Tổng quan về luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan" của nghiên cứu sinh Nguyễn Ngọc Huề, thuộc chuyên ngành Toán Giải tích (Mã số: 9 46 01 02) tại Trường Đại học Quy Nhơn, đặt nền móng giải quyết bài toán cốt lõi trong giải tích toán học hiện đại: sự thống nhất hóa và mở rộng các cấu trúc hàm lồi suy rộng cùng các bất đẳng thức tích phân kinh điển. Kể từ các công trình nguyên bản của Charles Hermite (1883), Jacques Hadamard (1893), Johan Jensen (1906) và Lipót Fejér (1906), lý thuyết tính lồi đã trở thành trụ cột của giải tích thực, lý thuyết tối ưu hóa, lý thuyết xác suất và toán học ứng dụng. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả cổ điển chỉ giới hạn trên các trung bình số học thông thường, các tập xác định thực dương rời rạc, hoặc toán tử tích phân cấp nguyên.

Khoảng trống nghiên cứu (research gap) trọng yếu được luận án định vị bao gồm:

  1. Thiếu vắng một khung lý thuyết bao quát có khả năng nội suy và mô tả đặc trưng các hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học $(M_\varphi, M_\psi)$ trên các khoảng thực bất kỳ, vượt ra khỏi giới hạn của các trung bình số học $A$, hình học $G$, và điều hòa $H$ do Anderson et al. (2007) khảo sát trên $(0, \infty)$.
  2. Sự phân mảnh trong việc áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Fejér vào các lớp toán tử tích phân bậc không nguyên (fractional calculus) với các loại hạch suy rộng khác nhau (Ahmad et al., 2019; Sarikaya et al., 2012).
  3. Hạn chế của bất đẳng thức Jensen cổ điển dạng $\Phi(\int wgd\mu) \le \int w(\Phi \circ g)d\mu$ khi hàm $\Phi$ không phải affine, đòi hỏi tìm kiếm các hệ số khuếch đại tối ưu và chặn dưới chặt chẽ thông qua cấu trúc giải tích của hàm lồi (tổng quát hóa kết quả của Mercer, 2005 và Andersson, 1958).
  4. Thiếu một lý thuyết hàm lồi suy rộng kiểu Hölder xác định trên toàn bộ không gian số thực $\mathbb{R}^n$ thay vì chỉ giới hạn trong nón dương $\mathbb{R}^n_+$.

Luận án đặt ra và giải quyết 4 câu hỏi nghiên cứu ($RQ$) và giả thuyết khoa học ($H$):

  • RQ1 / H1: Liệu có thể thiết lập một chuỗi bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér đặc trưng hoàn toàn cho tính $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi liên tục, từ đó tổng quát hóa các bất đẳng thức cho toán tử tích phân bậc không nguyên với hạch lũy thừa-logarit?
  • RQ2 / H2: Có tồn tại hằng số khuếch đại giải tích $c$ phụ thuộc vào hệ số đa thức Bernstein $B_n^\Phi$ để thiết lập bất đẳng thức kiểu Jensen dạng đảo và dạng tăng cường, từ đó làm mạnh định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya?
  • RQ3 / H3: Có thể mở rộng bất đẳng thức tích phân Jensen và Hermite-Hadamard trên không gian đo trừu tượng $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ sang cấu trúc tích phân cấp phân số trên không gian hàm trọng $X_c^p(a, b)$?
  • RQ4 / H4: Làm thế nào để mở rộng hàm lồi kiểu Hölder và trung bình lũy thừa có trọng $M_n(r, x, w)$ trên toàn bộ $\mathbb{R}^n$, đồng thời suy rộng các bất đẳng thức Jensen, Popoviciu và Rado?

Khung lý thuyết của công trình tích hợp giải tích hàm, lý thuyết phương trình hàm Aczél, lý thuyết độ đo và giải tích phân số. Với quy mô 110 trang, cấu trúc 4 chương chuyên sâu, và 5 công trình công bố quốc tế uy tín (tiêu biểu tại Journal of Mathematical Inequalities, Results in Mathematics), luận án mang lại bước nhảy vọt về mặt lý thuyết giải tích hàm lồi hiện đại.

Literature Review và Positioning

Lý thuyết bất đẳng thức hàm lồi hình thành từ cuối thế kỷ 19. Bất đẳng thức Hermite-Hadamard: $$\text{Quote 1: } f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx \le \frac{f(a)+f(b)}{2}$$ được Pečarić, Proschan và Tong (1992) cùng Dragomir và Pearce (2000) hệ thống hóa toàn diện. Fejér (1906) đưa vào hàm trọng đối xứng $w(x) = w(a+b-x)$ để thiết lập bất đẳng thức có trọng nổi tiếng. Đến năm 1906, Jensen chính thức hình thành khái niệm hàm lồi thông qua quan hệ trung bình số học $f(\frac{x+y}{2}) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$.

Trong hai thập kỷ gần đây, hai luồng tranh luận học thuật lớn xuất hiện:

  1. Mở rộng lớp hàm lồi: Gill, Pearce và Pečarić (1997) nghiên cứu hàm $r$-lồi, Dragomir và Mond (1995) khảo sát hàm log-lồi, Chen và Wu (2014) khảo sát hàm lồi điều hòa, và Anderson et al. (2007) thiết lập tính $MN$-lồi cho $M, N \in {A, G, H}$. Tuy nhiên, các cách tiếp cận này mang tính chất riêng lẻ, phân tán, và đặc biệt là bị giới hạn nghiêm ngặt trên miền số thực dương $(0, \infty)$. Ví dụ, lớp hàm $r$-lồi khi lấy $r=1$ không bao phủ hoàn toàn lớp hàm lồi thông thường trên miền thực âm.
  2. Ước lượng bất đẳng thức Jensen và Andersson: Bất đẳng thức Andersson (1958) cho tích các hàm lồi $\int_0^1 \prod f_i(x)dx \ge \frac{2^n}{n+1}\prod \int_0^1 f_i(x)dx$ được Mercer (2005) mở rộng cho hàm lũy thừa $\Phi(x) = x^\alpha$, khẳng định hệ số $\frac{2^\alpha}{\alpha+1}$ là tối ưu. Tuy nhiên, câu hỏi bỏ ngỏ là liệu có thể thiết lập hệ số tương ứng cho các lớp hàm lồi lồi tổng quát $\Phi$ bất kỳ thông qua giải tích cấu trúc hay không.

Vị trí học thuật của luận án Nguyễn Ngọc Huề: Luận án định vị tại điểm giao thoa giữa giải tích lồi suy rộng và giải tích tích phân phân số. So với nghiên cứu của Sarikaya et al. (2012) và Budak (2019) về tích phân Riemann-Liouville, luận án xây dựng một toán tử hạch tổng quát $K(u, v) = k(|u-v|)$, bao trùm toán tử Riemann-Liouville, Hadamard và các toán tử có hạch lũy thừa-logarit (Katugampola, 2014; Jarad et al., 2017). So với Mercer (2005), luận án sử dụng công cụ khai triển đa thức Bernstein $B_n^\Phi(x) = \sum_{k=0}^n c_{nk}^\Phi x^k$ để đưa ra điều kiện đủ tường minh đầu tiên cho hệ số chặn Jensen suy rộng.

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án mở rộng và định hình lại các lý thuyết nền tảng:

  • Mở rộng nguyên lý tương ứng Aczél (1966): Thiết lập điều kiện cần và đủ để hàm $f: I \to J$ là $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi: $$\text{Quote 2: } f(M_\varphi(a, b; \alpha)) \le M_\psi(f(a), f(b); \alpha) \quad \forall a, b \in I, \alpha \in [0, 1]$$ thông qua tính lồi thông thường của hàm hợp $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ trên $\varphi(I)$.
  • Thiết lập mô hình mệnh đề lý thuyết:
    • Mệnh đề 1 ($P_1$): Tính đơn điệu nghiêm ngặt của chuỗi phiếm hàm nội suy $F(t)$, $G(t)$, $I_1(s)$, $I_2(s)$ trên $[0, 1]$.
    • Mệnh đề 2 ($P_2$): Hệ 7 mệnh đề tương đương đặc trưng cho tính $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi liên tục (Hệ quả 1.5).
    • Mệnh đề 3 ($P_3$): Tiêu chuẩn dấu tổng riêng phần của hệ số Bernstein $\sum_{k=0}^j c_{nk}^\Phi \ge 0$ cho bất đẳng thức Jensen khuếch đại.
    • Mệnh đề 4 ($P_4$): Mở rộng định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya cho các dãy bị trội qua phép biến đổi dưới vi phân $\partial\Phi$.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của luận án tích hợp chặt chẽ 3 trụ cột lý thuyết:

  1. Lý thuyết phương trình hàm và trung bình tựa số học: Định nghĩa $M_\varphi(a, b; \alpha) = \varphi^{-1}(\alpha\varphi(a) + (1-\alpha)\varphi(b))$.
  2. Lý thuyết dưới vi phân giải tích lồi: Khai thác bất đẳng thức gradient $\Phi(x) - \Phi(a) \ge (x-a)\phi(a)$ với $\phi \in \partial\Phi$.
  3. Giải tích toán tử tích phân suy rộng: Sử dụng cấu trúc trọng tích chập đối xứng tổng quát: $$w_j(t) = (1-\alpha)g_j \circ L(t) + \alpha g_j \circ R(t)$$ với $L(t) = M_\varphi(a, M_\varphi(a, b; \alpha); t)$ và $R(t) = M_\varphi(b, M_\varphi(a, b; \alpha); t)$.

Điều kiện biên được xác định rõ ràng: các hàm $\varphi, \psi$ phải đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục trên các khoảng mở $I, J \subset \mathbb{R}$; độ đo $\mu$ trên không gian $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ là độ đo dương thỏa mãn $\int_\Omega wd\mu = 1$.

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

  • Triết lý nghiên cứu: Thực chứng - Tiên đề diễn dịch (Deductive-Axiomatic Mathematical Rationalism), xây dựng hệ thống định lý chặt chẽ từ các không gian mêtric, không gian đo đến các phiếm hàm giải tích.
  • Thiết kế đa cấp độ (Multi-level design):
    • Cấp độ 1 (Rời rạc / Điểm): Không gian Euclid $n$-chiều $\mathbb{R}^n$, các vector trọng $w = (w_1, \dots, w_n) \in \mathbb{R}^n_+$, $\sum w_i = 1$.
    • Cấp độ 2 (Toán tử / Giải tích liên tục): Không gian các hàm khả tích Riemann, Lebesgue trên đoạn đóng $[a, b]$.
    • Cấp độ 3 (Không gian độ đo / Phân số trừu tượng): Không gian hàm giá trị phức $X_c^p(a, b)$ với chuẩn: $$|f|_{X_c^p} = \left(\int_a^b |t^c f(t)|^p \frac{dt}{t}\right)^{1/p} < \infty \quad (1 \le p < \infty)$$

Quy trình nghiên cứu rigorous

Quy trình suy luận toán học áp dụng các kỹ thuật ngặt nghèo:

  • Tam giác đạc phương pháp: Kết hợp biến đổi tương đương Aczél, giải tích giải tích đa thức Bernstein, định lý giá trị trung bình thứ hai cho tích phân (Hobson, 1907), và kỹ thuật xấp xỉ liên tục.
  • Kiểm soát tính hợp lệ: Đảm bảo tính khả tích tuyệt đối của các toán tử tích phân phân số $I_{a+}^{\nu, \varphi}f$ và $I_{b-}^{\nu, \varphi}f$; chứng minh tính đóng và tính lồi của các tập dưới mức.

Data và phân tích

  • Đối tượng phân tích: Cấu trúc giải tích thuần túy, các không gian tham số phân số ($\nu > 0, \mu \ge 0, \delta > b-a$).
  • Công cụ toán học: Đa thức Bernstein $B_n^\Phi(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\Delta^k \Phi(0) x^k$, công thức tích phân Raabe, tích phân Gamma không đầy đủ $\Gamma(\mu+1, x) = \int_x^\infty y^\mu e^{-y}dy$, và phần mềm tính toán ký hiệu hỗ trợ kiểm chứng nghiệm kỳ dị.

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

Luận án đạt được 5 phát hiện đột phá có bằng chứng chứng minh giải tích tuyệt đối:

  1. Chuỗi bất đẳng thức nội suy Fejér cho hàm $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi: Chứng minh Định lý 1.1 và Hệ quả 1.7, thiết lập dãy bất đẳng thức kép vô hạn phân tầng: $$f(M_\varphi(a, b; \alpha)) \le F(\beta_1(s)) \le I_1(s) \le G(\beta_1(s)) \le F(s) \le G(s) \le \dots \le M_\psi(f(a), f(b); \alpha)$$ trong đó các toán tử $I_1(s), I_2(s)$ đóng vai trò trung gian nội suy, làm mịn toàn bộ các kết quả trước đây của Hammer (1958), Lupas (1976), Dragomir et al. (1998), và Tseng et al. (2007).

  2. Tiêu chuẩn tương đương đặc trưng cho tính lồi tổng quát: Chứng minh hệ 7 mệnh đề tương đương trong Hệ quả 1.5, khẳng định rằng tính lồi $(M_\varphi, M_\psi)$ không chỉ suy ra bất đẳng thức Hermite-Hadamard tích phân mà ngược lại, sự thỏa mãn bất đẳng thức tích phân trên mọi khoảng con là điều kiện cần và đủ để hàm là $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi.

  3. Bất đẳng thức Jensen khuếch đại với hệ số Bernstein: $$\text{Quote 3: } \int_0^1 w(x)\Phi(f(x))dx \ge \frac{\int_0^1 w(x)\Phi(g(x))dx}{\Phi(1)} \Phi\left(\int_0^1 w(x)f(x)dx\right)$$ Chứng minh định lý tổng quát (Định lý 2.2) khi các hệ số $c_{nk}^\Phi$ của đa thức Bernstein thỏa mãn $\sum_{k=0}^j c_{nk}^\Phi \ge 0$ và $\sum_{k=0}^n c_{nk}^\Phi = \Phi(1)$. Đây là lời giải hoàn chỉnh mở rộng bất đẳng thức Andersson (1958) và Mercer (2005) từ lớp hàm lũy thừa sang hàm lồi bất kỳ.

  4. Hệ bất đẳng thức kiểu Fejér cho toán tử tích phân hạch lũy thừa-logarit: Thiết lập bất đẳng thức tường minh (1.28) cho toán tử có hạch $K(x, y) = \frac{1}{\Gamma(\nu)}|x-y|^{\nu-1}\ln^\mu(\frac{\delta}{|x-y|})$, đưa ra các chặn biểu diễn qua hàm Gamma không đầy đủ $\Gamma(\mu+1, x)$, tổng quát hóa các kết quả của Sarikaya et al. (2012) và Jleli & Samet (2015).

  5. Làm mịn tiệm cận Stirling và bất đẳng thức hàm Gamma: Sử dụng công thức Raabe $\int_a^{a+1}\ln\Gamma(x)dx = \ln\sqrt{2\pi} + a\ln a - a$, luận án thiết lập chuỗi đánh giá vi phân chặt: $$\sqrt{\frac{a}{e}}\left(1 + \frac{1}{2a}\right)^{-1/4} \le \frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}} \le 1$$ dẫn trực tiếp đến công thức tiệm cận Stirling $\Gamma(a+1) \approx \sqrt{2\pi a}(a/e)^a$ khi $a \to \infty$.

Implications đa chiều

  • Về mặt lý thuyết: Thống nhất hóa các phân nhánh hàm lồi ($p$-lồi, $r$-lồi, log-lồi, lồi điều hòa, GA-lồi, HG-lồi) thành một lý thuyết $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi duy nhất; tạo cầu nối giải tích giữa lý thuyết xấp xỉ Bernstein và giải tích lồi.
  • Về mặt phương pháp luận: Cung cấp phương pháp chính tắc để thiết lập các bất đẳng thức giải tích cho mọi loại toán tử tích phân phân số thông qua việc chọn hạch đối xứng $K(u, v)$ và hàm quy đổi $\phi(x) = \frac{\varphi(a)+\varphi(b)-2\varphi(x)}{\varphi(b)-\varphi(a)}$.
  • Về mặt ứng dụng: Cung cấp công cụ ước lượng sai số trong phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình vi phân phân số (fractional differential equations), tối ưu hóa hàm entropy trong lý thuyết thông tin, và xây dựng các thuật toán tối ưu hóa lồi suy rộng.

Limitations và Future Research

Luận án thẳng thắn thừa nhận các giới hạn lý thuyết (boundary conditions):

  1. Giả thiết tính trơn và đơn điệu: Các kết quả cho lớp hàm $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi đòi hỏi các hàm sinh trung bình $\varphi, \psi$ phải là song ánh liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt trên khoảng mở $I, J \subset \mathbb{R}$.
  2. Phạm vi vô hướng: Các kết quả chủ yếu tập trung vào hàm giá trị thực vô hướng, chưa mở rộng trực tiếp sang hàm lồi ma trận hoặc hàm lồi toán tử (operator convexity) trên $C^*$-đại số.
  3. Độ đo kỳ dị: Các bất đẳng thức tích phân trên không gian đo $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ yêu cầu độ đo $\mu$ là độ đo dương hữu hạn, chưa bao quát các độ đo phức có biến phân không bị chặn.

Chương trình nghiên cứu tiếp theo (Future Research Agenda):

  • Mở rộng lý thuyết $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi cho các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert vô hạn chiều.
  • Khảo sát các bất đẳng thức kiểu Jensen-Hermite-Hadamard trên các cấu trúc fractal và thang thời gian (time scales).
  • Mở rộng bất đẳng thức tích phân phân số cho toán tử tích phân phân số ngẫu nhiên (stochastic fractional calculus).
  • Xây dựng thuật toán tối ưu hóa số ứng dụng các chặn nội suy $F(t)$ và $G(t)$ trong bài toán học máy lồi suy rộng.

Tác động và ảnh hưởng

  • Tác động học thuật: Đóng góp trực tiếp vào chuyên ngành Toán Giải tích, dự kiến thu hút trích dẫn cao trong các tạp chí ISI/Scopus hàng đầu về lý thuyết bất đẳng thức và giải tích phân số (Journal of Mathematical Analysis and Applications, Banach Journal of Mathematical Analysis, Mathematical Inequalities & Applications).
  • Tính toán khoa học & Kỹ thuật: Các ước lượng tích phân kiểu Fejér cung cấp công thức cầu phương giải tích (analytical quadrature formulas) với cận sai số chặt chẽ hơn cho các thuật toán tính toán tích phân kỳ dị trong vật lý hạt nhân và cơ học môi trường liên tục.
  • Lý thuyết thông tin & Thống kê: Các bất đẳng thức Jensen khuếch đại cung cấp công cụ mới để đánh giá độ phân kỳ Kullback-Leibler, độ đo thông tin Rényi, và entropy Tsallis trong xử lý tín hiệu số.

Đối tượng hưởng lợi

  • Nghiên cứu sinh & Nhà nghiên cứu sau tiến sĩ (Toán Giải tích): Thụ hưởng khung lý thuyết toàn diện về $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi và kho phương pháp luận chứng minh giải tích mẫu mực.
  • Giáo sư & Chuyên gia Giải tích hàm: Tiếp cận các công cụ mở rộng định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya và các kỹ thuật liên kết giải tích phân số.
  • Kỹ sư R&D & Khoa học Dữ liệu: Ứng dụng các chặn lồi Hölder và trung bình lũy thừa $M_n(r, x, w)$ trong việc thiết kế các hàm mất mát (loss functions) tối ưu và thuật toán xấp xỉ dữ liệu lớn.
  • Nhà toán học ứng dụng trong Vật lý lý thuyết: Sử dụng các ước lượng chính xác của hàm Gamma và tiệm cận Stirling trong các mô hình cơ học lượng tử và trường lượng tử.

Câu hỏi chuyên sâu

  1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là gì? Đó là việc thiết lập khung lý thuyết thống nhất cho lớp hàm $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi thông qua nguyên lý Aczél, giải quyết triệt để sự phân tán của các lớp hàm lồi riêng lẻ (như hàm $r$-lồi của Gill et al., 1997; hàm $MN$-lồi của Anderson et al., 2007) và chứng minh hệ 7 mệnh đề tương đương đặc trưng cho tính lồi.

  2. Tính đổi mới về phương pháp luận so với các nghiên cứu quốc tế trước đây? So với Sarikaya et al. (2012) chỉ xét tích phân Riemann-Liouville trên hàm lồi thông thường, luận án đưa ra phương pháp biến đổi hạch tổng quát $K(u, v) = k(|u-v|)$ kết hợp với cấu trúc trọng đối xứng $w_j(t)$, cho phép giải quyết đồng thời mọi toán tử phân số (Riemann-Liouville, Hadamard, Katugampola, lũy thừa-logarit).

  3. Phát hiện gây bất ngờ nhất về mặt toán học và minh chứng? Việc phát hiện ra rằng tính hợp lệ của bất đẳng thức Jensen khuếch đại phụ thuộc chính xác vào dấu tổng riêng phần của các hệ số đa thức Bernstein $\sum_{k=0}^j c_{nk}^\Phi \ge 0$. Điều này biến một bài toán giải tích tích phân phức tạp thành bài toán đại số tổ hợp hữu hạn.

  4. Luận án có cung cấp quy trình tái lập (Replication Protocol) không? Có. Toàn bộ các định lý, bổ đề (Bổ đề 1.3, Bổ đề 1.4, Định lý 1.1, Định lý 2.2) đều đi kèm các bước chứng minh toán học giải tích chi tiết từng bước, các phép đổi biến tường minh, và các đẳng thức kiểm chứng biên rõ ràng.

  5. Chương trình nghiên cứu 10 năm tiếp theo được định hình như thế nào? Tập trung vào ba mũi nhọn: Toán tử lồi $(M_\varphi, M_\psi)$ trên không gian toán tử; Bất đẳng thức giải tích ngẫu nhiên phân số; và Thuật toán tối ưu hóa phi lồi thông qua bao lồi suy rộng kiểu Hölder.

Kết luận

  1. Xây dựng hoàn chỉnh lý thuyết hàm $(M_\varphi, M_\psi)$-lồi trên các khoảng thực bất kỳ, bao phủ toàn bộ các kiểu hàm lồi kinh điển.
  2. Thiết lập chuỗi bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér nhiều tầng, làm mịn và tổng quát hóa các bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Fejér hiện có.
  3. Phát triển phương pháp hạch đối xứng tổng quát áp dụng nhất quán cho các toán tử tích phân bậc không nguyên Riemann-Liouville, Hadamard và lũy thừa-logarit.
  4. Tìm ra điều kiện đủ tường minh dựa trên đa thức Bernstein để thiết lập bất đẳng thức kiểu Jensen dạng đảo và khuếch đại, mở rộng bất đẳng thức Andersson và Mercer.
  5. Làm mạnh định lý trội nổi tiếng của Hardy-Littlewood-Pólya và thiết lập các bất đẳng thức làm mịn tiệm cận Stirling cho hàm Gamma.
  6. Xây dựng lý thuyết hàm lồi suy rộng kiểu Hölder và trung bình lũy thừa $M_n(r, x, w)$ trên toàn không gian $\mathbb{R}^n$, mở ra các hướng nghiên cứu mới về giải tích bất đẳng thức hiện đại trên trường quốc tế.