CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Các vấn đề cơ bản của mô hình hóa toán học 1.1 Một vài quan niệm cơ bản Khái niệm mô hình và mô hình hóa Mô hình - Có nhiều cách hiểu khác nhau về quan niệm mô hình, theo từ điển Tiếng Việt thì mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác, thường nhằm mục đích để trình bày, nghiên cứu. Mô hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật chất. Hệ thống này phản ánh hay tái hiện đối tượng nghiên cứu có thể thay cho nó và khi nghiên cứu hệ thống này ta thu được những thông tin mới về đối tượng đó (V.
Shoff) [32] Mô hình là một biểu tượng hay một hệ thống đã được khái quát. Mô hình có thể hiểu là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống [33]. Một số mô hình như: Mô hình khí hậu, mô hình hóa dữ liệu, mô hình sinh thái, mô hình kinh tế, mô hình hóa địa chất, mô hình toán học,. Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, những vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991, [31]) Như vậy, mô hình là một hình thức mô tả, minh họa thay thế mà qua đó ta thấy được các đặc điểm, đặc trưng của vật thể thực tế.
Thông qua mô hình, ta có thể khám phá, tìm hiểu các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Với mô hình hoá: Mô hình hoá là hướng nền tảng và định lượng để hiểu các hệ thống phức tạp và các hiện tượng (tự nhiên, trong cuộc sống…). Mô hình hoá là quá trình sản sinh ra các mô hình trừu tượng và khái niệm. Tất cả các phương pháp, kỹ thuật và lý thuyết đều có thể được mô hình hoá các dạng khác nhau.
Mô hình hoá là 9 sự cần thiết và không thể tách rời trong hoạt động khoa học. Mô hình hoá sẽ tạo ra các kĩ năng và kĩ thuật nhằm tạo ra các kết quả sâu sắc, đáng tin cậy, và dễ sử dụng (đây cũng là nguyên nhân và mục đích của mô hình hoá). Hiện tại có nhiều kỹ thuật mà mô hình hoá sử dụng, cho phép chúng ta khám phá các hướng của thực tế mà không cần thiết mọi người đều biết. Phương pháp thường dùng để phát triển mô hình hoá là mô tả hệ thống, làm sự giả định công việc đó như thế nào và chuyển hóa vào các công thức toán học và các chương trình mô phỏng.
Sau khi mô phỏng, bước tiếp theo là sự xác nhận tính hợp lý. Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể tin tưởng vào những dữ liệu mà mô hình đã được xây dựng ở trên.2 Quan niệm mô hình hóa toán học Theo từ điển bác khoa toàn thư, MHH là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của tư duy lôgic hay tư duy toán học. MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [11].
MHH trong dạy học Toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và các công cụ trực quan khác. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa.[12] Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014)[33], “Mô hình toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Trong [16], các tác giả Nguyễn Danh Nam và tác giả Trần Trung đã làm rõ quan niệm về MHH trong dạy học toán, xem đó là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin. Quá trình này đòi hỏi HS cần có các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa.
Ở trường phổ thông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung 10 kiến thức toán học trong sách giáo khoa thông qua ngôn ngữ toán học như kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình. Theo Eykhoff (1974) định nghĩa mô hình toán học như sự trình bày bề ngoài thiết yếu của hệ thống đã có mà biểu thị kiến thức của hệ thống trong hình dạng thích hợp. Mô hình toán học có thể có nhiều hình thức khác nhau như hệ thống động, mô hình thống kê, phương trình vi phân, hoặc mô hình lý thuyết trò chơi,. Sử dụng mô hình hóa là cách làm thông thường đối với các nhà khoa học, khi phân tích một hệ thống được soát hoặc được tối ưu hóa.
Như vậy, có thể nói mô hình là một mẫu được thiết kế để nhìn ra được các đặc điểm từ vật thể, tình huống gốc ban đầu; mô hình Toán học là mô hình sử dụng ngôn ngữ Toán học để mô tả một tình huống nào đó thông qua quá trình MHH toán học, tức là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề Toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn. Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học như hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, công thức,. Từ đó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu. Mô hình toán học và MHH có vai trò hết sức quan trọng, không chỉ trong nội bộ môn Toán và nó còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như Sinh học (Mô hình về sự phát triển của dân số), trong Cơ học cổ điển, … 1.3 Quy trình mô hình hóa toán học Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận”.
Phỏng theo Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) [33] đã cụ thể hóa 4 bước của quá trình mô hình hóa như sau: Bước 1: Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo. Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề đang 11 xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng. Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Hay có thể hiểu mô hình hóa toán học là mô hình trừu tượng mà chủ yếu sử dụng ngôn ngữ toán học để miêu tả hệ thống. Mô hình toán học có thể được sử dụng riêng biệt trong khoa học tự nhiên hoặc trong một số ngành đào tạo khoa học khác. Theo Nguyễn Phú Lộc, quy trình mô hình hóa gồm 4 bước sau đây: T Bài toán thực tiễn Tìm kiếm Mô hình toán học Chuyển đổi Kiểm tra Giải Lời giải thực tiễn Gb Diễn giải Lời giải toán học - Bước 1(Tìm kiếm và chuyển đổi): Chuyển đổi từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học(mô hình toán học).
- Bước 2(Tìm lời giải): Sử dụng công cụ toán học để tìm lời giải cho bài toán. - Bước 3(Diễn giải): Sử dụng kết quả thu được ở bước 2 để diễn gigir thành lời giải thực tiễn. - Bước 4(Kiểm chứng):So sánh, đối chiếu lời giải với bài toán thực tiễn ban đầu xem có thật hợp lý hay không. Quy trình của Blum (2005): Sơ đồ 1.
Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [11] 12 Quy trình gồm 7 bước: Bước 1: Đọc hiểu tình huống thực và xây dựng mô hình cho tình huống đó; Bước 2: Xây dựng mô hình thực của tình huống bằng cách đơn giản hóa và xác định các biến phù hợp; Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; Bước 4: Giải bài toán trong nội bộ môn toán để tìm kết quả; Bước 5: Chuyển kết quả toán thành kết quả thực; Bước 6: Kiểm tra tính phù hợp của kết quả với mô hình thực; Bước 7: Trình bày và trả lời cho tình huống thực. * Quy trình của PISA (2006): Sơ đồ 1. Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[11] Quy trình gồm 5 bước: Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế; 13 Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học; Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán mà thể hiện trung thực cho tình huống; Bước 4: Giải quyết bài toán; Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định những hạn chế của lời giải. Trong cả 4 quy trình nêu ra ở trên, dù có sự khác nhau về số lượng các bước cũng như về sự mô tả trong mỗi bước thực hiện nhưng tóm lại đều có chung 4 giai đoạn: Toán học hóa tình huống thực tiễn, Làm việc và giải quyết bài toán trong nội bộ môn Toán, Chuyển đổi thành kết quả cho bài toán thực tiễn ban đầu và phản ánh, đánh giá kết quả thu được.