Luận án tiến sĩ toán học: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các bất biến lũy thừa iđêan phủ

• Tác giả: Nguyễn Thu Hằng
• Người hướng dẫn: TS. Trần Nam Trung
• Trường học: Viện Toán học
• Chuyên ngành: Đại số giao hoán
• Đề tài: Dáng điệu tiệm cận của bất biến lũy thừa iđêan phủ trong toán học
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• BẢNG CÁC KÝ HIỆU
• DANH SÁCH HÌNH VẼ
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Độ sâu và chỉ số chính quy
• 1.2. Siêu đồ thị cân bằng và siêu đồ thị unimodular
• 1.3. Một số cách mô tả iđêan đơn thức không chứa bình phương
• 1.4. Iđêan Stanley-Reisner
• 1.5. Iđêan phủ của siêu đồ thị
• 1.6. Công thức Takayama
• 1.7. Tập lồi đa diện và bài toán quy hoạch tuyến tính
• 1.8. Phức bậc và đa diện lồi
• 2. CHƯƠNG 2: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HÀM ĐỘ SÂU
• 2.1. Tính giảm của hàm độ sâu và chặn trên chỉ số ổn định
• 2.2. Dáng điệu của hàm độ sâu của iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị cân bằng
• 2.3. Dáng điệu hàm độ sâu của iđêan phủ liên kết với đồ thị hai phần
• 3. CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CHỈ SỐ CHÍNH QUY
• 3.1. Chỉ số chính quy của lũy thừa các iđêan đơn thức không chứa bình phương
• 3.2. Dáng điệu tiệm cận của các bất biến ai (R/J(H)s ) và chỉ số chính quy reg J(H)s
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• BẢNG THUẬT NGỮ

I. Luận án tiến sĩ

Luận án tiến sĩ này tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của bất biến lũy thừa iđêan phủ trong toán học. Cụ thể, luận án khảo sát tính ổn định của hai bất biến quan trọng là độ sâu và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của lũy thừa iđêan phủ liên kết với hai lớp siêu đồ thị unimodular và cân bằng. Kết quả chính của luận án bao gồm việc chứng minh tính giảm của hàm độ sâu và tính tiệm cận tuyến tính của chỉ số chính quy. Luận án cũng đưa ra các chặn trên hợp lý cho tính ổn định của hai bất biến này.

1.1. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án tiến sĩ là nghiên cứu tính ổn định của hàm độ sâu và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của lũy thừa iđêan phủ. Luận án tập trung vào hai lớp siêu đồ thị unimodular và cân bằng, với mục đích tìm hiểu dáng điệu tiệm cận của các bất biến này khi lũy thừa đủ lớn.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng công thức Takayama như một công cụ chính để chuyển đổi bài toán đại số sang bài toán tổ hợp. Cụ thể, việc nghiên cứu các phức bậc và đỉnh nguyên của đa diện lồi được áp dụng để đạt được các kết quả chính. Ngoài ra, các tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính cũng được sử dụng trong quá trình chứng minh.

II. Dáng điệu tiệm cận

Dáng điệu tiệm cận của bất biến lũy thừa iđêan phủ là trọng tâm của luận án. Luận án chứng minh rằng hàm độ sâu của iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị cân bằng là hàm giảm. Đồng thời, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của lũy thừa iđêan phủ có tính tiệm cận tuyến tính. Các kết quả này được áp dụng cho cả lớp siêu đồ thị unimodular và cân bằng, với các chặn trên được đưa ra cho chỉ số ổn định độ sâu và chỉ số chính quy.

2.1. Tính giảm của hàm độ sâu

Luận án chứng minh rằng hàm độ sâu của iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị cân bằng là hàm giảm. Kết quả này cũng áp dụng cho siêu đồ thị unimodular, vì mọi siêu đồ thị unimodular đều là cân bằng. Điều này mở rộng các nghiên cứu trước đây về tính giảm của hàm độ sâu trong các lớp iđêan đơn thức không chứa bình phương.

2.2. Tính tiệm cận tuyến tính của chỉ số chính quy

Luận án chứng minh tính tiệm cận tuyến tính của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của lũy thừa iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị unimodular. Kết quả này được suy ra từ tính tiệm cận của các bất biến ai(R/J(H)s), với các chặn trên được đưa ra cho hệ số e và vị trí s0.

III. Ứng dụng và giá trị thực tiễn

Luận án tiến sĩ này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nghiên cứu toán học. Các kết quả về tính ổn định của bất biến lũy thừa iđêan phủ có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như đại số giao hoán, tổ hợp, và hình học đại số. Ngoài ra, các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án có thể mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán tương tự.

3.1. Giá trị lý thuyết

Luận án đóng góp vào lý thuyết bất biến trong đại số giao hoán bằng việc chứng minh tính ổn định của hàm độ sâu và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Các kết quả này mở rộng hiểu biết về dáng điệu tiệm cận của các bất biến liên quan đến lũy thừa iđêan phủ.

3.2. Ứng dụng thực tiễn

Các kết quả của luận án có thể được áp dụng trong nghiên cứu toán học, đặc biệt là trong các lĩnh vực liên quan đến siêu đồ thị và iđêan đơn thức không chứa bình phương. Ngoài ra, các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán tương tự trong tổ hợp và hình học đại số.