I. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản cần thiết cho việc nghiên cứu bất đẳng thức vi biến phân. Đầu tiên, không gian vectơ Euclide n-chiều được định nghĩa, trong đó các khái niệm như tích vô hướng và chuẩn của vectơ được làm rõ. Tiếp theo, một số không gian hàm như không gian khả tích Lebesgue và không gian hàm liên tục được giới thiệu. Các khái niệm về tập lồi và hàm lồi cũng được đề cập, nhấn mạnh tầm quan trọng của chúng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến bất đẳng thức vi biến phân. Cuối cùng, ánh xạ đa trị và ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại được định nghĩa, tạo nền tảng cho các phần sau của luận văn. Những kiến thức này không chỉ là cơ sở lý thuyết mà còn là công cụ hữu ích trong việc phân tích và giải quyết các bài toán trong toán học ứng dụng.
1.1 Không gian vectơ Euclide n chiều
Không gian vectơ Euclide n-chiều, ký hiệu là Rn, là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học. Tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa rõ ràng, cùng với chuẩn của vectơ. Hình cầu đơn vị trong Rn cũng được giới thiệu, giúp hình dung về các khái niệm liên quan đến khoảng cách trong không gian này. Các định nghĩa về bao đóng và phần trong của tập hợp cũng được làm rõ, tạo điều kiện cho việc áp dụng trong các bài toán bất đẳng thức vi biến phân.
1.2 Một số không gian hàm
Trong phần này, không gian các hàm khả tích Lebesgue và các không gian hàm liên tục được trình bày. Các khái niệm như chuẩn của hàm và tính chất của hàm liên tục tuyệt đối được làm rõ. Điều này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bất đẳng thức vi biến phân, vì nó giúp xác định các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Các không gian này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như toán học thực nghiệm.
II. Bất đẳng thức vi biến phân
Chương này tập trung vào việc phân tích bất đẳng thức vi biến phân (DVI) và sự tồn tại duy nhất của nghiệm cho một lớp bất đẳng thức này. Bất đẳng thức vi biến phân được cấu thành từ hai thành phần chính: phương trình vi phân thường và bất đẳng thức biến phân. Nội dung của một DVI được mô tả chi tiết, bao gồm các điều kiện cần thiết để tìm nghiệm. Các trường hợp đặc biệt của bài toán DVI cũng được liệt kê, giúp người đọc hiểu rõ hơn về tính đa dạng của các bài toán trong lĩnh vực này. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các bài toán thực tiễn trong toán học ứng dụng.
2.1 Bất đẳng thức vi biến phân
Bất đẳng thức vi biến phân (DVI) được định nghĩa thông qua một hàm đơn trị và một tập con lồi. Bài toán tìm nghiệm cho DVI được mô tả rõ ràng, với các điều kiện cần thiết để nghiệm tồn tại. Điều này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ thống động lực không trơn, nơi mà các bất đẳng thức vi biến phân thường xuất hiện. Các kết quả trong phần này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực như kinh tế học và kỹ thuật.
2.2 Phân loại các bất đẳng thức vi biến phân
Phân loại các bất đẳng thức vi biến phân dựa trên khái niệm chỉ số là một phần quan trọng trong chương này. Chỉ số của một DAE được định nghĩa và minh họa qua các ví dụ cụ thể. Việc phân loại này giúp xác định các phương pháp giải quyết khác nhau cho từng loại bài toán, từ đó nâng cao khả năng ứng dụng của các lý thuyết trong thực tiễn. Các kết quả này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ khoa học máy tính đến kỹ thuật điều khiển.
III. Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa
Chương này nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa. Bất đẳng thức này bao gồm các phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng thức biến phân, thể hiện sự phụ thuộc vào thời gian. Các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm được trình bày chi tiết, cùng với các phương pháp tiếp cận khác nhau để giải quyết bài toán này. Những kết quả trong chương này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực như kinh tế học và kỹ thuật.
3.1 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa
Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa được định nghĩa và phân tích trong phần này. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm cho lớp bất đẳng thức này được chứng minh thông qua các phương pháp toán học chặt chẽ. Điều này rất quan trọng trong việc mô hình hóa các hệ thống động lực không trơn, nơi mà sự thay đổi theo thời gian là một yếu tố quan trọng. Các kết quả này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ khoa học tự nhiên đến kỹ thuật.
3.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của EVI
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của EVI được nghiên cứu kỹ lưỡng trong phần này. Các điều kiện cần thiết và đủ cho sự tồn tại của nghiệm được trình bày rõ ràng, cùng với các ví dụ minh họa. Điều này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các bài toán thực tiễn, từ kinh tế học đến kỹ thuật điều khiển. Những kết quả này mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học ứng dụng.
