I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu
Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev-Fourier và các ứng dụng của nó trong toán học ứng dụng. Mục tiêu chính là xây dựng và phân tích các phương pháp tích chập mới, kết hợp giữa các biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, và Fourier cosine. Luận án cũng nhằm thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của tích chập suy rộng, từ đó ứng dụng vào giải các phương trình vi-tích phân và các bài toán toán-lý.
1.1. Bối cảnh nghiên cứu
Các biến đổi tích phân như Fourier, Laplace, và Mellin đã đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học. Tuy nhiên, biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, được giới thiệu vào những năm 1938-1939, vẫn còn nhiều khía cạnh chưa được khám phá. Luận án này tiếp cận vấn đề bằng cách kết hợp các biến đổi tích phân này với phương pháp Fourier để tạo ra các tích chập suy rộng mới.
1.2. Mục tiêu cụ thể
Luận án nhằm xây dựng các tích chập suy rộng mới, nghiên cứu tính chất toán tử của chúng, và thiết lập các bất đẳng thức liên quan. Đồng thời, luận án cũng ứng dụng các kết quả này vào việc giải các phương trình vi-tích phân và các bài toán toán-lý, đặc biệt là trong lĩnh vực nhiễu xạ sóng âm và sóng điện từ.
II. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp biến đổi tích phân, phương pháp toán tử, và phương pháp giải tích hàm để nghiên cứu các tích chập suy rộng. Các tính chất của các biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, và Fourier cosine được khai thác để xây dựng các tích chập mới và thiết lập các bất đẳng thức liên quan.
2.1. Không gian hàm và biến đổi tích phân
Luận án bắt đầu với việc giới thiệu các không gian hàm như Lp(Ω) và Lp(Ω; ρ), cùng với các biến đổi tích phân cơ bản như Fourier, Fourier sine, và Fourier cosine. Các tính chất của biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev cũng được trình bày chi tiết, đặc biệt là vai trò của hàm Macdonald trong nhân của biến đổi này.
2.2. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp đánh giá bất đẳng thức tích phân để thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của tích chập. Các phương pháp toán tử được áp dụng để nghiên cứu tính chất của các tích chập suy rộng, bao gồm sự tồn tại, tính bị chặn, và các đẳng thức nhân tử hóa.
III. Kết quả chính và ứng dụng
Luận án đã xây dựng thành công các tích chập suy rộng mới và thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của chúng. Các kết quả này được ứng dụng vào việc giải các phương trình vi-tích phân và các bài toán toán-lý, đặc biệt là trong lĩnh vực nhiễu xạ sóng âm và sóng điện từ.
3.1. Tích chập suy rộng và bất đẳng thức
Luận án đã xây dựng các tích chập suy rộng mới, kết hợp giữa Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, và Fourier cosine. Các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của tích chập, bao gồm bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh, và bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược, đã được thiết lập và chứng minh.
3.2. Ứng dụng trong toán lý
Các kết quả của luận án đã được ứng dụng vào việc nghiên cứu trường nhiễu xạ sóng âm và thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ. Các phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel cũng được giải quyết thông qua các tích chập suy rộng và bất đẳng thức đã thiết lập.
IV. Kết luận và hướng phát triển
Luận án đã đạt được các mục tiêu nghiên cứu đề ra, bao gồm việc xây dựng các tích chập suy rộng mới, thiết lập các bất đẳng thức liên quan, và ứng dụng vào các bài toán toán-lý. Các kết quả này đã góp phần làm phong phú thêm lý thuyết biến đổi tích phân và mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong tương lai.
4.1. Ý nghĩa của kết quả
Các kết quả của luận án không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có giá trị ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong lĩnh vực nhiễu xạ sóng âm và sóng điện từ. Các phương trình vi-tích phân và phương trình đạo hàm riêng được giải quyết thông qua các tích chập suy rộng đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới.
4.2. Hướng phát triển
Trong tương lai, các tích chập suy rộng và bất đẳng thức được xây dựng trong luận án có thể được áp dụng vào các bài toán toán-lý phức tạp hơn. Ngoài ra, việc nghiên cứu các phương pháp tích chập khác cũng là một hướng phát triển tiềm năng.
