Luận án tiến sĩ nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thể

Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến sử dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thể, phân tích hiệu quả và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Nguyễn Cao Thắng
• Người hướng dẫn: TS. Lưu Xuân Hùng
• Trường học: Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
• Đề tài: Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thể
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN
• 1.1. Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất
• 1.2. Quá trình ngẫu nhiên
• 1.3. Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
• 1.4. Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên
• 1.5. Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên
• 1.6. Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên
• 1.7. Kết luận chương 1
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ
• 2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển
• 2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến
• 2.3. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa dựa trên sai số thế năng
• 2.4. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh
• 2.5. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đối ngẫu
• 2.6. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC)
• 2.7. Kết luận chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO
• 3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến
• 3.2. Hệ dao động Duffing chịu kích động ồn trắng
• 3.3. Hệ dao động có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng
• 3.4. Hệ dao động có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng
• 3.5. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC)
• 3.5.1. Dao động có cản phi tuyến bậc ba
• 3.5.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ngẫu nhiên
• 3.5.3. Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên
• 3.6. Hệ dao động Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên
• 3.7. Dao động của tàu thủy
• 3.8. Kết luận chương 3
• 4. CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO
• 4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do
• 4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
• 4.3. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
• 4.4. Hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
• 4.5. Hệ dao động Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu
• 4.6. Kết luận chương 4
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Dao động ngẫu nhiên phi tuyến

Dao động ngẫu nhiên phi tuyến là một hiện tượng phức tạp trong cơ học, đặc biệt khi hệ thống chịu tác động của các kích động ngẫu nhiên. Các hệ thống này thường được mô tả bằng các phương trình vi phân phi tuyến, gây khó khăn trong việc phân tích và dự đoán hành vi. Phương pháp nghiên cứu dao động trong trường hợp này đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết xác suất và các kỹ thuật tính toán hiện đại. Các hệ thống phi tuyến thường xuất hiện trong các ứng dụng thực tế như kỹ thuật cơ khí, xây dựng, và hàng không, nơi mà các dao động ngẫu nhiên có thể dẫn đến hư hỏng hoặc giảm hiệu suất.

1.1 Mô hình dao động phi tuyến

Mô hình dao động phi tuyến thường được biểu diễn bằng các phương trình vi phân phi tuyến, trong đó các hệ số có thể thay đổi theo thời gian hoặc biên độ dao động. Các mô hình này thường bao gồm các thành phần như lực cản phi tuyến, đàn hồi phi tuyến, và các kích động ngẫu nhiên. Ví dụ, hệ Duffing là một mô hình phổ biến được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng dao động phi tuyến. Các phương pháp phân tích như phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên thường được áp dụng để giải quyết các bài toán này.

1.2 Phân tích sai số trong dao động

Phân tích sai số trong dao động là một bước quan trọng để đánh giá độ chính xác của các phương pháp xấp xỉ. Trong các hệ thống phi tuyến, sai số thường phát sinh do sự thay thế các phương trình phi tuyến bằng các phương trình tuyến tính tương đương. Kỹ thuật tính toán sai số như tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) và tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương tổng thể (GLOMSEC) được sử dụng để cải thiện độ chính xác của các phương pháp này. Các tiêu chuẩn này giúp xác định các hệ số tuyến tính hóa tương đương một cách chính xác hơn.

II. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình

Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình là một công cụ quan trọng trong việc đánh giá và cải thiện độ chính xác của các phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các tiêu chuẩn này thường được sử dụng để tối ưu hóa các hệ số tuyến tính hóa tương đương, giúp giảm thiểu sai số giữa phương trình phi tuyến gốc và phương trình tuyến tính tương đương. Phương pháp đánh giá sai số này đặc biệt hữu ích trong các hệ thống có mức độ phi tuyến cao, nơi mà các phương pháp truyền thống thường không đủ chính xác.

2.1 Sai số bình phương trung bình địa phương

Sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) là một tiêu chuẩn được phát triển để cải thiện độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Thay vì tích phân trên toàn miền vô hạn, LOMSEC tập trung vào một miền hữu hạn nơi mà đáp ứng của hệ thống tập trung nhiều nhất. Điều này giúp giảm thiểu sai số và cải thiện độ chính xác của các hệ số tuyến tính hóa. Tuy nhiên, một nhược điểm của LOMSEC là việc xác định miền tích phân phù hợp (giá trị r) thường là một thách thức.

2.2 Sai số bình phương trung bình địa phương tổng thể

Sai số bình phương trung bình địa phương tổng thể (GLOMSEC) là một tiêu chuẩn được phát triển dựa trên quan điểm đối ngẫu, kết hợp cả phạm vi địa phương và tổng thể. GLOMSEC giúp khắc phục nhược điểm của LOMSEC bằng cách xác định các hệ số tuyến tính hóa là giá trị trung bình trên tổng thể của tất cả các hệ số tuyến tính hóa địa phương. Phương pháp này đặc biệt hữu ích trong việc phân tích các hệ thống nhiều bậc tự do, nơi mà các phương pháp truyền thống thường không đủ hiệu quả.

III. Ứng dụng của tiêu chuẩn GLOMSEC

Ứng dụng của tiêu chuẩn GLOMSEC trong phân tích các hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến đã chứng minh được hiệu quả trong việc cải thiện độ chính xác của các phương pháp xấp xỉ. Các hệ thống một bậc tự do và nhiều bậc tự do đều có thể được phân tích một cách hiệu quả bằng cách sử dụng tiêu chuẩn này. Phương pháp tối ưu hóa dao động dựa trên GLOMSEC giúp giảm thiểu sai số và cải thiện độ chính xác của các kết quả phân tích. Các ứng dụng thực tế bao gồm phân tích dao động của tàu thủy, công trình cao tầng, và các hệ thống cơ khí phức tạp.

3.1 Ứng dụng trong hệ một bậc tự do

Ứng dụng của GLOMSEC trong hệ một bậc tự do đã được nghiên cứu và chứng minh hiệu quả trong việc phân tích các hệ thống như hệ Duffing và hệ Van der Pol. Các kết quả phân tích cho thấy rằng GLOMSEC giúp giảm thiểu sai số và cải thiện độ chính xác so với các phương pháp truyền thống. Các hệ số tuyến tính hóa được xác định một cách chính xác hơn, giúp dự đoán hành vi của hệ thống một cách hiệu quả hơn.

3.2 Ứng dụng trong hệ nhiều bậc tự do

Ứng dụng của GLOMSEC trong hệ nhiều bậc tự do đã mở ra một hướng nghiên cứu mới trong việc phân tích các hệ thống phức tạp. Các hệ thống nhiều bậc tự do thường xuất hiện trong các ứng dụng thực tế như kỹ thuật hàng không và xây dựng. GLOMSEC giúp cải thiện độ chính xác của các phương pháp xấp xỉ, giúp dự đoán hành vi của hệ thống một cách hiệu quả hơn. Các kết quả phân tích cho thấy rằng GLOMSEC là một công cụ mạnh mẽ trong việc phân tích các hệ thống nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên.

Trích đoạn nội dung tài liệu

phần Mở đầu và 4 chương, phần Kết luận; Danh mục các công bố của luận án; Tài liệu tham khảo; Phụ lục. Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến.

Các phát triển của phương 5 pháp bao gồm các tiêu chuẩn tương đương sẽ được giới thiệu. Đặc biệt, trong luận án sẽ tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc tự do. Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ một bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do.

Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC của phương pháp GEL cho hệ nhiều bậc tự do. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác, nghiệm mô phỏng và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. Kết luận chung: Trình bày các kết quả chính và mới đã thu được trong luận án và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp. Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 6 bài báo, trong đó có 1 bài trên Tạp chí quốc tế, 1 bài trên Tạp chí ISI, 1 bài trên Tạp chí Vietnam Journal of Mechanics, và trong các hội nghị khoa học quốc tế và quốc gia.

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được trình bày và phân tích chi tiết. Một số kết quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng được trình bày.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật chung của những hiện tượng ngẫu nhiên. Một biến cố có thể xảy ra, hoặc có thể không xảy ra gọi là biến cố ngẫu nhiên.

Một biến cố chắc chắn sẽ xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là biến cố tiền định. Nếu mọi điều kiện thử nghiệm được giữ nguyên mà các kết quả thu được lại khác nhau, thì biến cố như vậy được gọi là biến cố ngẫu nhiên. Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]: Thực hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện biến cố M, ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số phép thử n tăng vô hạn lim f (M)  P(M) (1.1) n  Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r của phép thử, ta liên kết nó với một số thực X(r) sao cho a) tập hợp X  x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x, b) xác suất của biến cố X =   bằng không PX =  = 0 (1.2) Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, F(x) = P[X  x] (1.3) 7 Hàm phân phối xác suất F(x) có các tính chất sau [29,69]: 0  F  x  1 x1  x2 thì F  x1   F  x2  (1.4) F ()  lim F ( x)  0 x  F ()  lim F ( x)  1 x P[ x1  X  x2 ]  F ( x2 )  F ( x1 ) Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất F(x) của nó liên tục. Đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất gọi là hàm mật độ xác suất, ký hiệu p(x) xác định theo công thức [29,69]: P[ x  X  x   x ] p ( x )  lim  F '( x ) (1.7) còn hàm mật độ xác suất kết hợp là P[ x  X  x  x, y  Y  y  y ]  2 F ( x, y ) p( x, y )  lim  (1.8) x 0 y 0  x y xy Hai hàm này có mối quan hệ sau: x y F ( x, y)    p( x, y)dxdy (1.9)   8 và chúng có các tính chất sau: 0  F ( x, y )  1 x2  x1 , y F ( x2 , y )  F ( x1 , y ), y2  y1 , x F ( x, y2 )  F ( x, y1 ).10) Hàm mật độ xác suất của từng thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X và Y tương ứng được ký hiệu là p1(x) và p2(y) và thu được bằng phép tích phân:   p1 ( x)   p( x, y )dy, p2 ( y )   p( x, y )dx (1.11)   Nếu hai thành phần X và Y độc lập nhau, thì p(x,y) = p1(x)p2(y) và F(x,y) = F1(x)F2(y) (1.12) Tương tự ta có thể mở rộng các khái niệm này cho đại lượng ngẫu nhiên n chiều.2 Quá trình ngẫu nhiên Khi đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian ta có khái niệm về quá trình ngẫu nhiên.

Quá trình ngẫu nhiên là một hàm số mà giá trị của hàm tại mỗi giá trị cho trước của đối số (thời gian t) là một đại lượng ngẫu nhiên. Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên ta dùng các thể hiện. Mọi thể hiện đơn lẻ x(j)(t) thuộc tổng thể này được gọi là một hàm mẫu (xem Hình 1. Các đặc trưng xác suất của quá trình ngẫu nhiên là năm hàm không ngẫu nhiên sau đây: hàm mật độ xác suất, kỳ vọng toán, phương sai, hàm tương quan, và mật độ phổ.

Các hàm mẫu theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên Hàm mật độ xác suất Tại mỗi giá trị t=t1 cố định thì quá trình ngẫu nhiên là một đại lượng ngẫu nhiên x(t1). Ký hiệu mật độ xác suất hay phân phối xác suất bậc một là p[x(t1)] hoặc đơn giản là p(x), thì xác suất để mẫu nằm giữa a và b theo (1.13) sẽ là b  p( x)dx a (1.13) Tương tự, đối với hai giá trị t1 và t2, thì cặp giá trị x(t1) và x(t2) có thể được coi như biến ngẫu nhiên hai chiều. Nếu gọi p(x1,x2) là hàm mật độ xác suất kết hợp ta có   p ( x1 )   p ( x1 , x2 ) dx2 , p ( x2 )   p ( x1 , x2 ) dx1 (1.14)   Nhiều thông tin quan trọng của quá trình ngẫu nhiên có thể được biết thông qua các đại lượng mô men bậc 1 và bậc 2. Mô men bậc 1 hay kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng một chiều p(x) được định nghĩa như sau [3,29,30] Mô men bậc nhất (hay Kỳ vọng toán)  mx  E[ x]   x    xp( x)dx (1.15)  Mô men bậc 2 (hay đại lượng trung bình bình phương) của quá trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30] 10 Mô men bậc 2  E[ x 2 ]   x 2    x 2 p ( x) dx (1.16)  Mô men bậc 2 quy tâm hay còn được gọi là phương sai của quá trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) được định nghĩa như sau [3,29,30] Mô men bậc 2 quy tâm (hay Phương sai)  D( x)    E[( x  x ) ]   ( x  x )2 p( x)dx   x2    x 2 2 x 2 (1.17)  Đại lượng  x  D( x) phản ánh mức độ phân tán của quá trình ngẫu nhiên X(t) so với giá trị trung bình của nó, gọi là độ lệch chuẩn.

Một cách tổng quát mô men bậc n của quá trình ngẫu nhiên véc tơ m chiều (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng m chiều p(x1, x2, …. xm) được định nghĩa như sau [3,29,30]   m1 m2 1 2 mm E[ x x .xm )dx1dx2 .18) Hàm tự tương quan và hiệp phương sai Gọi t1 và t2 là hai giá trị của t với t2 = t1 +  và ký hiệu x1 và x2 là các tổng thể của các mẫu x(t1) và x(t2) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai là p(x1, x2). Khi đó kỳ vọng toán của tích x1x2 sẽ là [29,69]:   R( x1 , x2 )   x1 x2     x1 x2 p( x1 , x2 )dx1dx2 (1.19)   gọi là hàm tự tương quan (hay hàm tương quan). Ta có R(x1,x2) = R(t1,) với  = t2 - t1 là độ trễ.

11 Xét hàm số bằng trung bình tích độ lệch giữa x(t) và trung bình của nó tại hai thời điểm K x (t1 , t2 )  K x1x2  K12  E[( x1   x1 )( x2   x2 )]       ( x1   x1 )( x2   x2 ) p ( x1 , x2 )dx1dx2 (1.20)     x1 x2    x1  x2  gọi là hiệp phương sai hay hàm tương quan của quá trình x(t). Khi x1 và x2 có trung bình zero thì hiệp phương sai trùng với hàm tự tương quan. Khi t1 = t2 thì hiệp phương sai trùng với phương sai và hàm tự tương quan trùng với trung bình bình phương. Khi hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 độc lập nhau: p(x1,x2) =p1(x1)p2(x2) ta có Kx1x2   x1x2    x1  x2    x1  x2    x1  x2   0 (1.21) Khi đó hai đại lượng ngẫu nhiên x1 và x2 không tương quan.

Như vậy, mô men tương quan (hiệp phương sai) đặc trưng cho mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên hay giữa các giá trị x1 và x2 của một quá trình ngẫu nhiên tại hai thời điểm khác nhau.