Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp đại học đề tài "Nghiên cứu một số hàm toán học đặc thù áp dụng trong vật lý" được thực hiện bởi sinh viên Lê Thị Như Thảo, chuyên ngành Sư phạm Vật lý (khóa 2011 - 2015), Khoa Lý - Hóa - Sinh, Trường Đại học Quảng Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Thanh Tâm (nghiệm thu tháng 4 năm 2015).

Bối cảnh thực tiễn được tác giả xác lập xuất phát từ vai trò của toán học đối với sự phát triển của vật lý học. Vật lý học nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên và mang bản chất cơ bản là khoa học thực nghiệm. Tuy nhiên, để biểu diễn các quy luật định lượng một cách chuẩn xác, phương pháp toán học là công cụ thiết yếu. Kể từ thế kỷ XIX, sự hình thành và hoàn thiện của hai trụ cột nhiệt động lực học và điện động lực học đã thúc đẩy sự ra đời của Vật lý lý thuyết — ngành học kết hợp giữa nội dung vật lý và phương pháp toán học. Đối với sinh viên chuyên ngành Sư phạm Vật lý, sau khi hoàn thành chương trình Vật lý đại cương, việc tiếp cận các học phần chuyên sâu của Vật lý lý thuyết (như Cơ học lượng tử, Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, Phương pháp toán lý) đòi hỏi nền tảng giải tích toán học phức tạp. Nhiều giáo trình chuyên ngành chỉ trình bày vắn tắt định nghĩa hoặc dẫn ra kết quả cuối cùng của các hàm đặc thù mà không phân tích chi tiết bản chất giải tích, gây khó khăn cho người học trong việc tiếp thu và giải quyết bài tập chuyên sâu.

Từ thực tế đào tạo trên, tác giả xác định mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể:

  1. Nghiên cứu hệ thống lý thuyết về một số hàm toán học đặc thù thường được áp dụng trong vật lý, bao gồm hàm Gamma, hàm Delta Dirac, hàm Zeta Riemann và hàm Bessel.
  2. Vận dụng các hàm toán học đặc thù này vào giải quyết một số lớp bài toán vật lý lý thuyết phức tạp thuộc các phân ngành cơ học, vật lý thống kê và vật lý chất rắn.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của khóa luận được phân định rõ:

  • Đối tượng nghiên cứu: Bốn họ hàm toán học đặc thù gồm hàm Gamma $\Gamma(t)$, hàm Delta Dirac $\delta(x)$, hàm Zeta Riemann $\zeta(s)$ và hàm Bessel (hàm trụ loại 1, loại 2, loại 3).
  • Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của các hàm giải tích trên trong chương trình đào tạo cử nhân Sư phạm Vật lý, giới hạn trong các phân môn Phương pháp toán lý, Nhiệt động lực học và vật lý thống kê, Cơ học lượng tử và Vật lý chất rắn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Về mặt lý luận, khóa luận phân tích mối tương quan giữa toán học và vật lý học. Vật lý học nghiên cứu thế giới thực tại thông qua các định luật, nguyên lý thực nghiệm và mang tính tổng hợp; trong khi toán học phát triển dựa trên hệ tiên đề, giả thuyết trừu tượng và mang tính phân tích logic thuần túy. Vật lý lý thuyết và vật lý toán đóng vai trò cầu nối, sử dụng công cụ mô hình hóa toán học để mô tả các quá trình vật lý, đòi hỏi kết quả giải tích cuối cùng phải phản ánh bản chất và ý nghĩa vật lý cụ thể.

Cơ sở lý thuyết của đề tài dựa trên các công cụ giải tích toán học cao cấp:

  • Lý thuyết hàm giải tích phức và hàm siêu việt (hàm Gamma, hàm Zeta Riemann).
  • Lý thuyết hàm suy rộng và phiếm hàm tuyến tính liên tục (hàm Delta Dirac và hàm bước nhảy Heaviside).
  • Phương pháp giải phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số biến thiên bằng phương pháp chuỗi lũy thừa Frobenius (phương trình Bessel).

Phương pháp nghiên cứu được tác giả triển khai trong khóa luận bao gồm:

  • Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Thu thập, đọc, phân tích và hệ thống hóa các tài liệu chuyên khảo, giáo trình đại học về Toán giải tích, Phương pháp toán lý và các chuyên ngành Vật lý lý thuyết.
  • Phương pháp phân tích và tổng hợp logic: Suy diễn toán học chặt chẽ để chứng minh tính chất, biến đổi công thức truy toán và thiết lập mối liên hệ giữa các biểu diễn giải tích khác nhau của cùng một hàm số.
  • Phương pháp tham vấn chuyên gia: Thảo luận, tiếp thu định hướng học thuật từ cán bộ hướng dẫn khoa học để lựa chọn hệ thống bài tập áp dụng phù hợp với chương trình đào tạo đại học.

Nguồn dữ liệu của đề tài hoàn toàn là dữ liệu lý thuyết và bài tập học thuật trích xuất từ các giáo trình chuẩn mực về vật lý toán và vật lý lý thuyết trong nước và quốc tế.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Lý thuyết về một số hàm toán học đặc thù áp dụng trong Vật lý

Chương 1 chiếm dung lượng lớn nhất của khóa luận (từ trang 3 đến trang 39), tập trung hệ thống hóa định nghĩa giải tích, tính chất toán học và đồ thị biểu diễn của bốn họ hàm toán học đặc thù.

  1. Mối quan hệ giữa toán học và vật lý học: Tác giả điểm lại tư tưởng của Pythagoras, Plato, Galileo và Newton về việc sử dụng toán học làm ngôn ngữ mô tả trật tự tự nhiên; phân tích sự tương đồng và dị biệt về bản thể luận giữa hai ngành.

  2. Hàm Gamma $\Gamma(t)$:

  • Được định nghĩa là hàm siêu việt mở rộng từ hàm giai thừa $n!$. Tác giả trình bày định nghĩa tích số vô hạn Weierstrass: $$\Gamma(t) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^t}{t(t+1)\dots(t+n)} = \frac{e^{-\gamma t}}{t} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{t}{n}\right)^{-1} e^{t/n}$$ với $\gamma \approx 0{,}577216$ là hằng số Euler - Mascheroni; và tích phân Euler loại 2 hội tụ khi $\text{Re}(t) > 0$: $\Gamma(t) = \int_0^\infty x^{t-1} e^{-x} dx$.
  • Trên mặt phẳng phức, hàm Gamma là hàm phân hình, không có không điểm, có cực điểm đơn tại các số nguyên không dương $t = 0, -1, -2, \dots$; nghịch đảo $1/\Gamma(t)$ là một hàm nguyên.
  • Khóa luận chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản: hệ thức truy hồi $\Gamma(t+1) = t\Gamma(t)$, xấp xỉ Stirling khi $t \to \infty$, và công thức phản ánh Euler: $$\Gamma(t)\Gamma(1-t) = \frac{\pi}{\sin(\pi t)}$$ thông qua việc khai triển chuỗi Fourier hàm số $y(t) = \cos(\alpha t)$. Từ đó suy ra giá trị tại đối số bán nguyên $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$, công thức nhân đôi Legendre, định lý Bohr-Mollerup về tính log-lồi và khai triển chuỗi Laurent của hàm Gamma quanh điểm $z = 1$.
  1. Hàm Delta Dirac $\delta(x)$:
  • Được xác định như một hàm suy rộng (phiếm hàm) thông qua quy tắc lấy tích phân tác động lên hàm cơ sở: $\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-c)dx = f(c)$.
  • Tác giả biểu diễn $\delta(x)$ qua giới hạn đạo hàm của hàm bước Heaviside $H(x)$: $\delta(x - x_0) = \frac{dH(x - x_0)}{dx}$.
  • Các tính chất đại số và giải tích được trình bày gồm: tính chẵn $\delta(-x) = \delta(x)$, hệ thức co giãn $\delta(\alpha x) = \frac{1}{|\alpha|}\delta(x)$, đạo hàm phiếm hàm cấp cao $\int_{-\infty}^\infty \delta^{(n)}(x - x_0) f(x) dx = (-1)^n f^{(n)}(x_0)$, và khai triển qua hệ hàm trực chuẩn đầy đủ.
  • Khóa luận tổng hợp cách biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ tọa độ cong thông dụng thông qua Bảng 1.1:
Hệ tọa độ Trường hợp tổng quát Trường hợp có tính đối xứng
Tọa độ trụ $(r, \varphi, z)$ $\frac{1}{r} \delta(r - r_0)\delta(\varphi - \varphi_0)\delta(z - z_0)$ Đối xứng theo $\varphi$: $\frac{1}{2\pi r} \delta(r - r_0)\delta(z - z_0)$
Tọa độ cầu $(r, \theta, \varphi)$ $\frac{1}{r^2 \sin\theta} \delta(r - r_0)\delta(\theta - \theta_0)\delta(\varphi - \varphi_0)$ Đối xứng theo $\varphi$: $\frac{1}{2\pi r^2 \sin\theta} \delta(r - r_0)\delta(\theta - \theta_0)$
Đối xứng theo cả $\theta$ và $\varphi$: $\frac{1}{4\pi r^2} \delta(r - r_0)$
  • Dạng lượng giác khai triển Fourier của hàm Delta Dirac ba chiều: $\delta(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} d\mathbf{k}$.
  1. Hàm Zeta Riemann $\zeta(s)$:
  • Định nghĩa qua tích phân với hàm Gamma: $\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{u^{s-1}}{e^u - 1} du = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}$ khi $\text{Re}(s) > 1$.
  • Tác giả trình bày phương trình hàm phản xạ Euler - Riemann, mở rộng giải tích cho toàn bộ mặt phẳng phức trừ cực điểm đơn tại $s = 1$ với thặng dư bằng 1.
  • Khóa luận phân tích cấu trúc không điểm: không điểm tầm thường tại các số nguyên âm chẵn $s = -2, -4, -6, \dots$; các không điểm phi tầm thường nằm trong dải dải phân kỳ $0 < \text{Re}(s) < 1$. Tác giả đề cập đến Giả thuyết Riemann (khẳng định mọi không điểm phi tầm thường đều nằm trên đường giới hạn $\text{Re}(s) = 1/2$) và ghi nhận kết quả kiểm chứng tính đến thời điểm nghiên cứu đã đúng cho $250 \times 10^9$ nghiệm đầu tiên. Tác giả cũng dẫn ra công thức tích số Euler thiết lập năm 1737 liên kết hàm Zeta với phân bố số nguyên tố: $\zeta(s) = \prod_{p} (1 - p^{-s})^{-1}$.
  1. Phương trình và hàm Bessel:
  • Xuất phát từ phương trình vi phân hạng hai: $x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$.
  • Nghiệm hàm Bessel loại 1 cấp $\nu$ ký hiệu $J_\nu(x)$ được tìm bằng phương pháp Frobenius dưới dạng chuỗi: $$J_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k + \nu + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k + \nu}$$
  • Tác giả chứng minh rằng khi $\nu$ không phải số nguyên, $J_\nu(x)$ và $J_{-\nu}(x)$ độc lập tuyến tính; khi $\nu = n \in \mathbb{N}$, chúng phụ thuộc tuyến tính theo hệ thức $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$. Do đó, tác giả đưa ra định nghĩa hàm Bessel loại 2 (hàm Neumann) $Y_\nu(x)$ qua giới hạn tỷ số khử dạng vô định $0/0$ bằng quy tắc L'Hospital, bảo đảm tính độc lập tuyến tính với $J_\nu(x)$ với mọi giá trị của $\nu$.
  • Khóa luận dẫn ra các tổ hợp nghiệm dạng hàm Hankel loại 1 và loại 2 ($H_\nu^{(1)} = J_\nu + iY_\nu$, $H_\nu^{(2)} = J_\nu - iY_\nu$) và chứng minh hệ thống các công thức truy toán vi tích phân quan trọng như: $\frac{d}{dx}[x^\nu J_\nu(x)] = x^\nu J_{\nu-1}(x)$, $x J'\nu(x) = \nu J\nu(x) - x J_{\nu+1}(x)$, cùng công thức tính tích phân dạng tích lũy thừa $I_{m,n} = \int x^m J_n(x) dx$.

Chương 2: Một số bài tập vận dụng

Chương 2 trình bày ứng dụng tính toán cụ thể của các hàm toán học đặc thù vào các bài toán vật lý lý thuyết:

  1. Bài tập ứng dụng hàm Gamma:
  • Trong cơ học cổ điển: Bài toán xác định thời gian rơi $T$ của một chất điểm khối lượng $m$ chuyển động dọc trục $x$ hướng về tâm hấp dẫn $O$ dưới tác dụng của lực hút tỷ lệ nghịch với khoảng cách ($F = k/x$, với điều kiện ban đầu $x(0) = a$, $v(0) = 0$). Bằng phương pháp tích phân phương trình động lực học $m v \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{x}$, tác giả thu được biểu thức vận tốc $v(x) = \sqrt{\frac{2k}{m} \ln(a/x)}$. Biến đổi tích phân tính thời gian: $$T = \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_0^a \frac{dx}{\sqrt{\ln(a/x)}}$$ Đặt $u = \ln(a/x)$, tích phân được chuyển về dạng tích phân Euler của hàm Gamma: $$T = a \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u} du = a \sqrt{\frac{m}{2k}} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = a \sqrt{\frac{\pi m}{2k}}$$
  • Trong vật lý thống kê:
    • Thiết lập tích phân trạng thái $Z$ và phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử $N$ hạt có quan hệ tán sắc năng lượng - xung lượng phi chuẩn $\epsilon = c p^4$. Bằng việc chuyển sang tọa độ cầu trong không gian xung lượng, tích phân theo biến xung lượng được chuyển đổi bằng phép đổi biến $x = cp^4 / (kT)$, đưa trực tiếp về dạng tích phân hàm Gamma $\Gamma(3/4)$ để xác định tích phân trạng thái của hệ.
    • Tính toán các giá trị trung bình thống kê của vận tốc hạt theo hàm phân bố Maxwell - Boltzmann: Xác định giá trị trung bình của lũy thừa vận tốc bậc $n$: $$\overline{v^n} = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} \int_0^\infty v^{n+2} \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right) dv$$ Qua phép đổi biến giải tích, tích phân được đưa về dạng hàm Gamma: $$\overline{v^n} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{2kT}{m}\right)^{n/2} \Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)$$ Từ công thức tổng quát này, tác giả tính toán chính xác các đại lượng vận tốc trung bình $\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ (khi $n=1$), vận tốc căn quân phương $\overline{v^2} = \frac{3kT}{m}$ (khi $n=2$), mômen bậc 4 $\overline{v^4} = 15 \left(\frac{kT}{m}\right)^2$ (khi $n=4$), và phương sai động năng của các hạt.
  • Trong vật lý chất rắn: Áp dụng phân bố năng lượng Boltzmann để xác định năng lượng trung bình của một dao động tử điều hòa trong mạng tinh thể khi cân bằng nhiệt ở miền năng lượng liên tục.
  1. Bài tập ứng dụng hàm Delta Dirac và hàm Bessel: Khóa luận đặt cơ sở ứng dụng hàm Delta Dirac trong việc mô tả mật độ điện tích điểm $\rho(\mathbf{r}) = q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)$ và giải phương trình Poisson trong tĩnh điện học; ứng dụng hàm Bessel trong các bài toán truyền nhiệt, dao động màng tròn và bài toán đối xứng trụ.

Kết quả và đóng góp

Khóa luận đạt được các kết quả cụ thể theo các dữ kiện được trình bày trong văn bản:

  • Hệ thống hóa hoàn chỉnh định nghĩa giải tích, điều kiện hội tụ và các phép biến đổi toán học của bốn họ hàm: Gamma, Delta Dirac, Zeta Riemann và Bessel.
  • Chứng minh chi tiết công thức phản ánh Euler đối với hàm Gamma bằng kỹ thuật khai triển Fourier, đưa ra dẫn xuất giải tích cho giá trị bán nguyên $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.
  • Thiết lập bảng tra cứu chuẩn mực về dạng biểu diễn của hàm Delta Dirac trong các hệ tọa độ cong (tọa độ trụ, tọa độ cầu) có xét đến các trường hợp đối xứng không gian.
  • Khử dạng vô định để xây dựng hàm Bessel loại 2 $Y_\nu(x)$ qua quy tắc L'Hospital, đảm bảo tính trực giao và độc lập tuyến tính của hệ nghiệm phương trình vi phân Bessel đối với bậc nguyên.
  • Giải quyết tường minh bài toán cơ học chuyển động trong trường lực tỷ lệ nghịch và tính toán trọn vẹn các mômen thống kê vận tốc khí lý tưởng bằng kỹ thuật tích phân quy tụ về hàm Gamma.

Đóng góp tự nêu của tác giả: Đề tài góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ bản chất giữa các công cụ toán học trừu tượng với các hiện tượng vật lý định lượng; cung cấp một tài liệu tham khảo có tính hệ thống cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Vật lý trong việc học tập và nghiên cứu các học phần Vật lý lý thuyết.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của khóa luận:

  • Phạm vi nội dung các bài tập giải quyết chi tiết ở Chương 2 chủ yếu tập trung vào ứng dụng của hàm Gamma trong cơ học cổ điển và vật lý thống kê. Các nội dung ứng dụng đối với hàm Bessel và hàm Delta Dirac trong văn bản khóa luận chưa được trình bày hoàn chỉnh thành các bài toán thực hành chuyên sâu như kỳ vọng mục tiêu ban đầu.
  • Chưa mở rộng ứng dụng của hàm Zeta Riemann vào các hiệu ứng lượng tử cụ thể (như bức xạ vật đen Planck hay ngưng tụ Bose - Einstein).

Hướng nghiên cứu tiếp:

  • Xây dựng hệ thống bài tập hoàn chỉnh áp dụng hàm Bessel cho bài toán phương trình truyền nhiệt trong dây dẫn hình trụ và phương trình sóng trên màng rung tròn.
  • Mở rộng nghiên cứu ứng dụng của hàm Delta Dirac trong phương pháp hàm Green giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng của điện động lực học và cơ học lượng tử (như thế Delta Dirac một chiều).
  • Nghiên cứu thêm các họ hàm trực giao đặc thù khác thường gặp trong vật lý như đa thức Legendre, Hermite và Laguerre.

Giá trị tham khảo

Khóa luận là tài liệu tham khảo phù hợp cho sinh viên đại học thuộc các ngành Sư phạm Vật lý, Vật lý học và Kỹ thuật vật lý khi tiếp cận các học phần:

  • Phương pháp toán lý: Tham khảo phương pháp giải phương trình vi phân Bessel, chứng minh công thức truy toán và kỹ thuật sử dụng hàm Delta trong các hệ tọa độ cong.
  • Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê: Tham khảo phương pháp tính tích phân trạng thái, chuyển đổi tích phân không gian pha phức tạp về hàm Gamma, và kỹ thuật tính mômen phân bố vận tốc hạt.
  • Cơ học cổ điển và Cơ học lượng tử: Tham khảo cách tiếp cận biến đổi tích phân thời gian chuyển động và mô hình hóa hạt điểm.

Câu hỏi thường gặp

1. Hàm Gamma được định nghĩa như thế nào đối với các giá trị đối số phức? Hàm Gamma được xác định cho tất cả các số phức ngoại trừ các số nguyên không dương ($t = 0, -1, -2, \dots$) thông qua tích số vô hạn Weierstrass hoặc qua tích phân Euler loại 2 khi phần thực $\text{Re}(t) > 0$: $\Gamma(t) = \int_0^\infty x^{t-1} e^{-x} dx$. Đối với nửa mặt phẳng phức âm, giá trị của hàm được mở rộng giải tích thông qua công thức truy hồi $\Gamma(t) = \frac{\Gamma(t+n)}{t(t+1)\dots(t+n-1)}$.

2. Tại sao hàm Bessel loại 1 $J_\nu(x)$ chưa đủ để tạo thành nghiệm tổng quát của phương trình Bessel khi $\nu$ là số nguyên? Khi $\nu$ là số nguyên $n \in \mathbb{N}$, hai nghiệm $J_n(x)$ và $J_{-n}(x)$ không độc lập tuyến tính với nhau mà thỏa mãn hệ thức phụ thuộc $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$. Do đó, cần phải xây dựng hàm Bessel loại 2 $Y_n(x)$ bằng cách lấy giới hạn theo quy tắc L'Hospital để tạo thành hệ nghiệm độc lập tuyến tính đầy đủ cho phương trình vi phân bậc hai này.

3. Hàm Delta Dirac ba chiều được biểu diễn như thế nào trong hệ tọa độ cầu khi có tính đối xứng trục? Trong hệ tọa độ cầu $(r, \theta, \varphi)$, dạng tổng quát của hàm Delta Dirac là $\frac{1}{r^2 \sin\theta} \delta(r - r_0)\delta(\theta - \theta_0)\delta(\varphi - \varphi_0)$. Khi bài toán có tính chất đối xứng đối với góc phương vị $\varphi$, biểu thức hàm suy rộng này được giản lược thành $\frac{1}{2\pi r^2 \sin\theta} \delta(r - r_0)\delta(\theta - \theta_0)$.

4. Giá trị của hàm Gamma tại đối số bán nguyên $\Gamma(1/2)$ được tính bằng bao nhiêu và dựa vào công thức nào? Giá trị $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$. Kết quả này được suy ra trực tiếp từ công thức phản ánh Euler $\Gamma(t)\Gamma(1-t) = \frac{\pi}{\sin(\pi t)}$ khi thay đối số $t = 1/2$, dẫn đến $[\Gamma(1/2)]^2 = \pi$.

5. Trong bài toán khí lý tưởng có quan hệ năng lượng - xung lượng $\epsilon = c p^4$, tích phân không gian xung lượng dẫn về hàm đặc thù nào? Tích phân theo thể tích không gian xung lượng $\int_0^\infty 4\pi p^2 \exp\left(-\frac{cp^4}{kT}\right) dp$ sau khi thực hiện phép đổi biến giải tích $x = \frac{cp^4}{kT}$ sẽ chuyển trực tiếp về dạng tích phân Euler của hàm Gamma tại giá trị $\Gamma(3/4)$.

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Lê Thị Như Thảo đã hệ thống hóa cơ sở giải tích và tính chất của bốn họ hàm toán học đặc thù bao gồm Gamma, Delta Dirac, Zeta Riemann và Bessel. Đề tài đã minh họa rõ nét vai trò công cụ của toán học giải tích thông qua việc giải quyết các bài toán định lượng trong cơ học cổ điển và tính toán các mômen thống kê trong vật lý nhiệt. Đây là tài liệu tổng hợp có tính chuẩn mực về mặt toán lý, phục vụ thiết thực cho quá trình học tập và nghiên cứu các môn học Vật lý lý thuyết bậc đại học.