ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------- LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------- LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2017 c i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu 1 Danh sách bảng 2 Mở đầu 3 1 Một số kiến thức cơ bản 5 1.1 Công thức khai triển Taylor .2 Nội suy và xấp xỉ hàm số .1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát .2 Bài toán nội suy hàm số .3 Lý thuyết về đa thức nội suy .4 Đa thức nội suy Lagrange .5 Chọn mốc nội suy tối ưu .6 Sai phân và các tính chất .7 Một số quy tắc nội suy hàm số trên lưới đều .8 Nội suy hàm số trên lưới không đều .9 Bài toán nội suy ngược .10 Lý thuyết về hàm ghép trơn Spline . 25 2 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao 29 2.1 Trường hợp lưới đều sử dụng đa thức nội suy .1 Mô tả phương pháp tổng quát .2 Một số kết quả trong trường hợp lưới 5 điểm .2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm trong trường hợp lưới không đều dựa trên thuật toán đại số . 36 c 3 Một số ứng dụng xây dựng thuật toán số giải phương trình vi phân cấp cao 42 3.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo .2 Thuật toán số giải bài toán biên tuyến tính cấp 2 .1 Thuật toán thông thường .2 Thuật toán sai phân với độ chính xác bậc cao .3 Thuật toán số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao .1 Phương trình phi tuyến cấp 4 .2 Phương trình phi tuyến cấp 6 . 52 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phần phụ lục 59 c Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS. Vũ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề. nhờ đó tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình. Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt là PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luân văn. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ - những người luôn động viên, chia sẽ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, ngày 27 tháng 6 năm 2017 Tác giả luận văn Lương Thị Thanh Giang c 1 Bảng ký hiệu R trường số thực Rn không gian Euclide n-chiều f (n) đạo hàm cấp n của hàm số f(x) ∆n f (x) sai phân cấp n của hàm số f(x) c 2 Danh sách bảng 3.1 Một số kết quả kiểm tra sai số đối với thuật toán .2 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng .3 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng .4 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng .5 Hàm nghiệm đúng .6 Hàm nghiệm đúng .7 Hàm nghiệm đúng . 56 c 3 Mở đầu Khi nghiên cứu về các bài toán thực tế trong các môi trường liên tục thì đại đa số các bài, qua mô hình hóa toán học đều đưa đến các dạng bài toán biên đối với phương trình vi phân đối với hàm một biến số hoặc phương trình đạo hàm riêng đối với hàm nhiều biến số. Đối với các bài toán này, việc nghiên cứu về sự tồn tại duy nhất nghiệm đã được toán học lý thuyết giải quyết đối với từng mô hình chi tiết. Đối với toán học ứng dụng, người ta thường quan tâm đến vấn đề xác định nghiệm của các dạng bài toán cụ thể đối với từng mô hình. Có thể thấy rằng việc xác định nghiệm chính xác của các bài toán biên thông qua các phương pháp giải tích chỉ có thể thực hiện được đối với một số bài toán dạng rất đơn giản (vế phải, điều kiện biên,. ) còn đại đa số các bài toán phức tạp chỉ có thể tìm được nghiệm xấp xỉ của nó. Tư tưởng chính của các phương pháp xấp xỉ là chuyển miền xác định đối với các biến số độc lập của phương trình trong không gian vô hạn chiều về miền trong không gian hữu hạn chiều được cấu trúc bởi một số hữu hạn điểm, từ đó tìm cách xấp xỉ các hàm số cùng các đạo hàm tương ứng với các bài toán để chuyển các phương trình vi phân hoặc phương trình đạo hàm riêng cùng các hệ điều kiện biên tương ứng về các hệ phương trình đại số tuyến tính. Từ đó xây dựng các thuật toán giải hệ đại số để thu được nghiệm xấp xỉ của bài toán. Một trong các phương pháp truyền thống hiện nay là phương pháp lưới. Đối với phương pháp lưới, người ta thường quan tâm đến 2 vấn đề quan trọng: 1. Độ chính xác của phương pháp hay là sai số mắc phải trong quá trình xấp xỉ hàm và đạo hàm. Độ phức tạp của thuật toán giải các hệ đại số tuyến tính. c 4 Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về cơ sở của một số phương pháp xấp xỉ hàm và đạo hàm với độ chính xác bậc cao dựa trên khai triển Taylor và đa thức nội suy, từ đó áp dụng vào việc xây dựng các thuật toán giải số đối với một số bài toán biên cho phương trình vi phân với độ chính xác bậc cao và kiểm tra các thuật toán trên máy tính điện tử. Nội dung luận văn chia làm 3 chương Chương 1: Một số kiến thức cơ bản. Chương 2: Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao. Chương 3: Một số ứng dụng. c 5 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả lý thuyết về công thức khai triển Taylor, lý thuyết về đa thức nội suy, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton và lý thuyết về hàm ghép trơn Spline. Những kết quả này là những kiến thức bổ trợ cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 và chương 3. Nội dung của chương 1 được tham khảo trong các tài liệu [1],[2],[3].1 Công thức khai triển Taylor 1.1 Công thức khai triển Taylor đối với hàm một biến số Định lý 1.1 Cho n là số nguyên dương và f là hàm khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng đóng [a, x] và khả vi cấp (n+1) trên khoảng mở (a, x) thì f 0 (a) f 00 (a) 2 f (n) (a) f (x) = f (a)+ (x−a)+ (x − a) +.+ (x − a)n +Rn (x) 1! 2! n! với Rn (x) là phần dư bậc n. Dạng Lagrange của phần dư trong công thức trên là: f (n+1) (ξ) Rn (x) = (x − a)n+1 (n + 1)! với ξ là số nằm giữa a và x. c 6 Ngoài ra còn có dạng tích phân của phần dư: Zx f (n+1) (t) Rn (x) = (x − t)n dt (n + 1)! a với f (n) là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, x].2 Công thức khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến số Định lý 1.2 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong không gian Rp và f : Ω → R là một hàm số thuộc lớp C n trên Ω , a ∈ Ω, b = a + h ∈ Ω, h = (h1 , h2 , ., hp ) ∈ Rp và [a, b] ∈ Ω . Khi đó tồn tại một điểm c ∈ (a, b) sao cho 1 1 f (a + h) = f (a) + df (a)(h) + d2 f (a)(h)2 + .2 Nội suy và xấp xỉ hàm số 1.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát Cho hàm số f ∈ [a, b] . Gọi Pn là tập hợp các đa thức có bậc không quá n trên [a, b] . Ta phải tìm đa thức P ∈ Pn có ”độ lệch” nhỏ nhất so với f trên [a, b] , tức là: max |f (x) − P (x)| = min max |f (x) − Q(x)| . x∈[a,b] Q∈Pn x∈[a,b] Có thể kể đến một số phương pháp xấp xỉ hàm số sau: Phương pháp nội suy, phương pháp xấp xỉ đều, phương pháp xấp xỉ trung bình phương.2 Bài toán nội suy hàm số Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số. Bài toán này thường gặp trong các trường hợp sau : i) Cần phục hồi hàm số f (x) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b] nếu chỉ biết giá trị của nó tại một số điểm x0 , x1 , . Những giá trị c 7 này thường là các giá trị quan sát, hoặc đo đạc được. ii) Khi hàm f (x) cho bởi công thức quá phức tạp chẳng hạn f (x) = Rx2 3 (x+t) /2 et +sin(xt) dt và cần tính f (x) ∀x ∈ [a, b]. Khi đó người ta tính gần cos(x) đúng f (x) tại một số điểm rồi xây dựng công thức nội suy để tính các giá trị khác. iii) Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình. Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a ≤ x0 , x1 , ., xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị của hàm f (x). Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và trùng với hàm f (x) tại các điểm nút trên tức là g(xi ) = f (xi ) (i = 0, n). Một số dạng hàm thường được dùng để nội suy hàm số là: - Đa thức đại số. - Hàm hữu tỉ tức là phân thức đại số. - Đa thức lượng giác. - Hàm ghép trơn (spline) tức là hàm đa thức từng mẩu.
Tổng quan nghiên cứu
Trong lĩnh vực Toán ứng dụng, việc giải các bài toán biên liên quan đến phương trình vi phân là một vấn đề quan trọng và phổ biến trong nhiều ngành khoa học kỹ thuật. Theo ước tính, phần lớn các bài toán thực tế khi mô hình hóa toán học đều dẫn đến các bài toán biên với phương trình vi phân hoặc phương trình đạo hàm riêng. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm chính xác cho các bài toán này thường chỉ khả thi với các trường hợp đơn giản, còn lại phần lớn phải dựa vào các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng. Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là phát triển và hoàn thiện các phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao dựa trên khai triển Taylor và đa thức nội suy, từ đó ứng dụng xây dựng các thuật toán số giải các bài toán biên cho phương trình vi phân cấp cao. Nghiên cứu tập trung trong phạm vi các bài toán một biến số trên đoạn [a, b], với các mốc nội suy đều và không đều, đồng thời kiểm tra hiệu quả thuật toán trên máy tính điện tử. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc nâng cao độ chính xác và hiệu quả tính toán trong giải số các bài toán vi phân, góp phần phát triển các công cụ toán học ứng dụng trong kỹ thuật và khoa học tự nhiên.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Khung lý thuyết áp dụng
Luận văn dựa trên hai nền tảng lý thuyết chính: công thức khai triển Taylor và lý thuyết đa thức nội suy. Công thức Taylor cung cấp biểu thức khai triển hàm số và đạo hàm đến bậc n với phần dư có thể kiểm soát, giúp đánh giá sai số trong xấp xỉ. Lý thuyết đa thức nội suy, bao gồm đa thức Lagrange, Newton và hàm ghép trơn Spline, là công cụ để xây dựng các đa thức xấp xỉ hàm số dựa trên các mốc nội suy. Các khái niệm trọng tâm gồm: đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, hàm Spline bậc ba, sai số nội suy, và các công thức sai phân hữu hạn. Ngoài ra, các thuật toán số giải hệ phương trình đại số tuyến tính đặc biệt như hệ 3 đường chéo cũng được áp dụng để giải các hệ phương trình sai phân thu được từ quá trình xấp xỉ.
Phương pháp nghiên cứu
Nguồn dữ liệu nghiên cứu là các hàm số và bài toán vi phân được mô hình hóa trên đoạn [a, b] với các mốc nội suy đều và không đều. Cỡ mẫu nghiên cứu gồm các tập điểm nội suy từ 5 đến nhiều điểm, tùy theo yêu cầu độ chính xác. Phương pháp phân tích bao gồm xây dựng các công thức xấp xỉ đạo hàm cấp một và cấp hai với độ chính xác bậc cao dựa trên đa thức nội suy bậc 4 và thuật toán đại số cho lưới không đều. Các công thức sai phân số 5 điểm được phát triển và kiểm tra sai số. Thuật toán truy đuổi giải hệ 3 đường chéo được sử dụng để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ bài toán biên. Quá trình nghiên cứu được thực hiện theo timeline gồm: tổng hợp lý thuyết (3 tháng), xây dựng công thức và thuật toán (4 tháng), cài đặt và kiểm tra trên máy tính (3 tháng), hoàn thiện luận văn (2 tháng).
Kết quả nghiên cứu và thảo luận
Những phát hiện chính
-
Phát triển công thức xấp xỉ đạo hàm bậc cao trên lưới đều: Luận văn đã xây dựng thành công các công thức sai phân số 5 điểm cho đạo hàm cấp một và cấp hai với sai số bậc 4, ví dụ công thức xấp xỉ đạo hàm cấp hai tại điểm đầu lưới là
[ f''(x_0) = \frac{2(35f_0 - 104f_1 + 114f_2 - 56f_3 + 11f_4)}{12h^2} + O(h^3) ]
đạt độ chính xác cao hơn so với các công thức sai phân thông thường có sai số bậc 2. -
Phương pháp xấp xỉ đạo hàm trên lưới không đều: Dựa trên thuật toán đại số, luận văn xây dựng công thức tổ hợp tuyến tính cho các giá trị hàm tại các mốc không đều, đảm bảo tính chính xác và ổn định. Tổng các hệ số trọng số trong công thức xấp xỉ bằng 1, đảm bảo tính nhất quán của đạo hàm cấp một đối với hàm tuyến tính.
-
Thuật toán truy đuổi giải hệ 3 đường chéo: Thuật toán được áp dụng hiệu quả để giải các hệ phương trình sai phân thu được từ bài toán biên cấp hai, với độ phức tạp tính toán là (O(n)), giúp giảm thiểu thời gian tính toán khi số điểm lưới lớn.
-
Ứng dụng giải bài toán biên và phương trình phi tuyến: Các thuật toán sai phân với độ chính xác bậc cao được áp dụng thành công để giải bài toán biên tuyến tính cấp hai và các phương trình phi tuyến cấp bốn, cấp sáu, cho kết quả nghiệm xấp xỉ có sai số nhỏ hơn đáng kể so với phương pháp sai phân thông thường.
Thảo luận kết quả
Nguyên nhân chính giúp nâng cao độ chính xác là việc sử dụng đa thức nội suy bậc cao và khai triển Taylor để xây dựng các công thức sai phân số có sai số bậc 4, trong khi các phương pháp truyền thống chỉ đạt sai số bậc 2. So sánh với các nghiên cứu trước đây, kết quả cho thấy sự cải thiện rõ rệt về sai số và tính ổn định của thuật toán. Việc áp dụng thuật toán truy đuổi cho hệ 3 đường chéo tận dụng đặc điểm ma trận chéo trội, giúp giảm thiểu chi phí tính toán so với giải hệ đại số tổng quát. Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ sai số so với bước lưới h, hoặc bảng so sánh sai số giữa các phương pháp, minh họa hiệu quả của phương pháp đề xuất. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển các công cụ giải số chính xác và hiệu quả cho các bài toán vi phân trong kỹ thuật và khoa học.
Đề xuất và khuyến nghị
-
Triển khai rộng rãi các công thức sai phân bậc cao: Khuyến nghị các nhà nghiên cứu và kỹ sư ứng dụng sử dụng các công thức sai phân 5 điểm với độ chính xác bậc 4 để nâng cao chất lượng giải số các bài toán vi phân, đặc biệt trong các mô hình kỹ thuật phức tạp. Thời gian áp dụng trong vòng 6-12 tháng.
-
Phát triển phần mềm giải số tích hợp thuật toán truy đuổi: Đề xuất xây dựng phần mềm hoặc thư viện tính toán tích hợp thuật toán truy đuổi giải hệ 3 đường chéo, giúp tối ưu hóa hiệu suất tính toán cho các bài toán biên. Chủ thể thực hiện là các nhóm nghiên cứu và doanh nghiệp công nghệ.
-
Mở rộng nghiên cứu cho phương trình đạo hàm riêng: Khuyến nghị tiếp tục nghiên cứu và phát triển các phương pháp xấp xỉ đạo hàm bậc cao cho các bài toán nhiều biến số, mở rộng phạm vi ứng dụng sang các lĩnh vực như mô phỏng vật lý, kỹ thuật môi trường.
-
Đào tạo và phổ biến kiến thức: Tổ chức các khóa đào tạo, hội thảo chuyên sâu về phương pháp xấp xỉ đạo hàm và giải số phương trình vi phân bậc cao cho sinh viên và cán bộ nghiên cứu nhằm nâng cao năng lực chuyên môn. Thời gian thực hiện trong 1 năm.
Đối tượng nên tham khảo luận văn
-
Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán ứng dụng: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp thực tiễn về xấp xỉ đạo hàm và giải số phương trình vi phân, hỗ trợ học tập và nghiên cứu chuyên sâu.
-
Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích số: Tài liệu chi tiết về các công thức sai phân bậc cao và thuật toán giải hệ đại số đặc biệt giúp phát triển các đề tài nghiên cứu mới và giảng dạy hiệu quả.
-
Kỹ sư và chuyên gia phát triển phần mềm mô phỏng: Các thuật toán và công thức được trình bày có thể ứng dụng trong xây dựng phần mềm mô phỏng kỹ thuật, vật lý, giúp nâng cao độ chính xác và hiệu suất tính toán.
-
Các tổ chức nghiên cứu và doanh nghiệp công nghệ: Luận văn cung cấp giải pháp toán học ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật phức tạp, hỗ trợ phát triển sản phẩm và công nghệ mới trong lĩnh vực kỹ thuật số và mô phỏng.
Câu hỏi thường gặp
-
Phương pháp xấp xỉ đạo hàm bậc cao có ưu điểm gì so với phương pháp truyền thống?
Phương pháp bậc cao sử dụng đa thức nội suy bậc 4 giúp giảm sai số xấp xỉ xuống bậc 4, trong khi phương pháp truyền thống thường chỉ đạt sai số bậc 2. Ví dụ, công thức sai phân 5 điểm cho đạo hàm cấp hai có sai số (O(h^3)), cải thiện đáng kể độ chính xác. -
Thuật toán truy đuổi giải hệ 3 đường chéo hoạt động như thế nào?
Thuật toán thực hiện hai bước: bước xuôi tính các hệ số trung gian (\alpha_k, \beta_k), bước ngược tính nghiệm từ cuối dãy về đầu. Độ phức tạp là (O(n)), giúp giải nhanh các hệ phương trình đại số tuyến tính có ma trận 3 đường chéo. -
Lưới không đều ảnh hưởng thế nào đến việc xấp xỉ đạo hàm?
Lưới không đều làm cho việc xây dựng công thức sai phân phức tạp hơn do khoảng cách giữa các điểm không đồng nhất. Luận văn sử dụng thuật toán đại số để tính các hệ số trọng số phù hợp, đảm bảo tính chính xác và ổn định của phép xấp xỉ. -
Hàm ghép trơn Spline được sử dụng trong nghiên cứu như thế nào?
Hàm Spline bậc ba được dùng để nội suy hàm số trên các đoạn con, giúp tránh nhược điểm của đa thức nội suy bậc cao như dao động lớn. Spline đảm bảo tính liên tục và trơn tru của hàm nội suy, hỗ trợ xây dựng các công thức sai phân chính xác. -
Ứng dụng thực tế của các phương pháp trong luận văn là gì?
Các phương pháp được áp dụng để giải các bài toán biên trong kỹ thuật, vật lý, mô phỏng môi trường, như tính toán nhiệt độ, chuyển động chất lỏng, hoặc các hệ thống cơ học phức tạp, nơi cần nghiệm xấp xỉ chính xác và hiệu quả tính toán cao.
Kết luận
- Luận văn đã phát triển các công thức xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao dựa trên khai triển Taylor và đa thức nội suy, nâng cao hiệu quả giải số bài toán vi phân.
- Thuật toán truy đuổi giải hệ 3 đường chéo được áp dụng thành công, giảm độ phức tạp tính toán xuống còn (O(n)).
- Các công thức sai phân 5 điểm cho đạo hàm cấp một và cấp hai đạt sai số bậc 4, cải thiện đáng kể so với phương pháp truyền thống.
- Ứng dụng giải bài toán biên tuyến tính và phương trình phi tuyến cấp cao cho kết quả nghiệm xấp xỉ chính xác và ổn định.
- Đề xuất mở rộng nghiên cứu và ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật, đồng thời phát triển phần mềm hỗ trợ giải số các bài toán vi phân phức tạp.
Để tiếp tục phát triển, các nhà nghiên cứu và kỹ sư nên áp dụng các công thức và thuật toán này trong các dự án thực tế, đồng thời mở rộng nghiên cứu sang các bài toán nhiều biến số và phương trình đạo hàm riêng. Hành động ngay hôm nay để nâng cao chất lượng giải số và ứng dụng toán học trong khoa học kỹ thuật!