Luận án tiến sĩ: Nghiên cứu bất đẳng thức Lojasiewicz, tương đương topo và đa diện Newton

• Tác giả: Bùi Nguyễn Thảo Nguyên
• Người hướng dẫn: Phạm Tiến Sơn
• Trường học: Đại học Đà Lạt
• Chuyên ngành: Mathematical Analysis
• Đề tài: Lojasiewicz Inequalities, Topological Equivalences and Newton Polyhedra
• Loại tài liệu: thesis
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Đà Lạt

• Declaration of Authorship
• Abstract
• Acknowledgements
• Introduction
• 1. Chapter 1: Preliminaries
• 1.1. Semi-algebraic Geometry
• 1.1.1. Semi-algebraic sets and maps
• 1.1.2. The Tarski–Seidenberg theorem
• 1.1.3. Cell decomposition
• 1.1.4. Other results of Semi-algebraic Geometry
• 1.2. Sub-analytic Geometry
• 1.2.1. Semi-analytic sets and maps
• 1.3. Newton polyhedra and non-degeneracy conditions
• 1.3.1. Newton polyhedra and non-degeneracy conditions at the origin
• 1.3.2. Newton polyhedra and the Kouchnirenko non-degeneracy condition at infinity
• 1.4. Differential equations
• 2. Computation of the Lojasiewicz exponent of non-negative and non-degenerate analytic functions
• 3. The sub-analytically topological types of function germs
• 3.1. Sub-analytically topological types
• 3.2. Bi-Lipschitz K-equivalence invariances of the Lojasiewicz exponent and the multiplicity
• 3.3. Sub-analytically bi-Lipschitz C-equivalence and non-degeneracy conditions
• 4. Analytically principal part of polynomials at infinity
• Conclusions
• List of Author’s Related Papers
• Bibliography
• Table of Notations
• Index

I. Bất đẳng thức Lojasiewicz

Bất đẳng thức Lojasiewicz là một công cụ quan trọng trong lý thuyết kỳ dị và hình học đại số. Trong luận án, tác giả tập trung vào việc thiết lập công thức tính toán Lojasiewicz exponent cho các hàm giải tích không âm và không suy biến. Công thức này được xác định thông qua đa diện Newton của hàm số. Kết quả chính là việc chứng minh rằng Lojasiewicz exponent có thể được tính toán một cách chính xác trong trường hợp hàm số thỏa mãn các điều kiện không suy biến. Điều này có ý nghĩa lớn trong việc nghiên cứu các tính chất topo và hình học của các hàm giải tích.

1.1. Công thức tính Lojasiewicz exponent

Trong phần này, tác giả đưa ra công thức tính Lojasiewicz exponent cho các hàm giải tích không âm và không suy biến. Công thức này dựa trên đa diện Newton của hàm số, một khái niệm quan trọng trong hình học đại số. Kết quả này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hàm giải tích mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết kỳ dị.

1.2. Ứng dụng trong lý thuyết kỳ dị

Bất đẳng thức Lojasiewicz có nhiều ứng dụng trong lý thuyết kỳ dị, đặc biệt là trong việc nghiên cứu tính chất của các hàm số tại các điểm kỳ dị. Việc tính toán chính xác Lojasiewicz exponent giúp xác định được các tính chất topo và hình học của các hàm số này, từ đó đóng góp vào việc phân loại các hàm số theo các quan hệ tương đương.

II. Tương đương topo

Tương đương topo là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết kỳ dị, đặc biệt là trong việc phân loại các hàm số. Trong luận án, tác giả nghiên cứu sự tương đương topo của các hàm số thông qua các nhóm cổ điển của Mather. Kết quả chính là việc chứng minh rằng các hàm số có thể được phân loại dựa trên tính chất bi-Lipschitz và sub-analytic. Điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc topo của các hàm số và mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết kỳ dị.

2.1. Phân loại hàm số theo nhóm Mather

Tác giả nghiên cứu sự tương đương topo của các hàm số theo các nhóm cổ điển của Mather. Kết quả cho thấy rằng các hàm số có thể được phân loại dựa trên tính chất bi-Lipschitz và sub-analytic. Điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc topo của các hàm số và mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết kỳ dị.

2.2. Tính chất bi Lipschitz

Tính chất bi-Lipschitz là một yếu tố quan trọng trong việc phân loại các hàm số. Trong luận án, tác giả chứng minh rằng các hàm số có thể được phân loại dựa trên tính chất bi-Lipschitz, từ đó giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc topo của các hàm số.

III. Đa diện Newton

Đa diện Newton là một công cụ quan trọng trong hình học đại số và lý thuyết kỳ dị. Trong luận án, tác giả sử dụng đa diện Newton để nghiên cứu các tính chất của các hàm giải tích và đa thức. Kết quả chính là việc chứng minh rằng các tính chất topo, giải tích và hình học của các hàm số có thể được mô tả thông qua đa diện Newton. Điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hàm số và mở ra hướng nghiên cứu mới trong hình học đại số.

3.1. Đa diện Newton và tính chất giải tích

Tác giả sử dụng đa diện Newton để nghiên cứu các tính chất giải tích của các hàm số. Kết quả cho thấy rằng các tính chất giải tích của các hàm số có thể được mô tả thông qua đa diện Newton, từ đó giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hàm số.

3.2. Đa diện Newton và tính chất hình học

Đa diện Newton cũng được sử dụng để nghiên cứu các tính chất hình học của các hàm số. Trong luận án, tác giả chứng minh rằng các tính chất hình học của các hàm số có thể được mô tả thông qua đa diện Newton, từ đó giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hàm số.