I. Phương trình elliptic và hyperbolic phi tuyến suy biến
Luận án tập trung nghiên cứu các phương trình elliptic và phương trình hyperbolic phi tuyến suy biến, đặc biệt là các bài toán biên liên quan đến toán tử ∆γ. Các phương trình này có tính chất suy biến, nghĩa là chúng không thỏa mãn điều kiện elliptic hoặc hyperbolic trong một số miền nhất định. Luận án sử dụng các phương pháp giải tích phi tuyến và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm.
1.1. Phương trình elliptic suy biến
Luận án nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của các phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ. Các kết quả chính bao gồm việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu và tính chính quy của nghiệm trong các điều kiện nhất định. Phương pháp biến phân được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm, trong khi các định lý nhúng kiểu Sobolev và bất đẳng thức được áp dụng để nghiên cứu tính chính quy.
1.2. Phương trình hyperbolic suy biến
Luận án cũng nghiên cứu các phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử elliptic suy biến mạnh. Các kết quả chính bao gồm sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân, sự tồn tại của tập hút toàn cục, và đánh giá số chiều fractal của tập hút. Phương pháp nửa nhóm và lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
II. Toán tử γ và không gian hàm
Luận án giới thiệu toán tử ∆γ, một toán tử elliptic suy biến được định nghĩa trong các miền bị chặn. Toán tử này có tính chất thuần nhất và được sử dụng để nghiên cứu các phương trình elliptic và hyperbolic suy biến. Các không gian hàm như Lp(Ω) và Sobolev được sử dụng để nghiên cứu sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm.
2.1. Định nghĩa và tính chất của toán tử γ
Toán tử ∆γ được định nghĩa như một tổ hợp của các toán tử Laplace với các hàm trọng γj. Các hàm này thỏa mãn các điều kiện thuần nhất và liên tục, giúp toán tử ∆γ có các tính chất đặc biệt trong việc nghiên cứu các phương trình suy biến. Luận án cũng trình bày các tính chất quan trọng của toán tử này, bao gồm tính thuần nhất và các điều kiện biên.
2.2. Không gian hàm và định lý nhúng
Các không gian hàm như Lp(Ω) và Sobolev được sử dụng để nghiên cứu sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm. Luận án trình bày các định lý nhúng kiểu Sobolev và các bất đẳng thức quan trọng, giúp chứng minh tính chính quy của nghiệm trong các bài toán biên elliptic và hyperbolic suy biến.
III. Tập hút toàn cục và dáng điệu tiệm cận
Luận án nghiên cứu sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử elliptic suy biến mạnh. Các kết quả chính bao gồm việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân, sự tồn tại của tập hút toàn cục, và đánh giá số chiều fractal của tập hút. Phương pháp phương trình năng lượng và ước lượng phần đuôi của nghiệm được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
3.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân
Luận án chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân trong các phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử elliptic suy biến mạnh. Phương pháp nửa nhóm được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm, trong khi các ước lượng phần đuôi của nghiệm được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận.
3.2. Tập hút toàn cục và số chiều fractal
Luận án chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các phương trình hyperbolic tắt dần. Số chiều fractal của tập hút được đánh giá thông qua phương pháp `− quỹ đạo. Các kết quả này góp phần vào việc hiểu rõ hơn về dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong các phương trình suy biến.
IV. Ứng dụng và ý nghĩa khoa học
Luận án đạt được các kết quả mới và có ý nghĩa khoa học trong việc nghiên cứu các phương trình elliptic và hyperbolic phi tuyến suy biến. Các kết quả này góp phần vào việc hoàn thiện lý thuyết về sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm trong các bài toán biên suy biến. Luận án cũng mở ra các hướng nghiên cứu mới liên quan đến toán tử ∆γ và các phương trình suy biến.
4.1. Ý nghĩa khoa học của luận án
Luận án đóng góp vào việc hoàn thiện lý thuyết về các phương trình elliptic và hyperbolic suy biến. Các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, tính chính quy, và dáng điệu tiệm cận của nghiệm đã được công bố trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế, góp phần vào sự phát triển của toán học ứng dụng.
4.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm trong các bài toán biên elliptic suy biến, và sự tồn tại nghiệm tích phân trong các phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử Grushin. Các vấn đề mở này cần được nghiên cứu sâu hơn để hoàn thiện lý thuyết về các phương trình suy biến.
