Chương 1 Tong quan Một trong những vấn đề được cộng đồng Vật lý toán quan tâm là sự đối ngẫu giữa hai hệ cơ bản nhất trong tự nhiên: hệ dao động tử điều hòa (Harmonic Oscillator - HO) và hệ Kepler-Coulomb (Kepler-Coulomb problem - KC) hay còn gọi là nguyên tử hydro [13]. Sự đối ngẫu này dẫn đến sự ra đời của bái toán MICZ-Kepler (MICZ KP) mà trong đó đơn cực từ dược đưa vào bài toán KC [51,59,63,96]. Hơn thế nữa, tính đối ngẫu giữa bài toán dao động tử điều hòa và bài toán Kepler-Coulomb còn được quan tâm trong Vật lý hai thời gian (Vật lý 2T. two-time physics, 2T-physics) [9], Bài toán HO và bài toán (MICZ)-KC liên hệ với nhau qua.
các phép biến dổi Hurwitz [100], [36,38,49]. Định lý Hurwitz [99] đã chỉ ra rằng chỉ có 4 phép biến đổi Hurwitz khác nhau và do đó, chỉ có thể tồn tại 4 bài toán MICZ KP có số chiều là 2, 3, 5 và 9 có liên hệ đối ngẫu với các bài toán HO. Thật tình cờ, các phép biến đổi Hurwitz lại là một họ hàng của các đại số chia chuẩn hóa và các phân thớ Hopf. Dây lại là các công cụ toán học để các nhà Vật lý sừ dụng để mô tả Vật lý của đơn cực từ và cả những hiện tượng vật lý có liên quan như Hiệu ứng Hall lượng tử.
Hơn một thế kỷ rươi kể từ khi được khám phá, họ các đại số thực R, đại số phức c, đại số phức bội bốn (quaternion) MI và đại số phức bội tám (octonion) o còn dược gọi là đại số chia chuẩn hóa không chỉ là các đối tượng Toán học trừu tượng mà dần trỏ thành một ngôn ngữ chung cho nhiều khía cạnh khác nhau trong Vật lý: từ miền nâng lượng thấp của Vật lý các chất ngưng tụ đến miền năng lượng cao của Vật lý các hạt cơ bản. Sự xuất hiện lần đầu tiên của các đại số chia chuẩn hóa trong Vật lý là trong lĩnh vực Vật lý của dơn cực từ. Câu chuyện bắt. đầu vào năm 1931, Paul Dirac đã dề xuất trương gauge của đơn cực từ và điều kiện lượng tử hóa giữa diện tích và từ tích [22].
Trong lý thuyết gauge, đơn cực từ Dirac là một đơn cực từ 17(1). Gần như cùng lúc đó, một. nhà toán học tên II. Hopf khám phá ra ánh xạ giữa các mặt cầu đơn vị (unit sphere) [97] và tống quát hóa các kết quả của mình 4 năm sau đó [98].
Theo ngôn ngữ hiện nay, các ánh xạ Hopf - còn gọi là các phân thơ Hopf - là hệ quả trực tiếp của đại số chia chuẩn hóa trong hình học vi phân tô pô [8]. Bốn thập niên sau các công trình của Dirac và Hopf, 12 T. Yang phát hiện ra rằng chính Dirac đã tình cò tìm ra phân thớ Hopf khi xây dựng trường gauge cho dơn cực từ Ư(l) và ngay lập tức áp dụng phân thớ Hopf kế tiếp để đưa ra đơn cực từ Yang $17(2) trong không gian năm chiều [92 94]. Vào năm 1985, phân thớ Hopf sau cùng liên quan đến đại số octonion o được Grossman và cộng sự sử dụng để xây dựng đơn cực từ SO(8) trong không gian chín chiều [29].
Kỉ nguyên sử dụng các vi phân tô pô để giải thích các hiện tượng trong Vật lý các chất ngưng tụ bắt đầu bởi công trình của Laughlin trong việc giải thích hiệu ứng Hall lượng tử (Quantum Hall effect - QHE) hai chiều vào năm 1983 [41]. QHE trong không gian hai chiều (2D-QHE) được chỉ ra là hệ quả trực tiếp của phân thớ Hopf đầu tiên s1 s3 —> s2, có liên hệ đến sự tồn tại của đại số phức c. Sau đó, hai thế hệ kế tiếp của phân thớ Hopf có liên hệ trực tiếp đến hai đại số chia chuẩn hóa quaternion H và octonion o được sử dụng để đưa ra các dự đoán về QHE bốn và tám chiều (4D-QHE và 8D-QHE) trong các công trình ở đầu thế kỷ này [14,95. Don với vùng năng lượng cao của Vật lý cốc hạt cơ bản, Mô hình chuẩn (Standard Model) để lại rất nhiều câu hỏi chưa có lời giải đáp cho những nhà vật lý muốn tìm hiểu về bản chất của thế giới chúng ta.
Trong những nỗ lực để giải quyết các vấn đề trên, hai công bố gần nhất [17,27] đã chi ra khả năng sử dụng đại số octonion o để nghiên cứu và mở rộng Mô hình chuẩn. Vì những lí do trên, trong Chương này, chúng tôi sẽ tóm tắt tổng quan mối liên hệ giữa Đại số chia, chuẩn hóa, phân thớ Hopf và phép biến đổi Hurwitz trong Vật lý của các đơn cực từ, các bài toán MICZ KP và các khía cạnh Vật lý khác. Dây là một bức tranh chung để cộng đồng có thể hiểu rõ mảnh ghép MICZ KP nằm ở đâu trong dòng chảy Toán học - Vật lý. Ngoài ra, chíing tôi sẽ tóm tắt lại các kết quả chính trong nghiên cứu bài toán MICZ KP chín chiều trong vòng một thập kỉ trở lại đây cũng như mục đích chính ở các chương sau của luận án này.1 Đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf và phép biên đôi Hurwitz Trước tiên, chúng tôi sẽ diem qua sơ lược định nghĩa cũng như mối liên hệ giữa Đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf và các phép biến đổi Hurwitz.1 Các đại sô chia chuân hóa ■ Các đại số chia chuẩn hóa là tập hợp của bốn đại số, bao gồm: đại số thực R.
đại số phức c, đại số quaternion H và đại số octonion o '. Trước tiên, dây là các đại số vector mà ở đó mỗi phần tử đều có norm được định nghĩa bởi ||«||2 = a • a. Trong mỗi đại số ' Tham khảo thêm các tài liệu [8,73,75] về chi tiết của các dại số này. 13 trên, tồn tại một ánh xạ song tuyến được gọi là "phép nhân"x giữa hai phần tứ (ĩ, b đến một phần tử khác c = a X b và thường được kí hiệu là c = ab.
"Phép nhân"trong các đại số chia chuẩn hóa tuân theo tính chất kết hợp [8.la) ab = 0 <==> a = 0 hoặc b = 0.lb) Lưu ý ràng tính chất kết hợp \\(ỉb\\ = ||a||||6|| tương đương với điều kiện sau đây [75] (ab) • (erf) = (a • c)(fe • rf) + (a • rf)(6 • c). (12) Trong đại số chia chuẩn hóa D chiều, ta có thể định nghĩa D vector đơn vị Co, 61, 62,., CD-I mà norm của chúng đều bằng 1, tức là, ||e0|I = I|ei11 =. ở đây, eo cũng chính là phần tử đơn vị của đại số đang xét, tức là, eox — xeo — X trong khi đó các vector đơn vị còn lại 61,62,., ep-1 là các vector đơn vị ảo [73,75]. Tất cả các vector đơn vị này trực giao với nhau Ci ■ Cj = ỏij.
Khi đó, một phần tử X bất kỳ trong đại số chia chuẩn hóa có thổ dược viết thành X = Xoe-o + X161 + .3) với norm của nó được xác định bởi (1-4) ứng với mõi phần tử X là liên hợp phức X được xác định bởi X = zO6o - X161 -. (1-5) Với các định nghĩa trên, phương trình (1.1) có thế viết lại thành c — ab <=> cồ + cị + .=0 7=0 với hằng số cấu trúc Cợ của đại số chia chuẩn hóa là hình chiêu của phép nhân CjCj lên vector dơn vị 6fe, hay nói cụ thể hơn, Cịị = (6ị6j) -ek. Thay vào phương trình (1.6), chúng ta sẽ thu được tính chất kết hợp của hằng số cấu trúc 'K _ r r ij^mn — (1-8) 14 với ỗ là kí hiệu Kronecker delta. Nếu sử dụng tính chất kết hợp (1.2), chúng ta sẽ dẫn ra được biểu thức tổng quát hơn cho hằng số cấu trúc [73 + C^C'A = 2M„.
Hurwitz sử dụng quá trình xây dựng Cayley đã chứng minh một định lý sau này mang tên ông rằng tính chất kết hợp (1.6) chỉ tồn tại đối với bốn giá trị của số chiều D — 1,2, 4,8, có nghĩa là chỉ tồn tại đúng bốn đại số chia chuẩn hóa có số chiều tương ứng là D = 1 (thực, R), D = 2 (phức, C), D = 4 (quaternion, H) và D = 8 (octonion, 0>) [99]. Định lý này được biết đến là định lý Hurwitz của đại số kết. Dối vói đại số thực R, hằng số cấu trúc đơn giản là Cq0 — 1. Dối với dại số phức c, hai vector đơn vị là eo = 1 và 61 = i, do đó, các hằng số cấu trúc của nó là ro = 1 0 cj = °, t ■i 0 -1 “ ’ J 1 0 Đại số quaternion H, lần đầu được mô tả bởi nhà toán học người Ireland - w.
Hamilton vào năm 1843, chứa bốn vector đơn vị 6o = 1, 61 = i, 62 = j, e3 = k. Ngoại trừ 6o = 1, quy tắc nhân của ba vector đơn vị còn lại i,j,k tương tự như tích có hướng của ba vector đơn vị trong hệ tọa độ Descartes: i2 — j2 — z2 — —1 ú' = k, jk = i, ki = j. Vì vậy, hằng số cấu trúc của. nó là 10 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 rỊ = 1 0 0 ij 0 0-10 ij 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 10 0 0 0 1 r2 = 0 0 0 -1 1 0 ij 10 0 0 ơịJ = A0 -1°! 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Dại số chia chuẩn hóa cuối cùng là đại số octonion Q), được khám phá bởi nhà toán học J.
Bên cạnh eo = 1, có bảy vector đơn vị ảo 61,62,63,. ,67 tuân theo quy tắc nhân sau đây (1-10) 15 Trong đó, kí hiệu là kí hiệu phản xứng hoàn toàn Lcvi-Civita có giá trị bằng 1 khi (i,j,fc) bằng (1,2,3), (5,1,6), (6,2,4), (4,3,5), (1,7,4), (3,7,6), (2, 7,5). Hằng số cấu trúc của octonion, do đó, có thể viết lại thành Cịj — + õoi^k — ^Ok^ij + £ij- (1-11) 1.2 Các phân thớ Hopf Các phân thớ Hopf hay các ánh xạ Hopf là các đối tượng quan trọng trong tô pô và đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Vật lý [54]. Chúng được đặt theo tên của nhà toán học người Diỉc - H.
Hopf - người đã khám phá ra các phân thớ đó. Ánh xạ Hopf là. ánh xạ liên kết một mặt cầu đơn vị n chiều S" với một mặt cầu đơn vị m chiều sm mà n > m. Một mặt cầu đơn vị n chiều là một tập hợp các điểm trong không gian Euclidean n + 1 chiều R"+1 mà khoảng cách từ chúng đến gốc là đơn vị 1, tức là, [97,98] [54 x2 0 +.
(1-12) Vì vậy, một ánh xạ Hopf hay phân thó Hopf Sn —> sm là phép biến đổi một điểm (Xo> X1,.