I. Giới thiệu về cơ sở Mahler
Cơ sở Mahler trong không gian các hàm liên tục C(Zp→Cp) là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu toán học. Cơ sở này được xây dựng dựa trên các đa thức dạng Mahler, cho phép phân tích và hiểu rõ hơn về các hàm liên tục. Đặc biệt, kết quả của Mahler cho thấy rằng tập hợp các đa thức này tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho không gian C(Zp→Cp). Điều này không chỉ mở rộng kiến thức về không gian hàm mà còn cung cấp các công cụ hữu ích cho việc nghiên cứu các hàm số phức tạp hơn. Việc áp dụng cơ sở Mahler giúp các nhà toán học có thể giải quyết các bài toán liên quan đến tính liên tục và phân tích hàm một cách hiệu quả hơn.
II. Các khái niệm cơ bản
Trong chương này, các khái niệm cơ bản về không gian hàm và hàm liên tục được trình bày. Định nghĩa về chuẩn trên trường và các tính chất của nó là rất quan trọng để hiểu rõ hơn về cơ sở Mahler. Cụ thể, chuẩn phi-Archimedean được giới thiệu như một công cụ mạnh mẽ trong việc phân tích các hàm số. Các ví dụ cụ thể về chuẩn p-adic và các tính chất của nó cũng được nêu ra, giúp người đọc có cái nhìn sâu sắc hơn về cách mà các chuẩn này ảnh hưởng đến tính chất hàm. Đặc biệt, định lý Oxtropxki được nhấn mạnh như một kết quả quan trọng trong việc xây dựng cơ sở Mahler, cho thấy mối liên hệ giữa các chuẩn và không gian các hàm liên tục.
III. Cơ sở Mahler trong không gian các hàm liên tục
Chương này tập trung vào việc chứng minh định lý Kaplansky, một định lý quan trọng trong việc xây dựng cơ sở Mahler. Nghiên cứu về cơ sở trực giao và trực chuẩn là cần thiết để hiểu rõ hơn về các tính chất của cơ sở Mahler. Các kết quả liên quan đến hệ số Mahler cũng được trình bày, cho thấy sự ứng dụng của cơ sở này trong việc phân tích các hàm số phức tạp. Việc mở rộng kết quả của Mahler cho không gian các hàm liên tục hai biến C(Zp×Zp→Cp) cũng được đề cập, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này. Điều này không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
IV. Hệ số Mahler của một số hàm cơ bản
Chương cuối cùng trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua một số hàm cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, và hàm p-adic Gamma. Các công thức tính toán cụ thể được đưa ra, giúp người đọc có thể áp dụng vào các bài toán thực tiễn. Việc mở rộng cơ sở và công thức tính hệ số Mahler trong không gian các hàm liên tục hai biến C(Zp×Zp→Cp) cũng được thảo luận, cho thấy tính linh hoạt và khả năng ứng dụng của cơ sở Mahler trong nhiều tình huống khác nhau. Điều này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như phân tích số và lý thuyết số.
