụng ngôn ngữ Matlab.

Cỡ mẫu nghiên cứu là các dầm đơn với số phần tử rời rạc từ 4 đến 16 phần tử, tùy theo từng trường hợp dầm đơn giản, dầm đầu ngàm - đầu khớp và dầm hai đầu ngàm. Phương pháp chọn mẫu dựa trên việc chia nhỏ dầm thành các phần tử có kích thước phù hợp để đảm bảo độ chính xác và hiệu quả tính toán.

Timeline nghiên cứu bao gồm:

• Nghiên cứu và tổng hợp lý thuyết cơ bản (tháng 1-3/2017)
• Xây dựng mô hình toán học và chương trình tính toán (tháng 4-6/2017)
• Thực hiện các ví dụ tính toán và phân tích kết quả (tháng 7-9/2017)
• Hoàn thiện luận văn và bảo vệ (tháng 10-12/2017).

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả của phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán dầm:
   Kết quả tính toán nội lực và chuyển vị của dầm đơn, dầm đầu ngàm - đầu khớp và dầm hai đầu ngàm cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn cho kết quả rất gần với kết quả giải tích chính xác. Ví dụ, với dầm đơn chia thành 4 phần tử, sai số chuyển vị tại giữa nhịp so với giải tích là dưới 5%, và sai số mômen uốn dưới 3%.

2. Ảnh hưởng của số lượng phần tử đến độ chính xác:
   Khi tăng số phần tử từ 4 lên 6 hoặc 16, kết quả tính toán càng tiệm cận với kết quả giải tích chính xác, đặc biệt là đường cong mômen uốn và lực cắt. Điều này chứng tỏ việc rời rạc hóa càng chi tiết giúp tăng độ chính xác của mô hình.

3. Xử lý điều kiện biên và liên tục chuyển vị, góc xoay:
   Việc đưa các điều kiện biên như chặn chuyển vị, chặn góc xoay và liên tục góc xoay giữa các phần tử vào ma trận độ cứng tổng thể giúp hệ phương trình không suy biến và giải được chính xác. Ví dụ, trong dầm đầu ngàm - đầu khớp, các điều kiện biên được xử lý hiệu quả, đảm bảo tính liên tục và ổn định của kết quả.

4. Khả năng ứng dụng rộng rãi của phương pháp:
   Phương pháp phần tử hữu hạn không chỉ áp dụng cho dầm đơn giản mà còn phù hợp với các kết cấu phức tạp hơn, có thể mở rộng cho các bài toán kết cấu tấm, vỏ và các dạng tải trọng khác nhau.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính giúp phương pháp phần tử hữu hạn đạt được độ chính xác cao là do khả năng rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử nhỏ, mỗi phần tử được mô tả bằng các hàm chuyển vị đa thức phù hợp, đồng thời áp dụng nguyên lý công khả dĩ để xây dựng ma trận độ cứng. So với các phương pháp truyền thống như phương pháp lực hay phương pháp chuyển vị, PTHH cho phép xử lý các hình học phức tạp và điều kiện biên đa dạng hơn.

Kết quả nghiên cứu phù hợp với các báo cáo của ngành và các nghiên cứu gần đây về ứng dụng PTHH trong cơ học kết cấu. Việc minh họa kết quả qua biểu đồ mômen uốn và lực cắt cho thấy sự tương đồng rõ rệt giữa mô hình số và giải tích, khẳng định tính khả thi và hiệu quả của phương pháp.

Ý nghĩa của nghiên cứu nằm ở việc cung cấp một công cụ tính toán chính xác, có thể ứng dụng trong thiết kế và kiểm tra an toàn kết cấu công trình, góp phần nâng cao chất lượng và độ tin cậy của các công trình xây dựng hiện đại.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong thiết kế kết cấu:
   Khuyến nghị các đơn vị thiết kế và thi công công trình sử dụng PTHH để tính toán nội lực và chuyển vị, nhằm nâng cao độ chính xác và hiệu quả thiết kế. Thời gian áp dụng: ngay lập tức; Chủ thể thực hiện: các công ty tư vấn thiết kế, trường đại học.

2. Phát triển phần mềm tính toán dựa trên mô hình chuyển vị:
   Đề xuất xây dựng hoặc cải tiến các phần mềm tính toán kết cấu sử dụng mô hình chuyển vị trong PTHH, tích hợp các điều kiện biên và liên tục chuyển vị, góc xoay. Thời gian: 1-2 năm; Chủ thể: các viện nghiên cứu, doanh nghiệp công nghệ.

3. Đào tạo và nâng cao năng lực chuyên môn cho kỹ sư kết cấu:
   Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu về phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng trong tính toán kết cấu, giúp kỹ sư nắm vững lý thuyết và thực hành. Thời gian: liên tục; Chủ thể: các trường đại học, trung tâm đào tạo.

4. Mở rộng nghiên cứu cho các loại kết cấu phức tạp hơn:
   Khuyến khích nghiên cứu áp dụng PTHH cho kết cấu tấm, vỏ, kết cấu chịu tải trọng động và nhiệt độ, nhằm đa dạng hóa ứng dụng và nâng cao tính thực tiễn. Thời gian: 2-3 năm; Chủ thể: các nhóm nghiên cứu, trường đại học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Kỹ sư thiết kế kết cấu:
   Hưởng lợi từ việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán chính xác nội lực và chuyển vị, giúp tối ưu hóa thiết kế và đảm bảo an toàn công trình.

2. Giảng viên và sinh viên ngành kỹ thuật xây dựng:
   Sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo để hiểu sâu về lý thuyết dầm, phương pháp phần tử hữu hạn và các kỹ thuật tính toán hiện đại.

3. Nhà nghiên cứu trong lĩnh vực cơ học kết cấu:
   Tham khảo các phương pháp xây dựng ma trận độ cứng, xử lý điều kiện biên và liên tục chuyển vị, từ đó phát triển các nghiên cứu chuyên sâu hơn.

4. Doanh nghiệp phát triển phần mềm kỹ thuật:
   Áp dụng các mô hình và thuật toán trong luận văn để phát triển hoặc cải tiến phần mềm tính toán kết cấu, nâng cao tính cạnh tranh và hiệu quả sản phẩm.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp phần tử hữu hạn có ưu điểm gì so với các phương pháp truyền thống?
   Phương pháp phần tử hữu hạn cho phép rời rạc hóa kết cấu phức tạp thành các phần tử nhỏ, xử lý đa dạng điều kiện biên và hình học, từ đó cho kết quả chính xác và linh hoạt hơn so với phương pháp lực hay chuyển vị truyền thống.

2. Làm thế nào để chọn kích thước phần tử trong phương pháp phần tử hữu hạn?
   Kích thước phần tử được chọn dựa trên độ biến thiên chuyển vị và nội lực trong kết cấu; tại những vùng biến dạng lớn nên chọn phần tử nhỏ hơn để tăng độ chính xác, còn vùng biến dạng nhỏ có thể chọn phần tử lớn hơn để giảm số lượng ẩn.

3. Phương pháp xử lý điều kiện biên trong luận văn như thế nào?
   Điều kiện biên được đưa vào ma trận độ cứng tổng thể bằng cách loại bỏ các dòng và cột tương ứng với chuyển vị bị chặn, hoặc thêm các điều kiện ràng buộc liên tục góc xoay giữa các phần tử, đảm bảo hệ phương trình không suy biến và giải được chính xác.

4. Phương pháp phần tử hữu hạn có thể áp dụng cho các loại kết cấu khác ngoài dầm không?
   Có, phương pháp này có thể mở rộng cho kết cấu tấm, vỏ, khung và các dạng kết cấu phức tạp khác, với việc lựa chọn hàm chuyển vị và phần tử phù hợp.

5. Kết quả tính toán có thể được kiểm chứng như thế nào?
   Kết quả được so sánh với các giải pháp giải tích chính xác hoặc các kết quả thực nghiệm, đồng thời biểu diễn qua biểu đồ mômen uốn, lực cắt và đường độ võng để đánh giá độ chính xác và tính hợp lý của mô hình.

Kết luận

• Phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị là công cụ hiệu quả để tính toán nội lực và chuyển vị của dầm chịu tải trọng tĩnh phân bố đều.
• Kết quả tính toán với số phần tử phù hợp cho độ chính xác cao, gần với giải pháp giải tích chính xác.
• Việc xử lý điều kiện biên và liên tục chuyển vị, góc xoay giữa các phần tử được thực hiện hiệu quả, đảm bảo tính ổn định của hệ phương trình.
• Nghiên cứu cung cấp cơ sở khoa học và công cụ thực tiễn cho thiết kế và kiểm tra an toàn kết cấu công trình.
• Đề xuất mở rộng ứng dụng và phát triển phần mềm tính toán dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trong tương lai.

Next steps: Triển khai ứng dụng phương pháp trong các dự án thực tế, phát triển phần mềm hỗ trợ tính toán, và đào tạo chuyên sâu cho kỹ sư kết cấu.

Call to action: Các đơn vị thiết kế, nghiên cứu và đào tạo nên tích cực áp dụng và phát triển phương pháp phần tử hữu hạn để nâng cao chất lượng công trình xây dựng.