I. Tổng Quan Mô Hình Độ Biến Động Ngẫu Nhiên Giới Thiệu
Từ khi Black và Scholes công bố bài báo về định giá quyền chọn năm 1973, nó đã trở thành một phát kiến bùng nổ về lý thuyết và thực nghiệm trong vấn đề tài chính này. Tuy nhiên, qua hơn ba mươi năm trở lại đây, một số lượng lớn các mô hình khác đã được đưa ra để thay thế cho tiếp cận cổ điển của Black – Scholes, cách tiếp cận mà ta phải giả định cổ phiếu có phân bố log – chuẩn với độ biến động không đổi và càng ngày nó càng thể hiện nhiều thiếu sót trong thực tiễn. Do đó, các mở rộng để hiệu chỉnh mô hình Black – Scholes trong đó độ biến động là ngẫu nhiên và mô hình có bước nhảy là hết sức cần thiết. Luận văn “Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy” trình bày về việc điều chỉnh mô hình Black – Scholes thành những mô hình ước lượng tham số chính xác hơn, gồm 4 chương.
1.1. Các Quá Trình Ngẫu Nhiên và Toán Tài Chính
Chương 1 trình bày các kiến thức quan trọng về các quá trình ngẫu nhiên, chuyển động Brown. Định nghĩa 1.1 (Đại số): Cho Ω là tập không rỗng và cho F bao gồm các tập con của Ω. Ta nói rằng F là một đại số thỏa mãn: (i) Ω ∈ F và ∅ ∈ F, (ii) A ∈ F ⇒ Aᶜ ∈ F, (iii) A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F. Định nghĩa 2 (σ - đại số): Một đại số F của các tập con của Ω được gọi là một σ - đại số trên Ω nếu với bất kỳ dãy {An}n∈ℕ ⊂ F, ta có ∪An ∈ F. Mỗi một cặp (Ω, F) như vậy được gọi là một không gian đo được. Do đó, một σ - đại số sinh bởi tập tất cả các tập con mở của ℝ được gọi là σ - đại số Borel: B(ℝ).
1.2. Hàm Đặc Trưng và Tham Số Đặc Trưng
Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên là một biến đổi Fourier của phân bố của nó. Nhiều tính chất xác suất của các biến ngẫu nhiên dựa vào các tính chất giải tích của các hàm đặc trưng, khiến cho khái niệm này rất hữu ích trong việc nghiên cứu các biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.11 (Hàm đặc trưng): Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là hàm φX : ℝ → ℂ xác định bởi φX (t) = E[eitX] = E[cos(tX)] + iE[sin(tX)] (1.6). Cho FX là hàm phân bố xác suất của X. Khi đó φX (t) = E[eitX] = ∫ eixt dF(x) (1.7) do đó là một biến đổi Fourier của F, nhưng không nhân với hằng số như 2π^(-1/2) như thường được dùng trong phân tích Fourier. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên xác định phân phối xác suất: hai biến với cùng hàm đặc trưng là có cùng phân phối.
II. Mô Hình Black Scholes Phân Tích Ưu Điểm và Hạn Chế
Lý thuyết toán tài chính bắt đầu từ năm 1900 khi nhà toán học người Pháp Louis Bachelier, trong luận văn của ông Théorie de la spéculation (Lý thuyết đầu cơ), đề xuất mô hình sau nhằm mô tả giá S của một tài sản tại Paris Bourse: St = S0 + Wt trong đó Wt là chuyển động Brown. Tuy nhiên, mô hình này có nhiều khiếm khuyết, bao gồm, ví dụ, giá cổ phiếu có thể âm. Một mô hình phù hợp hơn được đề xuất bởi Samuelson vào năm 1965: chuyển động Brown hình học trong đó log – giá tuân theo chuyển động Brown. Và năm 1973, Black, Scholes và Merton, trong các bài báo nổi tiếng của mình, đã giải thích làm thế nào để định giá một cuộc gọi kiểu châu Âu dựa trên mô hình này.
2.1. Giả Định Của Mô Hình Black Scholes
Thật vậy, họ giả sử giá cổ phiếu tuân theo chuyển động Brown hình học và đưa ra một số điều kiện để nhận được công thức định giá quyền chọn: 1. Không có chi phí hay thuế, thương mại diễn ra liên tục theo thời gian và được phép vay và bán khống (thị trường là không có ma sát). Lãi suất ngắn hạn (lãi suất không rủi ro r ) đã biết và là hằng số trong suốt thời gian tính toán. Cổ phiếu không phải trả lãi cổ phần trong suốt thời gian của quyền chọn. Quyền chọn kiểu châu Âu (chỉ có thể thực hiện tại thời điểm đáo hạn). Giá cổ phiếu tuân theo chuyển động Brown hình học trong suốt thời gian đưa ra phân phối log – chuẩn đối với giá cổ phiếu giữa hai điểm bất kỳ theo thời gian. Độ biến động là hằng số đối với bất kỳ giá thực thi và kỳ hạn nào.
2.2. Hạn Chế Của Mô Hình Black Scholes
Người ta đã chỉ ra rằng mô hình có thể được sửa đổi dễ dàng khi lãi suất là ngẫu nhiên hay là một hàm của t , khi cổ phiếu trả lãi cổ phần hay khi quyền chọn theo kiểu Mỹ. Nhờ tính đơn giản và tính độc lập của phát minh về việc định giá tài sản tương lai mà công thức Black – Scholes được sử dụng rộng rãi trong thực hành để định giá và bảo hộ các quyền chọn. Trong công thức Black – Scholes, giá cổ phiếu S tuân theo chuyển động Brown hình học, dSt = μStdt + σStdWt (2.1) trong đó μ và σ là các hằng số chưa biết, Wt là chuyển động Brown chuẩn. Có thể chỉ ra rằng nghiệm của phương trình vi phân này là
III. Mô Hình Độ Biến Động Ngẫu Nhiên Có Bước Nhảy Giải Pháp
Mô hình Black-Scholes có nhiều hạn chế, đặc biệt là giả định về độ biến động không đổi. Để khắc phục điều này, các mô hình độ biến động ngẫu nhiên (Stochastic Volatility - SV) và mô hình có bước nhảy (Jump Diffusion) được đưa ra. Các mô hình này cho phép độ biến động thay đổi theo thời gian và có thể có các cú sốc bất ngờ (jumps) ảnh hưởng đến giá tài sản. Việc kết hợp cả hai yếu tố này dẫn đến mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy, một công cụ mạnh mẽ hơn để mô tả thị trường tài chính.
3.1. Mô Hình Độ Biến Động Ngẫu Nhiên SV
Mô hình SV cho phép độ biến động của tài sản thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian. Điều này phù hợp với thực tế là độ biến động thị trường thường xuyên biến động do nhiều yếu tố khác nhau. Các mô hình SV phổ biến bao gồm mô hình Heston và mô hình GARCH. Các mô hình này sử dụng các phương trình vi phân ngẫu nhiên để mô tả sự thay đổi của độ biến động.
3.2. Mô Hình Có Bước Nhảy Jump Diffusion
Mô hình Jump Diffusion cho phép giá tài sản có các cú sốc bất ngờ (jumps) bên cạnh sự biến động liên tục. Các cú sốc này có thể do các sự kiện kinh tế, chính trị hoặc các tin tức bất ngờ khác. Mô hình Merton là một ví dụ điển hình của mô hình Jump Diffusion. Mô hình này giả định rằng các cú sốc xảy ra theo quá trình Poisson.
3.3. Kết Hợp Độ Biến Động Ngẫu Nhiên và Bước Nhảy
Việc kết hợp cả độ biến động ngẫu nhiên và bước nhảy tạo ra một mô hình linh hoạt hơn, có khả năng mô tả thị trường tài chính một cách chính xác hơn. Các mô hình này thường phức tạp hơn và đòi hỏi các phương pháp ước lượng tham số phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng có thể cung cấp các dự báo chính xác hơn và giúp các nhà đầu tư quản lý rủi ro hiệu quả hơn.
IV. Ước Lượng Tham Số Mô Hình Độ Biến Động Ngẫu Nhiên Cách Thực Hiện
Việc ước lượng tham số cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy là một thách thức lớn. Các phương pháp ước lượng truyền thống như Maximum Likelihood Estimation (MLE) thường gặp khó khăn do tính phức tạp của mô hình. Các phương pháp khác như phương pháp lọc Kalman, phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Bayesian được sử dụng để giải quyết vấn đề này. Mỗi phương pháp có ưu và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm của dữ liệu và mục tiêu của nghiên cứu.
4.1. Phương Pháp Lọc Kalman
Phương pháp lọc Kalman là một thuật toán đệ quy cho phép ước lượng trạng thái của một hệ thống động dựa trên các phép đo không hoàn hảo. Trong bối cảnh mô hình độ biến động ngẫu nhiên, phương pháp lọc Kalman có thể được sử dụng để ước lượng độ biến động ẩn dựa trên dữ liệu giá tài sản.
4.2. Phương Pháp Mô Phỏng Monte Carlo
Phương pháp mô phỏng Monte Carlo là một kỹ thuật tính toán sử dụng các số ngẫu nhiên để mô phỏng các quá trình ngẫu nhiên. Trong bối cảnh mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy, phương pháp mô phỏng Monte Carlo có thể được sử dụng để ước lượng các tham số của mô hình bằng cách mô phỏng nhiều quỹ đạo giá tài sản và so sánh chúng với dữ liệu thực tế.
4.3. Phương Pháp Bayesian
Phương pháp Bayesian là một phương pháp thống kê cho phép kết hợp thông tin tiên nghiệm (prior information) với dữ liệu thực tế để đưa ra các ước lượng tham số. Trong bối cảnh mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy, phương pháp Bayesian có thể được sử dụng để ước lượng các tham số của mô hình bằng cách sử dụng các phân phối tiên nghiệm cho các tham số và cập nhật chúng dựa trên dữ liệu.
V. Ứng Dụng Mô Hình Độ Biến Động Quản Lý Rủi Ro Tài Chính
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy có nhiều ứng dụng quan trọng trong tài chính, đặc biệt là trong quản lý rủi ro. Mô hình này có thể được sử dụng để định giá các công cụ phái sinh phức tạp, dự báo độ biến động thị trường và đánh giá rủi ro hệ thống. Việc sử dụng mô hình này giúp các nhà đầu tư và các tổ chức tài chính đưa ra các quyết định đầu tư và quản lý rủi ro hiệu quả hơn.
5.1. Định Giá Quyền Chọn và Chứng Khoán Phái Sinh
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy có thể được sử dụng để định giá các quyền chọn và các chứng khoán phái sinh khác một cách chính xác hơn so với mô hình Black-Scholes. Điều này đặc biệt quan trọng đối với các quyền chọn có kỳ hạn dài hoặc các quyền chọn có độ nhạy cảm cao với độ biến động.
5.2. Dự Báo Độ Biến Động Thị Trường
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy có thể được sử dụng để dự báo độ biến động thị trường trong tương lai. Các dự báo này có thể giúp các nhà đầu tư đưa ra các quyết định giao dịch và quản lý rủi ro tốt hơn.
5.3. Đánh Giá Rủi Ro Hệ Thống
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy có thể được sử dụng để đánh giá rủi ro hệ thống, tức là rủi ro mà một sự kiện đơn lẻ có thể gây ra sự sụp đổ của toàn bộ hệ thống tài chính. Việc đánh giá rủi ro hệ thống là rất quan trọng để các nhà quản lý có thể đưa ra các biện pháp phòng ngừa và giảm thiểu rủi ro.
VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Mô Hình Biến Động Ngẫu Nhiên
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy là một công cụ mạnh mẽ để mô tả và phân tích thị trường tài chính. Mặc dù mô hình này phức tạp hơn so với mô hình Black-Scholes, nó có khả năng cung cấp các dự báo chính xác hơn và giúp các nhà đầu tư quản lý rủi ro hiệu quả hơn. Trong tương lai, các nghiên cứu sẽ tập trung vào việc phát triển các phương pháp ước lượng tham số hiệu quả hơn và mở rộng mô hình để bao gồm các yếu tố khác như thanh khoản thị trường và thông tin bất đối xứng.
6.1. Phát Triển Các Phương Pháp Ước Lượng Tham Số
Việc phát triển các phương pháp ước lượng tham số hiệu quả hơn là một hướng nghiên cứu quan trọng. Các phương pháp này cần phải có khả năng xử lý dữ liệu lớn và tính toán nhanh chóng để có thể áp dụng trong thực tế.
6.2. Mở Rộng Mô Hình Để Bao Gồm Các Yếu Tố Khác
Việc mở rộng mô hình để bao gồm các yếu tố khác như thanh khoản thị trường và thông tin bất đối xứng có thể giúp mô hình mô tả thị trường tài chính một cách chính xác hơn. Điều này có thể dẫn đến các dự báo chính xác hơn và giúp các nhà đầu tư quản lý rủi ro hiệu quả hơn.
