CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản của Lý thuyết nút. Các chứng minh dài và khó sẽ được bỏ qua kèm theo trích dẫn tài liệu tra cứu cho nó. Ngoài ra, một vài khái niệm trong Lý thuyết đồ thị, những thứ cần thiết cho chương ba, cũng được trình bày vắn tắt. Cuối mục 6 là một bảng các nút nguyên tố có số điểm cắt không lớn hơn 8.
Ngoài trừ mục cuối, nội dung chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào ba tài liệu [2], [8] và [9].1 Nút và Link Các nút là những thứ hết sức quen thuộc trong cuộc sống chúng ta. Nó xuất hiện khi chúng ta buộc những kiện hàng, thắt dây giầy, hay các công việc tương tự khác. Các nút có thể tháo ra, buộc lại theo các cách giống nhau hoặc khác nhau. Để nghiên cứu tính thắt nút, phần bị thắt nút của sợi dây cần được làm nổi bật.
Một cách làm điều đó là phần bên ngoài chỗ thắt nút là một đoạn dây dài thẳng. Một cách tốt hơn là ta gắn hai đầu của phần bên ngoài nút đó để tạo thành một vòng dây. Lý thuyết nút nghiên cứu các tính chất Tôpô của các vòng bị nhúng vào trong không gian ba chiều. Ta cho phép một nút có thể làm cho bị biến dạng giống như ta tác động lên một sợi dây mảnh, mềm mại, co giãn với hai đầu dính liền nhau.
Bây giờ là định nghĩa chính xác của nút: Định nghĩa 1.1 Một nút là ảnh của một phép nhúng trơn S1 vào trong R3. Như vậy một nút là một đa tạp con một chiều trong R3 vi phôi với S1 , do đó có hai phép định hướng trên nó. Một nút cùng với một phép định hướng được gọi là nút định hướng. Nếu K là nút định hướng thì ta kí hiệu −K là nút định hướng nhận được từ K bằng cách đảo hướng.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Đẳng luân Định nghĩa 1.2 Một m-link (m ∈ N) là một tập con của R3 có đúng m thành phần liên thông, mỗi thành phần liên thông là một nút. Một m-link định hướng là một m-link với mỗi thành phần là một nút định hướng. Như vậy, các nút là các link một thành phần.
Với mỗi m-link, ta có cả thảy 2m cách định hướng trên nó. Một số ví dụ về các nút và link quan trọng được cho trong hình 1.1: Vài ví dụ về nút và link. Với mỗi link L cho trước, ta có thể xây dựng một link mới bằng phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy. Cụ thể ta ký hiệu L là ảnh của L qua ánh xạ: ( x, y, z) → ( x, y, −z).
Rõ ràng L cũng là một m-link và được gọi là link gương của L.2 Đẳng luân Trong mục này chúng ta định nghĩa thế nào là hai nút tương đương. Một cách trực giác, hai nút là tương đương nếu chúng có thể biến đổi thành nhau mà không cần phải tháo nút ra rồi thắt nút lại theo một kiểu khác. Định nghĩa toán học của hình ảnh trên như sau: 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Đẳng luân Định nghĩa 1.3 Link L1 được gọi là đẳng luân không gian với link L2 nếu tồn tại một vi phôi trong R3 biến L1 thành L2 , và vi phôi này phải đồng luân trơn với ánh xạ đồng nhất theo lớp các vi phôi trong R3.
Một vi phôi như thế được gọi là một phép đẳng luân từ L1 tới L2. Từ đây về sau, ta sẽ dùng từ "đẳng luân" thay cho cụm từ "đẳng luân không gian". Theo định nghĩa, link L1 đẳng luân với link L2 khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ trơn F : R3 × [0, 1] 7→ R3 thỏa mãn hai điều kiện: i) Với mỗi t ∈ [0, 1], ánh xạ f t := F ( , t) : R3 7→ R3 là vi phôi. ii) f 0 = idR3 và f 1 ( L1 ) = L2 Một họ vi phôi f t như thế được gọi là một dải đẳng luân từ L1 đến L2 .4 Quan hệ đẳng luân là quan hệ tương đương trên tập các link.
Hiển nhiên mọi link đều đẳng luân với chính nó. Giả sử ta có một link L1 đẳng luân với một link L2. Theo định nghĩa, tồn tại dải đẳng luân f t từ L1 tới L2. Ta sẽ chứng minh họ f t−1 là một dải đẳng luân từ L2 tới L1.
Muốn thế ta chỉ cần chứng minh f t−1 trơn theo biến t. Xét ánh xạ G : R3 × [0, 1] 7→ R3 × [0, 1] cho bởi công thức: G ( x, t) = ( f t ( x ), t). Vì f t là vi phôi với mọi t nên G là một song ánh trơn với ánh xạ ngược G −1 (y, t) = ( f t−1 (y), t). Tại một điểm ( p, t) ∈ R3 × [0, 1] bất kì, đạo hàm D( p, t) G có ma trận chính tắc là ma trận: ∂f ∂ f 1,t ∂ f 1,t 1,t ( p ) ( p ) ( p ) 0 ∂∂xf2,t1 ∂x2 ∂ f 2,t ∂x3 ∂ f 2,t 1∂x ( p ) ∂x 2 ( p ) ∂x 3 ( p ) 0 ∂ f3,t ∂f ∂f ∂x1 ( p) ∂x1,t2 ( p) ∂x3,t3 ( p) 0 0 0 0 1 ( f i,t là hàm tọa độ thứ i của f t ) Vì f t là vi phôi với mọi t nên det( D( p, t) G ) = det( D p f t ) 6= 0, tức là đạo hàm tại ( p, t) là song ánh.
Theo định lý hàm ngược, ánh xạ ngược G −1 (y, t) = ( f t−1 (y), t) phải là ánh xạ trơn trong một lân cận của G ( p, t) = (q, t). Từ đó ta có f t−1 là ánh xạ trơn trong một lân cận của (q, t), và vì q chạy trên toàn bộ R3 nên f t−1 là ánh xạ trơn trên R3 × [0, 1]. Cuối cùng, giả sử L1 , L2 , L3 là ba link tùy ý sao cho L1 đẳng luân với L2 , L2 đẳng luân với L3. Khi đó, theo định nghĩa, tồn tại các dải đẳng luân f t , gt từ L1 tới L2 và từ L2 tới L3.
Khi đó ánh xạ H : R3 × [0, 1] 7→ R3 xác định bởi: F ( x, 2t) t ∈ [0, 21 ] H ( x, t) = (1.1) G [ F ( x, 1), 2t − 1] t ∈ [ 12 , 1] 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Biểu đồ là một dải đẳng luân từ L1 tới L3. Do đó quan hệ đẳng luân có tính chất bắc cầu. Dựa vào khái niệm đẳng luân, ta gọi các phần tử thuộc lớp đẳng luân của link gồm m đường tròn đồng phẳng và đôi một rời nhau là các m-link tầm thường.
Dễ thấy một m-link là tầm thường khi và chỉ khi tất cả m thành phần của nó đều đẳng luân với đường tròn và với hai thành phần bất kì đều tồn tại một hình cầu chứa một thành phần và không giao với cái còn lại. Với một tập hợp "quen biết" X có một quan hệ tương đương ∼ trên nó, ta gọi ánh xạ I : {tập các link} → X là một bất biến đẳng luân của link nếu I ( L) ∼ I ( L0 ) nghiệm đúng với mọi cặp link đẳng luân với nhau. Nếu bất biến I cũng là điều kiện đủ để hai link (nói riêng là hai nút) đẳng luân thì nó được gọi là một bất biến (nút) hoàn hảo. Như thế, để chứng minh hai link L và L0 không đẳng luân, cần và đủ là xây dựng một bất biến I sao cho I ( L) và I ( L0 ) không tương đương.
Bất biến thô sơ nhất chính là số thành phần của link. Một bất biến khác ít thô sơ hơn một chút là phần bù của link. Hiển nhiên hai link đẳng luân thì phần bù của chúng sẽ đồng phôi. Điều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát.
Nhưng với trường hợp các nút thì khẳng định ngược lại cũng đúng, tức là "hai phần bù đồng phôi" là điều kiện cần và đủ để hai nút đẳng luân (đây là một định lý với chứng minh rất khó). Như thế, phần bù là một bất biến nút hoàn hảo. Trong chương sau, ta sẽ trình bày một trong những bất biến quan trọng nhất trong Lý thuyết nút là Đa thức Jones. Tuy không phải bất biến nút hoàn hảo, nó vẫn cho phép ta chứng minh một nút và nút gương của nó nói chung không đẳng luân với nhau.
Cuối cùng, với hai link định hướng, quan hệ đẳng luân giữa chúng được định nghĩa hoàn toàn giống như trường hợp không định hướng, chỉ thêm yêu cầu phép đẳng luân phải là vi phôi phù hợp với định hướng trên chúng. Tất cả các định sự kiện về link không định hướng vừa trình bày bên trên đều dễ dàng chuyển sang cho trường hợp link định hướng.3 Biểu đồ Một trong những cách thông dụng nhất để biểu diễn nút và link là chiếu chúng lên mặt phẳng. Dù có cung cấp một số thông tin về link, các phép chiếu là không đủ để ta khôi phục lại link từ nó: chẳng hạn các thông tin về độ cao bị mất đi và ta không biết sợi nào ở bên trên hay dưới một sợi dây khác. Hơn nữa, có một số phép chiếu là tốt hơn so với các phép chiếu khác.
4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Biểu đồ Cho một link L và một phép chiếu song song từ R3 xuống R2 = Oxy. Với mong muốn thu được nhiều thông tin nhất có thể, ta cần phép chiếu thỏa mãn bốn điều kiện sau: (i) Tiếp tuyến tại mọi điểm trên L qua phép chiếu vẫn phải là đường thẳng (tức là không suy biến thành một điểm). (ii) Với n > 2, không tồn tại n điểm phân biệt của L qua phép chiếu trở thành một điểm.
(iii) Tại hai điểm phân biệt của L được chiếu thành một điểm, hai tiếp tuyến qua phép chiếu không được trùng nhau. Nói cách khác, nếu hai cung rời nhau của L qua phép chiếu trở thành hai cung giao nhau thì phép giao phải là giao hoành. (iv) Tập các điểm trên mặt phẳng là ảnh của hai điểm phân biệt trên L phải hữu hạn.5 Một phép chiếu song song từ không gian xuống mặt phẳng Oxy thỏa mãn bốn điều kiện trên được gọi là phép chiếu chính quy đối với link L. Trong định nghĩa phép chiếu chính quy theo một link cho trước, nói riêng, có hai tình huống không được phép xảy ra: Thứ nhất ba điểm phân biệt của link được chiếu lên cùng một điểm (hình 1.