Luận án tiến sĩ: Nghiên cứu hệ mật hạng nhẹ trên vành đa thức cho thiết bị có tài nguyên hạn chế

Luận án tiến sĩ nghiên cứu hệ mật hạng nhẹ trên vành đa thức, ứng dụng cho thiết bị có tài nguyên hạn chế, nâng cao bảo mật và hiệu suất.

• Tác giả: Hoàng Mạnh Thắng
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Bình
• Trường học: Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Điện tử
• Đề tài: Nghiên Cứu Hệ Mật Hạng Nhẹ Trên Vành Đa Thức Ứng Dụng Vào Thiết Bị Có Tài Nguyên Hạn Chế
• Loại tài liệu: luận án
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Cơ sở lý thuyết về vành đa thức và mật mã hạng nhẹ

Chương này trình bày các nghiên cứu tổng quan, các khái niệm, và ý nghĩa cốt lõi làm nền tảng cho các chương tiếp theo. Các chương được chia thành 4 mục chính. Mục 1 trình bày các khái niệm cốt lõi về vành đa thức được dùng để xây dựng các hệ mật mã trong các chương tiếp theo. Mục 2 trình bày khái niệm về mật mã hạng nhẹ, bao gồm tổng quan nghiên cứu về mật mã hạng nhẹ hiện nay trên thế giới và Việt Nam, cùng với các điểm cốt lõi của mật mã hạng nhẹ phổ biến như mật mã CBC-QRHE. Mục 3 trình bày tổng quan về phương pháp tiếp cận để xây dựng hệ mật mã, các tiêu chí và phương pháp để đánh giá một hệ mật mã, làm nền tảng kiến thức để đánh giá các hệ mật mã trong chương 2 và 3. Cuối cùng, phần này phác thảo các vấn đề còn tồn tại, những nhận định chính, đồng thời đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.

1.1. Khái niệm về vành đa thức

Vành đa thức là một cấu trúc toán học quan trọng trong mật mã hạng nhẹ. Định nghĩa vành cho thấy rằng nó là tập hợp các phần tử với hai phép toán là phép cộng và phép nhân, thỏa mãn các tiên đề nhất định. Vành đa thức cho phép thực hiện các phép toán nhanh chóng, điều này rất cần thiết trong các ứng dụng mật mã, đặc biệt là trên các thiết bị có tài nguyên hạn chế. Việc sử dụng vành đa thức trong mật mã hạng nhẹ giúp tối ưu hóa hiệu suất tính toán và giảm thiểu tài nguyên tiêu thụ. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng vành đa thức có thể cung cấp các giải pháp an toàn cho các hệ thống thông tin, đặc biệt trong bối cảnh Internet of Things (IoT).

1.2. Mật mã hạng nhẹ

Mật mã hạng nhẹ (lightweight cryptography) là một lĩnh vực nghiên cứu đang phát triển mạnh mẽ nhằm đáp ứng nhu cầu bảo mật thông tin trên các thiết bị có tài nguyên hạn chế như điện thoại di động và cảm biến IoT. Mật mã hạng nhẹ không chỉ cần đảm bảo tính bảo mật mà còn phải tối ưu hóa về hiệu suất và tiêu thụ năng lượng. Các thuật toán mật mã hạng nhẹ như CBC-QRHE và OM-CA đã được phát triển để đáp ứng các yêu cầu này. Nghiên cứu cho thấy rằng việc áp dụng các phương pháp mật mã hạng nhẹ trên vành đa thức có thể cải thiện đáng kể khả năng chống lại các cuộc tấn công, đồng thời giảm thiểu tài nguyên cần thiết cho việc thực hiện các phép toán mật mã.

II. Hệ mật CBC QRHE trên vành đa thức

Chương này tập trung vào việc xây dựng hệ mật CBC-QRHE, một hệ mật mã lai ghép có khả năng chống lại tấn công bằng bản rõ chọn trước (CPA). Hệ mật này được thiết kế dựa trên vành đa thức, cho phép thực hiện các phép toán một cách hiệu quả và an toàn. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng CBC-QRHE có khả năng chống lại các cuộc tấn công phổ biến, đồng thời đảm bảo tính bảo mật cao. Việc áp dụng vành đa thức trong thiết kế hệ mật này không chỉ giúp tối ưu hóa hiệu suất mà còn nâng cao tính bảo mật. Các thử nghiệm thực tế trên thiết bị Arduino đã chứng minh rằng CBC-QRHE có thể hoạt động hiệu quả trong môi trường có tài nguyên hạn chế, mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng mật mã trong IoT.

2.1. Thiết kế hệ mật CBC QRHE

Hệ mật CBC-QRHE được thiết kế với mục tiêu tối ưu hóa hiệu suất và bảo mật. Các thuật toán được phát triển dựa trên các nguyên lý toán học của vành đa thức, cho phép thực hiện các phép toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng hệ mật này có khả năng chống lại các cuộc tấn công bằng bản rõ chọn trước, điều này rất quan trọng trong bối cảnh bảo mật thông tin hiện nay. Việc áp dụng vành đa thức trong thiết kế hệ mật không chỉ giúp cải thiện hiệu suất mà còn đảm bảo tính bảo mật cao, đáp ứng nhu cầu ngày càng tăng về an toàn thông tin trong các thiết bị IoT.

2.2. Đánh giá hiệu suất của hệ mật

Đánh giá hiệu suất của hệ mật CBC-QRHE cho thấy rằng nó hoạt động hiệu quả trên các thiết bị có tài nguyên hạn chế. Các thử nghiệm thực tế đã được thực hiện để kiểm tra khả năng chống lại các cuộc tấn công và hiệu suất tính toán. Kết quả cho thấy rằng CBC-QRHE không chỉ đảm bảo tính bảo mật mà còn tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên, điều này rất quan trọng trong bối cảnh phát triển công nghệ IoT. Hệ mật này có thể được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như an ninh thông tin, bảo mật dữ liệu và các ứng dụng IoT.

III. Hệ mật Omura Massey trên vành đa thức

Chương này tập trung vào việc nghiên cứu hệ mật Omura-Massey, một hệ mật mã công khai được xây dựng trên vành đa thức. Hệ mật này có khả năng cung cấp tính bảo mật cao và hiệu suất tốt, đặc biệt trong các ứng dụng yêu cầu bảo mật thông tin. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng hệ mật Omura-Massey có thể chống lại các cuộc tấn công phổ biến, đồng thời đảm bảo tính bảo mật cho các thông tin nhạy cảm. Việc áp dụng vành đa thức trong thiết kế hệ mật này không chỉ giúp tối ưu hóa hiệu suất mà còn nâng cao tính bảo mật, mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng mật mã trong IoT.

3.1. Thiết kế hệ mật Omura Massey

Hệ mật Omura-Massey được thiết kế với mục tiêu cung cấp tính bảo mật cao và hiệu suất tốt. Các thuật toán được phát triển dựa trên các nguyên lý toán học của vành đa thức, cho phép thực hiện các phép toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng hệ mật này có khả năng chống lại các cuộc tấn công phổ biến, điều này rất quan trọng trong bối cảnh bảo mật thông tin hiện nay. Việc áp dụng vành đa thức trong thiết kế hệ mật không chỉ giúp cải thiện hiệu suất mà còn đảm bảo tính bảo mật cao, đáp ứng nhu cầu ngày càng tăng về an toàn thông tin trong các thiết bị IoT.

3.2. Đánh giá hiệu suất của hệ mật

Đánh giá hiệu suất của hệ mật Omura-Massey cho thấy rằng nó hoạt động hiệu quả trên các thiết bị có tài nguyên hạn chế. Các thử nghiệm thực tế đã được thực hiện để kiểm tra khả năng chống lại các cuộc tấn công và hiệu suất tính toán. Kết quả cho thấy rằng Omura-Massey không chỉ đảm bảo tính bảo mật mà còn tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên, điều này rất quan trọng trong bối cảnh phát triển công nghệ IoT. Hệ mật này có thể được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như an ninh thông tin, bảo mật dữ liệu và các ứng dụng IoT.

IV. Kết luận

Tổng hợp đánh giá các kết quả đạt được của luận án đồng thời xác định các hướng nghiên cứu tiếp theo. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng vành đa thức trong thiết kế các hệ mật mã hạng nhẹ có thể cải thiện đáng kể khả năng bảo mật và hiệu suất. Các hệ mật như CBC-QRHE và Omura-Massey đã chứng minh được tính khả thi và hiệu quả trong các ứng dụng thực tế. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển thêm các thuật toán mật mã mới dựa trên vành đa thức, nhằm đáp ứng nhu cầu ngày càng cao về bảo mật thông tin trong bối cảnh công nghệ phát triển nhanh chóng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU CHƯƠNG Ch°¢ng này tÃp trung trình bày các nghiên cąu tổng quan, các khái niám, ánh ngh*a c¢ bÁn làm nÅn tÁng cho các ch°¢ng tiÃp theo. Bß cāc ch°¢ng °ÿc chia làm 4 māc chính.2 trình bày các khái niám c¢ bÁn vÅ vành a thąc °ÿc dùng ể xây dāng các há mÃt mã trong các ch°¢ng tiÃp theo.3 trình bày khái niám vÅ mÃt mã h¿ng nh攃⌀, bąc tranh tổng quan nghiên cąu vÅ mÃt mã h¿ng nh攃⌀ hián nay trên thà giái và Viát Nam, nhÿng Ác iểm c¢ bÁn căa MÃt mã h¿ng nh攃⌀ phổ biÃn cjng nh° mßt sß há mÃt mã iển hình trên vành a thąc, làm tiÅn Å cho viác chąng minh các há mÃt trên vành a thąc là mÃt mã h¿ng nh攃⌀ å các ch°¢ng tiÃp theo.4 trình bày tổng quan vÅ ph°¢ng pháp tiÃp cÃn ể xây dāng há mÃt, các tiêu chí và ph°¢ng pháp ể ánh giá mßt há mÃt, làm nÅn tÁng kiÃn thąc ể ánh giá các há mÃt trong ch°¢ng 2 và 3. Cußi cùng, phÁn nhÃn xét ch°¢ng sÁ tổng kÃt, ánh giá l¿i nhÿng v¿n Å còn tồn t¿i, nhÿng nhÃn ánh mái, ồng thãi dÁn dÅt, giái thiáu các nßi dung căa các ch°¢ng tiÃp theo nh¿m giÁi quyÃt v¿n Å ã Át ra và làm rõ các Å xu¿t mái.2 CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MẬT Mà 1.1 Vành Định nghĩa 1-1: Vành ký hiáu là R (Ring) là mßt tÃp các phÁn tĉ trên ó xác ánh 2 phép toán 2 ngôi (phép cßng và phép nhân) và thßa mãn các tiên Å R1  R4. Phép toán cßng ký hiáu là þ + ÿ.

Phép toán nhân ký hiáu là þ. Tiên đề R1: TÃp R là mßt nhóm Abel (tąc là nhóm Abel theo phép cßng). Tiên đề R2: (tính óng kín) Vái 2 phÁn tĉ b¿t kỳ þ, ÿ  Ć Åu xác ánh tích a. 1) 6 Tiên đề R4: (luÃt phân phßi) Đßi vái 3 phÁn tĉ þ, ÿ, Ā trong tÃp R ta có: þ.

3) Vành °ÿc gãi là vành giao hoán nÃu ∀þ, ÿ ∈ Ć luôn có þ.2 Trường hữu hạn Định nghĩa 1-2: Tr°ãng ký hiáu là F (Fields) là mßt vành giao hoán có phÁn tĉ ¢n vá vái phép nhân. Trong vành này mßi phÁn tĉ khác 0 Åu có phÁn tĉ ng°ÿc ßi vái phép nhân. Định nghĩa 1-3: Tr°ãng hÿu h¿n là mßt tr°ãng F có chąa hÿu h¿n sß phÁn tĉ. C¿p căa tr°ãng là c¢ så các phÁn tĉ trong F.

Vái mßi giá trá Ć ă tồn t¿i duy nh¿t mßt tr°ãng hÿu h¿n c¿p Ć ă. Tr°ãng này ký hiáu ăĂ(Ć ă ). Hai tr°ãng °ÿc gãi là Áng c¿u nÃu chúng gißng nhau vÅ mÁt c¿u trúc, mÁc dù cách biểu dißn các phÁn tĉ có thể là khác nhau. Chú ý r¿ng nÃu Ć là sß nguyên tß thì ýĄ là mßt tr°ãng và vì vÃy mãi tr°ãng c¿p Ć Åu Áng c¿u vái ýĆ.

Trong tr°ãng hÿp Ác biát Ć = 2, tr°ãng °ÿc gãi là tr°ãng nhá phân.3 Vành đa thức Định nghĩa 1-4: Cho ĂĆ là mßt tr°ãng hÿu h¿n, mßt vành a thąc trên tr°ãng Ă�㕃 °ÿc ký hiáu là ĆĄ,Ć = ĂĆ [Ď ] \ (Ď Ą 2 1) là tÃp hÿp t¿t cÁ các a thąc căa biÃn x vái há sß trong Ă�㕃. Hai phép toán là phép cßng và phép nhân a thąc theo modulo (Ď Ą 2 1). Trong tr°ãng hÿp các há sß căa a thąc n¿m trong vành sß nguyên ýć , vành sÁ °ÿc gãi là a thąc bÃc hÿu h¿n há sß nguyên, ký hiáu là ýć [Ď]\(Ď Ą 2 1) | Ą ∈ ý + hay d¿ng ngÅn gãn là ĆĄ,ć. 7 Trong tr°ãng hÿp ć = 2 hay các há sß căa a thąc n¿m trong vành ý2 , vành a thąc này sÁ °ÿc gãi là vành a thąc có bÃc hÿu h¿n há sß nhá phân, ký hiáu là ý2 [Ď]\(Ď Ą 2 1)|Ą ∈ ý + hay d¿ng ngÅn gãn là ĆĄ.

L°u ý r¿ng trong vành ý2 , 21 = 1 nên ng°ãi ta th°ãng viÃt ĆĄ = ý2 [Ď]) \ (Ď Ą + 1)|Ą ∈ ý +. BÃc căa mßt a thąc ă trong vành °ÿc ký hiáu là deg ă. Do bÃc có bÃc tßi a là Ą 2 1, mãi a thąc trong vành a thąc có thể biểu dißn d°ái d¿ng Áy ă Ą21 ă = ෍ ăÿ Ď ÿ | ăÿ ∈ ýć (1. 4) ÿ=0 hoÁc d°ái d¿ng véc-t¢ ă = (ă0 , ă1 , & , ăĄ21 )│ăÿ ∈ ýć (1.

5) Để tián theo dõi, mßt a thąc ă(Ď ) thußc vành sÁ °ÿc viÃt d¿ng rút gãn là ă và sĉ dāng nh¿t quán trong luÃn án.1 Phép cộng hai đa thức trong vành đa thức Trong ĆĄ,ć , xét hai a thąc þ = ∑Ą21 ÿ Ą21 ÿ ÿ=0 þÿ Ď và ÿ = ∑ÿ=0 ÿÿ Ď , phép cßng hai a thąc °ÿc ký hiáu là 8+9. NÃu a thąc Ā là tổng căa þ và ÿ ta có Ą21 Ā = þ + ÿ = ෍ Āÿ Ď ÿ (1. 6) ÿ=0 Trong ó và Āÿ = þÿ + ÿÿ mod ć. L°u ý å ây phép cßng các há sß þÿ và ÿÿ °ÿc thāc hián trên vành ýć .2 Phép nhân hai đa thức trong vành đa thức Trong ĆĄ,ć , xét hai a thąc þ = ∑Ą21 Ą21 ÿ=0 þÿ Ď và ÿ = ∑ÿ=0 ÿÿ Ď , phép cßng hai a ÿ ÿ thąc °ÿc ký hiáu là 8*9.

NÃu a thąc Ā là tích căa þ và ÿ ta có Ą21 Ā = þ ∗ ÿ = ෍ Āā Ď ā (1.3 Phép modulo một đa thức với một số nguyên p trong vành đa thức Trong ĆĄ,ć , kÃt quÁ phép tính modulo mßt a thąc þ = ∑Ą21 ÿ ÿ=0 þÿ Ď vái mßt sß nguyên Ć, ký hiáu là þ mod Ć là mßt a thąc Ą21 Ā = ෍ Āÿ Ď ÿ (1.4 Vành đa thức hai lớp k Cyclic Định nghĩa 1-5: Vành a thąc theo modulo Ď Ą + 1 °ÿc gãi là vành a thąc có hai láp kÅ cyclic nÃu phân tích căa xn+1 thành tích căa các a thąc b¿t khÁ quy trên tr°ãng ăĂ(2) có d¿ng sau: Ą21 Ď Ą + 1 = (Ď + 1) ෍ Ď ÿ (1. 11) ÿ=0 Trong ó, (Ď + 1) và Ă0 (Ď ) = ∑Ą21 ÿ=0 Ď là các a thąc b¿t khÁ quy. ÿ Vành a thąc hai láp kÅ Cyclic chß có hai chu trình: ÿ0 = >0? (1.5 Lũy đẳng trong vành đa thức Định nghĩa 1-6: Trong vành a thąc ĆĄ , mßt a thąc Ă °ÿc gãi là ljy Áng nÃu Ă 2 = Ă. Bổ đề 1-1: Trong vành a thąc ĆĄ , xét a thąc Ă0Ą = ∑Ą21 ÿ=0 Ď , vái mãi a thąc ÿ ă ∈ ĆĄ ta có ă ∗ Ă0Ą = (č (ă ) ăąā 2).

Chąng minh: GiÁ sĉ ă °ÿc biểu dißn là 9 Ą21 ă = ෍ ăÿ Ď ÿ (1. 18) ÿ=0 ÿ=0 Bổ ể này có ý ngh*a r¿t quan trãng trong viác chąng minh các tính ch¿t căa ljy Áng nußt và qua ó xác ánh các phÁn tĉ khÁ nghách må rßng trong vành ĆĄ. Bổ đề 1-2: Trong các vành ĆĄ vái Ą l¿ , Ă0Ą = ∑Ą21 ÿ=0 Ď là mßt ljy Áng. ÿ Chąng minh: Ta có Ą21 Ą21 2 Ă0Ą = Ă0Ą ∗ (1 + ෍ Ď ÿ ) = Ă0Ą + Ă0Ą ∗ ෍ Ď ÿ (1.

20) ÿ=1 ÿ=1 Do Ą l¿ nên č(∑Ą21 Ą21 ÿ ÿ=1 Ď ) là ch¿n theo ó, Ă0Ą ∗ ∑ÿ=1 Ď = 0 hay ÿ 2 (1. 10 Định nghĩa 1-7: Trong các vành ĆĄ mßt ljy Áng Ă °ÿc gãi ljy Áng nußt (Swallowing Idempotent) nÃu : ă ∗ Ă = (č (ă ) ăąā 2). 22) Rõ ràng trong mãi vành ĆĄ vái Ą l¿ , Ă0Ą = ∑Ą21 ÿ=0 Ď là ljy Áng nußt. Đây là ÿ a thąc chąa toàn bß các ¢n thąc trong vành.3 MẬT MC H䄃⌀NG NH䔃⌀ 1.1 Khái niệm và phân loại mật m愃̀ hạng nhẹ Theo tiêu chu¿n ISO/IEC 29192[52], mÃt mã h¿ng nh攃⌀ là mÃt mã °ÿc dùng cho māc ích bÁo mÃt, xác thāc, nhÃn d¿ng và trao ổi khóa; phù hÿp cài Át cho nhÿng môi tr°ãng tài nguyên h¿n chÃ.

Trong ISO/IEC 29192, tính ch¿t nh攃⌀ °ÿc mô tÁ dāa trên nÅn tÁng cài Át, có thể °ÿc cài Át ánh giá riêng trên phÁn mÅm hoÁc riêng trên phÁn cąng. Đßi vái riển khai phÁn cąng, dián tích chip và nng l°ÿng tiêu thā là nhÿng tiêu chí quan trãng ể ánh giá tính nh攃⌀ căa há mÃt. Đßi vái triển khai phÁn mÅm thì kích th°ác mã nguồn, kích th°ác RAM l¿i là tiêu chí cho mßt há mÃt °ÿc coi là nh攃⌀. Tổng kÃt tć các bài báo qußc tà cjng nh° các bài báo trong n°ác vÅ mÃt mã h¿ng nh攃⌀ [5], [6], [7], có thể phát biểu ngÅn gãn, mÃt mã nh攃⌀ là há mÃt có tính thßa hiáp, cân ßi giÿa ba tiêu chí vÅ ß an toàn, hiáu su¿t và các tham sß vÃt lý (RAM, CPU, Nguồn &).

Đß an toàn VÃt lý Hiáu su¿t Hình 1-1: Nguyên lý thiết kế thuật toán mật mã hạng nhẹ 11 Có nhiÅu cách phân lo¿i mÃt mã h¿ng nh攃⌀, ể thuÃn tián cho quá trình nghiên cąu, nh° trong [17] ã phân lo¿i theo theo c¿u trúc thuÃt toán, kèm theo là danh sách các há mÃt iển hình theo tćng lo¿i nh° trình bày trong BÁng 1-1. Bảng 1-1: Phân loại mật mã hạng nhẹ theo cấu trúc thuật toán STT Cấu trúc thuật toán Các hệ mật điển hình AES, Present, GIFT, SKINNY, Rectangle, M¿ng thay thà - hoán vá Midori, mCrypton, Noekeon, Iceberg, 1 (SPN) Puffin-2, Prince, Pride, Print, Klein, Led, Picaro, Zorro, I-Present, EPCBC DESL/DESXL, TEA/XTEA/XXTEA, Camellia, Simon, SEA, KASUMI, MIBS, 2 M¿ng Feistel (FN) LBlock, ITUbee, FeW, GOST, Robin, Fantomas M¿ng Feistel tổng quát 3 CLEFIA, Piccolo, Twis, Twine, HISEC (GFN) 4 Add-Rotate-XOR (ARX) SPECK, IDEA, HIGHT, BEST-1, LEA Thanh ghi dách chuyển 5 phÁn hồi không tuyÃn tính KeeLoq, KATAN/KTANTAN, Halka (NLFSR) Hummingbird, Hummingbird-2, Present- 6 Hßn hÿp (Hybrid) GRP Trong các há mÃt trên, chß có mßt sß há mÃt d°ÿc chu¿n hóa båi tổ chąc uy tín trên thà giái. Cā thể, theo tổ chąc tiêu chu¿n qußc tà ISO và ăy ban kā thuÃt ián qußc tà IEC, ¢n vá ban hành và duy trì các tiêu chu¿n vÅ thông tin và công nghá truyÅn thông, hián nay ã công bß hai tiêu chu¿n cho mÃt mã h¿ng nh攃⌀ là: - Tiêu chu¿n ISO/IEC 29167: công nghá thông tin-kā thuÃt nhÃn dián và thu thÃp dÿ liáu tā ßng, trong phÁn 10, 11 và 13. Vái mÃt mã ßi xąng nên °ÿc sĉ dāng trong giao tiÃp không gian và th¿ RFID.

Các phÁn này °ÿc mô tÁ cā thể trong AES-128, PRESENT-80 và Grain-128A. 12 - Tiêu chu¿n ISO/IEC 29192 vái mßt lo¿t các tiêu chu¿n vÅ mã khßi nh° PRESENT, CLEFIA, mã dòng nh° Trivium, Enocoro hay hàm bm PHOTON, Spongent, Lesamnta-LW. Mßt vài tiêu chu¿n °ÿc Å cÃp trong ISO/IEC 29192 là: o Sā an toàn căa c¢ chà mã hóa, bÁo mÃt 80 bits °ÿc coi là ß an ninh tßi thiểu cho mßt há mÃt mã nh攃⌀.