Luận án tiến sĩ toán học: Đặc trưng các lớp vành Artin và Noether

Luận án tiến sĩ toán học phân tích toán học đặc trưng một số lớp vành artin và noether, xây dựng cơ sở lý luận, kiểm chứng thực nghiệm, đóng góp tri thức mới cho ngành.

• Tác giả: Đinh Đức Tài
• Người hướng dẫn: GS. Đinh Văn Huỳnh
• Trường học: Đại học Vinh
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Đặc trưng các lớp vành Artin và Noether trong toán học
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2010
• Địa điểm: Vinh

Tóm tắt

I. Lý thuyết vành và các lớp vành cơ bản

Lý thuyết vành là một trong những nền tảng quan trọng của toán học đại số, tập trung vào việc nghiên cứu cấu trúc và tính chất của các vành. Trong luận án, các lớp vành như vành Artin và vành Noether được đặc biệt quan tâm. Vành Artin là vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm đối với các iđêan, trong khi vành Noether thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng. Các lớp vành này có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết môđun và cấu trúc đại số, đặc biệt là trong việc mô tả các tính chất nội xạ và xạ ảnh của môđun.

1.1. Vành Artin và ứng dụng

Vành Artin được định nghĩa thông qua điều kiện dây chuyền giảm đối với các iđêan. Định lý cấu trúc Wedderburn-Artin cho thấy rằng một vành Artin nửa đơn có thể được biểu diễn như tổng trực tiếp của các vành ma trận trên các thể. Điều này không chỉ giúp hiểu rõ cấu trúc của vành mà còn mở ra hướng nghiên cứu về các vành chia được và vành đơn. Các ứng dụng của vành Artin trong lý thuyết biểu diễn và lý thuyết Galois cũng được đề cập, cho thấy tầm quan trọng của chúng trong toán học hiện đại.

1.2. Vành Noether và tính chất

Vành Noether là lớp vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng đối với các iđêan. Tính chất này đảm bảo rằng mọi iđêan đều hữu hạn sinh, điều này có ý nghĩa lớn trong việc nghiên cứu các vành đa thức và vành Euclid. Luận án cũng đề cập đến các vành Dedekind và vành chính, là những trường hợp đặc biệt của vành Noether. Các kết quả nghiên cứu về vành Noether không chỉ giới hạn trong lý thuyết mà còn có ứng dụng trong lý thuyết trường và lý thuyết iđêan.

II. Đặc trưng các lớp vành Artin và Noether

Luận án tập trung vào việc đặc trưng các lớp vành Artin và Noether thông qua các tính chất của môđun. Các kết quả chính bao gồm việc mô tả cấu trúc của vành CS-nửa đơn, QF-vành, và V-vành. Các lớp vành này được nghiên cứu dựa trên các điều kiện hữu hạn và tính chất của môđun, đặc biệt là các môđun hữu hạn sinh và môđun xiclic suy biến.

2.1. Vành CS nửa đơn và QF vành

Vành CS-nửa đơn là một mở rộng của vành Artin nửa đơn, được đặc trưng thông qua tính chất CS của các môđun. Luận án đưa ra các kết quả mới về đặc trưng của lớp vành này, đặc biệt là thông qua các môđun hữu hạn sinh. QF-vành (vành tựa Frobenius) cũng được nghiên cứu sâu, với các kết quả liên quan đến giả thuyết Faith. Các kết quả này góp phần làm sáng tỏ cấu trúc của QF-vành và mối liên hệ của chúng với các vành nội xạ và vành xạ ảnh.

2.2. Vành V và SI

Vành V và vành SI là hai lớp vành mở rộng của vành Artin nửa đơn. Luận án đặc trưng tính Noether của V-vành thông qua các điều kiện hữu hạn trên môđun. Các kết quả này không chỉ giải quyết các câu hỏi mở trong lý thuyết vành mà còn cung cấp các điều kiện để một vành đơn trở thành Noether hoặc SI. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc của các vành địa phương và vành nguyên tố.

III. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn cao. Các kết quả nghiên cứu về vành Artin và vành Noether góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về lý thuyết vành giao hoán và lý thuyết vành không giao hoán. Các ứng dụng của các lớp vành này trong lý thuyết trường, lý thuyết Galois, và lý thuyết biểu diễn cũng được đề cập. Luận án là tài liệu tham khảo hữu ích cho các nhà nghiên cứu, học viên cao học và sinh viên trong lĩnh vực toán học đại số.

3.1. Ứng dụng trong lý thuyết trường và Galois

Các kết quả về vành Artin và vành Noether có ứng dụng quan trọng trong lý thuyết trường và lý thuyết Galois. Đặc biệt, các vành Dedekind và vành chính được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu các mở rộng trường và các nhóm Galois. Các kết quả này cũng góp phần làm sáng tỏ cấu trúc của các vành đa thức và vành Euclid, là những công cụ quan trọng trong đại số hiện đại.

3.2. Giá trị thực tiễn trong nghiên cứu và giảng dạy

Luận án là một tài liệu tham khảo quý giá cho các nhà nghiên cứu và giảng viên trong lĩnh vực toán học đại số. Các kết quả nghiên cứu về vành Artin, vành Noether, và các lớp vành liên quan không chỉ giúp hiểu sâu hơn về cấu trúc vành mà còn cung cấp các công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Luận án cũng là nguồn tài liệu tham khảo cho các khóa học cao học và nghiên cứu chuyên sâu về lý thuyết vành và lý thuyết môđun.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita phải hoặc trái.1 Các khái niệm cơ bản Trước hết, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại. Các khái niệm và tính chất này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi chủ yếu tham khảo trong các tài liệu [1], [11], [15], [16], [47], [50] và [51]. Một môđun con NR của MR được gọi là cốt yếu hay môđun con lớn (essential or large) trong MR , kí hiệu N /− M , nếu NR ∩ K 6= 0 với mọi môđun con K 6= 0 của M. Môđun con NR của MR được gọi là môđun con bé (small or superfluous) trong MR , kí hiệu N  M , nếu với mọi môđun K ⊆ M sao cho K + N = M thì K = M.

Môđun con K được gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Như chúng ta đã biết, có thể nghiên cứu các tính chất của vành R thông qua tính chất của các môđun trên chính nó. Một trong những công cụ hữu hiệu cho việc trao đổi các thông tin này đó là các linh hóa tử (annihilator ). Với mỗi X ⊆ M , M là một R-môđun.

Linh hóa tử phải của X trong 13 R là tập hợp: rR (X) = {r ∈ R |xr = 0; ∀x ∈ X }. Với mỗi A ⊆ R, linh hóa tử phải của A trong M là tập hợp: rM (A) = {m ∈ M |am = 0; ∀a ∈ A}. Đinh nghĩa hoàn toàn tương tự cho linh hóa tử trái. Chúng ta cũng luôn kí hiệu lM (x) = {m ∈ M |mx = 0} , rM (x) = {m ∈ M |xm = 0} để chỉ linh hóa tử trái và phải của phần tử x trong M.

Cho M là R-môđun phải. Một phần tử m ∈ M được gọi là phần tử suy biến phải của M nếu iđêan phải rR (m) /− RR. Tập hợp các phần tử suy biến của M được gọi là môđun con suy biến của M và kí hiệu là Z(MR ). Như vậy chúng ta có Z(MR ) = {m ∈ M |mI = 0, với I là iđêan phải cốt yếu của R } hay nói cách khác Z(MR ) = {m ∈ M |rR (m) /− RR }.

Chúng ta kí hiệu Zr (R) và Zl (R) lần lượt là các iđêan phải, trái suy biến của R. Môđun M được gọi là môđun suy biến nếu Z(M ) = M. Nếu Z(M ) = 0, ta gọi M là môđun không suy biến. Chúng ta lưu ý rằng, môđun M - suy biến nếu và chỉ nếu M ∼ = A/B, trong đó B là một môđun con cốt yếu của A (xem [23]).

Môđun M được gọi là có độ dài hợp thành hữu hạn (finite composi- tion length) hay độ dài hữu hạn, nếu tồn tại một số nguyên dương n và chuỗi các môđun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂. ⊂ Mn = M sao cho mọi môđun thương Mi /Mi−1 là môđun đơn, i = 1, 2,. Trong trường hợp này ta nói độ dài hợp thành của M là n. Trong luận án này, để đơn giản thay vì độ dài hợp thành ta gọi độ dài của M.

Nếu không tồn tại chuỗi môđun con nói trên thì ta nói độ dài của M là vô hạn. Nếu M = R thì ta có độ dài trái hay độ dài phải tùy theo cách quan sát R là môđun trái hay phải trên vành R. Phần tử x của vành R được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu tồn tại 14 một số tự nhiên n > 0 (chỉ số nilpotent) sao cho xn = 0. Tập con A của vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên n > 0 sao cho với mọi dãy x1 , x2 ,.

Tập con A của vành R được gọi là iđêan lũy linh nếu mọi phần tử của nó là phần tử lũy linh. Iđêan một phía A của vành R được gọi là T-lũy linh (T-nilpotent) trái (phải) nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho với mọi dãy a1 , a2 ,. Như vậy T-lũy linh là iđêan lũy linh nhưng điều ngược lại không hoàn toàn đúng. Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x.

Giả sử I là một iđêan của vành R và g + I là một phần tử lũy đẳng của R/I. Ta nói rằng phần tử lũy đẳng này có thể nâng tới e modulo I hay lũy đẳng nâng modulo I nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho g + I = e + I. Đặc biệt, nếu I là iđêan lũy linh, nghĩa là mọi phần tử của I là lũy linh (xn = 0, ∀n ∈ I ), thì mọi phần tử lũy đẳng của R/I đều là lũy đẳng nâng. Cặp các phần tử lũy đẳng e1 , e2 của vành R được gọi là trực giao (orthogonal) nếu e1.

Một phần tử lũy đẳng e ∈ R được gọi là lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) nếu e 6= 0 và với mọi cặp các lũy đẳng trực giao e1 , e2 thỏa mãn e = e1 + e2 thì e1 = 0 hoặc e2 = 0. Một iđêan phải (trái) của vành R được gọi là iđêan nguyên thủy nếu nó có dạng eR (t.ư, Re) với mọi lũy đẳng nguyên thủy e ∈ R (xem 7. Vành R được gọi là vành nguyên tố (prime ring) nếu R thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau: (a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I là iđêan trung thành, nghĩa là r(I) = 0 (t.ư l(I) = 0); (b) Với mỗi cặp các iđêan I1 , I2 6= 0 ta có I1 .I2 6= 0; (c) Với mọi x, y ∈ R thỏa mãn xRy = 0 ta có x = 0 hoặc y = 0. Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/P là vành 15 nguyên tố.

Hay nói cách khác, P nguyên tố nếu và chỉ nếu với mỗi x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P. Giao của tất cả các iđêan nguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố (prime radical /lower nil radical) của vành R, kí hiệu N (R). Vành R được gọi là nửa nguyên tố (semiprime) nếu N (R) = 0. Môđun NR được gọi là sinh bởi MR (MR - sinh) nếu tồn tại toàn (Λ) cấu f : MR → NR , với tập chỉ số Λ nào đó.

Nếu tập chỉ số Λ hữu hạn thì ta nói rằng NR là hữu hạn sinh bởi MR (hữu hạn MR - sinh). Môđun NR được gọi là hữu hạn R- sinh nếu tồn tại hữu hạn phần tử x1 , x2 , ., xk sao cho NR = x1 R +x2 R +. Môđun thương của MR cũng được gọi là môđun M - xiclic. Môđun M - xiclic không đẳng cấu với M được gọi là môđun M - xiclic thực sự (proper M-xiclic).

Môđun NR được gọi là Λ- sinh, Λ là tập chỉ số bất kỳ, nếu tồn tại một toàn cấu f : R(Λ) → NR. Kí hiệu σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của Mod-R, trong đó vật là tập tất cả các R-môđun con của các môđun MR - sinh. Người ta chứng minh được rằng σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của phạm trù Mod-R. Đế phải của MR , kí hiệu Soc(MR ), là tổng các môđun con đơn của MR , là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của M.

Nếu MR không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR ) = 0. Căn của MR , kí hiệu Rad(MR ), là giao của tất cả các môđun con tối đại của MR , là tổng của tất cả các môđun con bé của MR. Nếu MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta định nghĩa Rad(MR ) = M. Đặc biệt, chúng ta đã biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R).

Do đó không sợ nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là Radical của RR. Nếu MR là môđun hữu hạn sinh thì Rad(MR )  MR. Cho R-môđun MR , ta định nghĩa chuỗi đế phải (socle series or Loewy series) Socα (MR ) của MR là chuỗi các môđun con của MR : Soc1 (MR ) ⊆. thỏa mãn các điều kiện sau: 16 ∗ Soc1 (MR ) = Soc(MR ) là đế thứ nhất của MR ; ∗ Socα (MR ) là đế thứ α của MR như là một môđun  con của MR chứa  Socα−1 (MR ) sao cho Soc α (M R )/Socα−1 (MR ) = Soc M/Socα−1 (MR ) ; ∗ Nếu α là một chỉ số tới hạn thì ta đặt Socα (MR ) = ∪ Socβ (MR ).

β<α Khái niệm này lần đầu tiên được Loewy đưa ra năm 1905. Năm 1928, Krull đã đặt tên là Loewy series và được sử dụng cho đến ngày nay. Môđun MR được gọi là môđun địa phương nếu có môđun con lớn nhất, nghĩa là có môđun con thực sự chứa tất cả các môđun con thực sự khác. Môđun MR được gọi là một chuỗi (uniserial) nếu tập tất cả các môđun con của nó sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm.

Nghĩa là, với U và V là hai môđun con bất kỳ của MR , ta luôn có: hoặc U ⊆ V hoặc V ⊆ U. Môđun MR được gọi là môđun chuỗi (serial) nếu nó là tổng trực tiếp của các môđun một chuỗi. Vành R được gọi là vành chuỗi (serial ring) nếu RR và R R là tổng trực tiếp các môđun con một chuỗi. Một môđun MR 6= 0 được gọi là đều (uniform) nếu mọi môđun con khác không của MR cốt yếu trong MR.

Hay nói cách khác, MR là đều nếu với mọi môđun con khác không U và V của M , ta luôn có U ∩V 6= 0. Chúng ta nói rằng M có chiều Goldie hữu hạn nếu nó không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Nếu M có chiều Goldie hữu hạn thì ta có sự tồn tại của một số hữu hạn bé nhất n sao cho M không chứa một tổng trực tiếp có nhiều hơn n môđun con khác không. Khi đó, số n được gọi là chiều Goldie của M.

Môđun M có u-dim(M ) = n nếu và chỉ nếu tồn tại một tổng trực tiếp n môđun con đều cốt yếu trong trong M. Như vậy ta có, chiều Goldie của mọi mở rộng cốt yếu của M đều bằng chiều Goldie của môđun M .