I. Giới thiệu về Luận án tiến sĩ
Luận án tiến sĩ này tập trung vào Giải tích toán học và Bài toán xác định nguồn cho Phương trình parabolic. Luận án được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Văn Đức và TS. Nguyễn Trung Thành. Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu các phương pháp Phân tích toán học và Xác định nguồn trong các mô hình Phương trình vi phân parabolic. Luận án đóng góp vào lĩnh vực Toán học ứng dụng và Khoa học máy tính bằng cách đề xuất các phương pháp Chỉnh hóa và Thuật toán số để giải quyết các bài toán đặt không chỉnh.
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán xác định nguồn cho Phương trình parabolic đã được nghiên cứu từ những năm 1960. Các bài toán này thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Điều này làm cho việc giải số trở nên khó khăn. Luận án tập trung vào việc đề xuất các phương pháp Chỉnh hóa và Thuật toán số để giải quyết các bài toán này, đặc biệt là trong trường hợp Phương trình parabolic có hệ số phụ thuộc thời gian.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu
Luận án nhằm mục đích nghiên cứu các Bài toán xác định nguồn cho Phương trình parabolic trong ba trường hợp: phương trình với hệ số phụ thuộc thời gian, phương trình bậc phân theo biến thời gian và không gian, và phương trình trong không gian Banach. Các phương pháp Chỉnh hóa và Thuật toán số được đề xuất để giải quyết các bài toán này.
II. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp Phân tích toán học và Giải tích để nghiên cứu các Bài toán xác định nguồn. Các phương pháp Chỉnh hóa được áp dụng để giải quyết các bài toán đặt không chỉnh. Ngoài ra, các Thuật toán số được thiết kế và thử nghiệm trên các ví dụ cụ thể để minh họa tính hiệu quả của các phương pháp đề xuất.
2.1. Phương pháp chỉnh hóa
Các phương pháp Chỉnh hóa được sử dụng để giải quyết các Bài toán xác định nguồn cho Phương trình parabolic. Phương pháp này giúp làm nhuyễn các bài toán đặt không chỉnh, đảm bảo nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Các kết quả Đánh giá ổn định và Sai số được trình bày chi tiết.
2.2. Thuật toán số
Các Thuật toán số được thiết kế để giải quyết các Bài toán xác định nguồn. Các ví dụ số được thực hiện để minh họa tính hiệu quả của các phương pháp đề xuất. Các kết quả số học được phân tích và so sánh với các phương pháp hiện có.
III. Kết quả và đóng góp
Luận án đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc Đánh giá ổn định và Chỉnh hóa các Bài toán xác định nguồn cho Phương trình parabolic. Các phương pháp đề xuất đã được thử nghiệm và cho thấy tính hiệu quả cao trong việc giải quyết các bài toán đặt không chỉnh. Luận án cũng đóng góp vào việc phát triển các Mô hình toán học mới trong lĩnh vực Toán học ứng dụng.
3.1. Đánh giá ổn định
Các kết quả Đánh giá ổn định được trình bày chi tiết trong luận án. Các phương pháp Chỉnh hóa đã giúp đảm bảo tính ổn định của nghiệm đối với các bài toán đặt không chỉnh. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng vào các bài toán thực tế.
3.2. Ứng dụng thực tiễn
Luận án có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như Xác định nguồn nhiệt, Ô nhiễm môi trường, và Khoa học máy tính. Các phương pháp đề xuất có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán thực tế trong các lĩnh vực này.
