I. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về lý thuyết mô-đun và vành, bao gồm các môđun con cốt yếu và đối cốt yếu. Môđun con cốt yếu được định nghĩa là môđun con N của R-môđun M, trong đó mọi môđun khác không K của M đều có giao với N khác không. Ngược lại, môđun con đối cốt yếu là môđun con K của M, với điều kiện rằng mọi môđun con X của M mà X khác M thì K cộng với X không bằng M. Những khái niệm này là nền tảng cho việc nghiên cứu các môđun không bé và môđun không đối bé. Các định nghĩa và tính chất này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo, cho thấy sự quan trọng của việc nắm vững lý thuyết cơ bản trước khi đi vào các khái niệm phức tạp hơn.
1.1 Môđun con cốt yếu đối cốt yếu
Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu là hai khái niệm quan trọng trong lý thuyết mô-đun. Môđun con cốt yếu N ≤e M có nghĩa là mọi môđun khác không K của M đều có giao với N khác không. Điều này cho thấy N có vai trò quan trọng trong cấu trúc của M. Ngược lại, môđun con đối cốt yếu K ≤ M có nghĩa là nếu K cộng với bất kỳ môđun con nào X của M mà không bằng M thì K được coi là đối cốt yếu. Những khái niệm này không chỉ giúp định hình các môđun mà còn tạo ra các công cụ hữu ích cho việc nghiên cứu vành, đặc biệt là trong việc phân tích các lớp vành Artin.
II. Môđun không bé môđun không đối bé
Chương này tập trung vào khái niệm môđun không bé và môđun không đối bé. Môđun không bé được định nghĩa là môđun N không nằm trong bao nội xạ E(N). Điều này có nghĩa là N không thể được coi là môđun bé, và điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích cấu trúc của các môđun. Các điều kiện tương đương cho môđun không bé được trình bày rõ ràng, cho thấy rằng nếu M là môđun không bé, thì mọi môđun con của M cũng không bé. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết mô-đun, đặc biệt là trong việc áp dụng vào các vành nửa hoàn chỉnh.
2.1 Môđun không bé
Môđun không bé là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết mô-đun. Định nghĩa cho thấy rằng môđun N được coi là không bé nếu nó không nằm trong bao nội xạ E(N). Các điều kiện tương đương cho môđun không bé được trình bày, cho thấy rằng nếu M là môđun không bé, thì mọi môđun con của M cũng không bé. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích cấu trúc của các môđun và mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết vành.
2.2 Môđun không đối bé
Môđun không đối bé là khái niệm đối ngẫu với môđun không bé. Môđun M được gọi là không đối bé nếu với mọi toàn cấu f: P → M, hạt nhân của f không cốt yếu trong P. Điều này có nghĩa là M không thể được coi là môđun đối bé. Các điều kiện cần và đủ để một môđun là không đối bé được trình bày rõ ràng, cho thấy rằng mọi môđun xạ ảnh đều là không đối bé. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết mô-đun và vành.
III. Áp dụng vào vành
Chương này giới thiệu ứng dụng của môđun không bé vào vành nửa hoàn chỉnh và đặc trưng của vành nửa hoàn chỉnh QF-3. Các điều kiện cần và đủ cho môđun không bé được áp dụng để phân tích các vành nửa hoàn chỉnh. Việc nghiên cứu các điều kiện này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các môđun mà còn mở rộng khả năng ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Các kết quả thu được từ nghiên cứu này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ lý thuyết số đến đại số trừu tượng.
3.1 Về đặc trưng vành co H
Đặc trưng của vành co-H được nghiên cứu thông qua các môđun không bé. Việc áp dụng các khái niệm này vào vành nửa hoàn chỉnh cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa lý thuyết mô-đun và lý thuyết vành. Các điều kiện cần và đủ cho môđun không bé được áp dụng để phân tích các vành nửa hoàn chỉnh, từ đó mở rộng khả năng ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Điều này cho thấy rằng việc nghiên cứu môđun không bé không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn cao.
