I. Luận án tiến sĩ và mục tiêu nghiên cứu
Luận án tiến sĩ của Lê Quang Ninh tập trung vào việc xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình thông qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm. Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu sự xác định duy nhất của các hàm phân hình và đường cong chỉnh hình trong cả trường hợp phức và p-adic. Luận án đặt ra ba vấn đề chính: (1) Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm, (2) Xác định đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính qua điều kiện ảnh ngược của siêu mặt, và (3) Mở rộng các vấn đề trên cho trường hợp p-adic. Các kết quả nghiên cứu góp phần làm sâu sắc thêm lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng của nó trong toán học cao cấp.
1.1. Xác định hàm phân hình
Luận án nghiên cứu sự xác định duy nhất của hàm phân hình thông qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm. Cụ thể, với hai hàm phân hình f và g, nếu chúng có cùng ảnh ngược của một tập hợp điểm nhất định, luận án đưa ra các điều kiện để f và g có mối quan hệ phân tuyến tính hoặc bằng nhau. Các kết quả này mở rộng Định lý 5 điểm của Nevanlinna và trả lời các câu hỏi của Gross và Pakovich về sự xác định duy nhất của hàm phân hình.
1.2. Xác định đường cong chỉnh hình
Luận án cũng tập trung vào việc xác định đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính qua điều kiện ảnh ngược của siêu mặt. Các kết quả chính bao gồm việc thiết lập các siêu mặt xác định duy nhất đường cong chỉnh hình và mô tả mối quan hệ giữa các đường cong chỉnh hình có cùng bội giao đối với siêu mặt. Các phương pháp sử dụng bao gồm các kiểu Bổ đề Borel và các phương trình hàm nhiều biến.
II. Phương pháp và công cụ nghiên cứu
Luận án sử dụng các công cụ chính từ lý thuyết Nevanlinna và các tương tự của nó trong trường hợp p-adic. Các phương pháp nghiên cứu bao gồm việc sử dụng hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna, các kiểu Bổ đề Borel, và các phương trình hàm đa thức. Luận án cũng áp dụng các kỹ thuật đánh giá và phân tích hàm để chứng minh các kết quả về sự xác định duy nhất của hàm và ánh xạ chỉnh hình.
2.1. Lý thuyết Nevanlinna
Lý thuyết Nevanlinna là công cụ chính được sử dụng trong luận án để nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình và ánh xạ chỉnh hình. Các Định lý chính của lý thuyết này được áp dụng để chứng minh các kết quả về sự xác định duy nhất của hàm và ánh xạ chỉnh hình thông qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm.
2.2. Phương trình hàm đa thức
Luận án sử dụng các phương trình hàm đa thức để nghiên cứu sự xác định duy nhất của hàm và ánh xạ chỉnh hình. Các phương trình này được xây dựng dựa trên các đa thức kiểu Fermat-Waring và các điều kiện về nghiệm của chúng. Các kết quả thu được bao gồm việc mô tả nghiệm của các phương trình hàm và thiết lập các tập xác định duy nhất.
III. Ứng dụng và ý nghĩa khoa học
Luận án có ý nghĩa khoa học quan trọng trong việc làm sâu sắc thêm các nghiên cứu về lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng của nó trong toán học cao cấp. Các kết quả nghiên cứu góp phần trả lời các câu hỏi mở trong lý thuyết phân bố giá trị và mở rộng các định lý cổ điển như Định lý 5 điểm của Nevanlinna. Luận án cũng cung cấp các công cụ và phương pháp mới cho việc nghiên cứu sự xác định duy nhất của hàm và ánh xạ chỉnh hình trong cả trường hợp phức và p-adic.
3.1. Ứng dụng trong toán học cao cấp
Các kết quả của luận án có ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực như giải tích phức, hình học đại số, và toán học p-adic. Các phương pháp và công cụ được phát triển trong luận án có thể được áp dụng để nghiên cứu các vấn đề khác trong toán học, đặc biệt là các vấn đề liên quan đến sự xác định duy nhất của hàm và ánh xạ chỉnh hình.
3.2. Ý nghĩa đối với lý thuyết Nevanlinna
Luận án góp phần làm phong phú thêm lý thuyết Nevanlinna bằng cách mở rộng các định lý cổ điển và trả lời các câu hỏi mở trong lý thuyết phân bố giá trị. Các kết quả nghiên cứu cũng cung cấp các hiểu biết sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các hàm phân hình và ánh xạ chỉnh hình thông qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm.
