Luận Văn Thạc Sĩ Nghiên Cứu Về Bất Đẳng Thức Dạng Tham Số Trong Mặt Phẳng

Luận văn thạc sĩ phân tích về một số bất đẳng thức dạng tham số trong mặt phẳng, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Đỗ Ngọc Thường
• Người hướng dẫn: PGS. Đinh Thanh Đức
• Trường học: Trường Đại Học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
• Đề tài: Về Một Số Bất Đẳng Thức Dạng Tham Số Trong Mặt Phẳng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Bình Định

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG
• 1.1. Các bất đẳng thức trong mặt phẳng
• 1.2. Các bất đẳng thức đối với một điểm trong tam giác
• 2. CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG THAM SỐ TRONG TAM GIÁC
• 2.1. Ý tưởng dẫn đến bài toán
• 2.2. Chứng minh bài toán đã nêu
• 3. CHƯƠNG 3: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG THAM SỐ ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM TRONG TAM GIÁC
• 3.1. Các bất đẳng thức dạng tham số
• 3.2. Chứng minh các bất đẳng thức
• 3.3. Một số bài toán mở bất đẳng thức dạng tham số trong tam giác
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng

Chương này tập trung vào việc trình bày các bất đẳng thức hình học nổi tiếng trong mặt phẳng, đặc biệt là trong tam giác. Các bất đẳng thức như bất đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Erdos-Mordell được phân tích chi tiết. Những bất đẳng thức này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng trong các bài toán thực tế, đặc biệt trong việc so sánh độ dài các đoạn thẳng và các đại lượng hình học khác. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cách áp dụng các bất đẳng thức này trong quá trình chứng minh.

1.1 Các bất đẳng thức trong mặt phẳng

Phần này giới thiệu các bất đẳng thức cơ bản và nổi tiếng trong mặt phẳng, bao gồm bất đẳng thức Ptolemy và bất đẳng thức Erdos-Mordell. Bất đẳng thức Ptolemy được sử dụng để so sánh độ dài các đoạn thẳng trong tứ giác, trong khi bất đẳng thức Erdos-Mordell liên quan đến khoảng cách từ một điểm trong tam giác đến các cạnh. Các ví dụ minh họa cách áp dụng các bất đẳng thức này trong các bài toán cụ thể được trình bày chi tiết.

1.2 Các bất đẳng thức đối với một điểm trong tam giác

Phần này tập trung vào các bất đẳng thức liên quan đến một điểm bất kỳ trong tam giác. Các bất đẳng thức này bao gồm mối quan hệ giữa khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh và các cạnh của tam giác. Bất đẳng thức Erdos-Mordell được phân tích sâu hơn, với các cách chứng minh khác nhau được trình bày. Các bài toán mở rộng và ứng dụng của các bất đẳng thức này trong hình học phẳng cũng được đề cập.

II. Sử dụng phần mềm Maple chứng minh bất đẳng thức dạng tham số trong tam giác

Chương này giới thiệu cách sử dụng phần mềm Maple để chứng minh các bất đẳng thức dạng tham số trong tam giác. Việc sử dụng công cụ tính toán hiện đại như Maple giúp đơn giản hóa quá trình tính toán phức tạp, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến tham số. Các bất đẳng thức được thiết lập và chứng minh với sự hỗ trợ của Maple, giúp tăng tính chính xác và hiệu quả trong nghiên cứu.

2.1 Ý tưởng dẫn đến bài toán

Phần này trình bày ý tưởng hình thành các bất đẳng thức dạng tham số trong tam giác. Các bài toán được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng hình học và tham số, với mục tiêu tổng quát hóa các bất đẳng thức đã biết. Việc sử dụng phần mềm Maple được đề xuất như một công cụ hỗ trợ tính toán hiệu quả, giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác.

2.2 Chứng minh bài toán đã nêu

Phần này trình bày chi tiết quá trình chứng minh các bất đẳng thức dạng tham số trong tam giác với sự hỗ trợ của phần mềm Maple. Các bước tính toán và phân tích được thực hiện một cách hệ thống, giúp đảm bảo tính chính xác của kết quả. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cách áp dụng Maple trong việc chứng minh các bất đẳng thức phức tạp.

III. Các bất đẳng thức dạng tham số đối với một điểm trong tam giác

Chương này tập trung vào việc giới thiệu và chứng minh các bất đẳng thức dạng tham số liên quan đến một điểm bất kỳ trong tam giác. Các bất đẳng thức này được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng hình học và tham số, giúp tổng quát hóa các bất đẳng thức đã biết. Các bài toán mở rộng và ứng dụng của các bất đẳng thức này trong hình học phẳng cũng được đề cập.

3.1 Các bất đẳng thức dạng tham số

Phần này giới thiệu các bất đẳng thức dạng tham số trong tam giác, bao gồm mối quan hệ giữa các đại lượng hình học và tham số. Các bất đẳng thức này được xây dựng dựa trên các kết quả nghiên cứu trước đó, với mục tiêu tổng quát hóa các bất đẳng thức đã biết. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cách áp dụng các bất đẳng thức này trong các bài toán hình học.

3.2 Chứng minh các bất đẳng thức

Phần này trình bày chi tiết quá trình chứng minh các bất đẳng thức dạng tham số trong tam giác. Các bước tính toán và phân tích được thực hiện một cách hệ thống, giúp đảm bảo tính chính xác của kết quả. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cách áp dụng các phương pháp chứng minh trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng, đặc biệt là các bất đẳng thức liên quan đến tam giác, là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng và phức tạp trong toán học. Theo ước tính, các bất đẳng thức này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn ứng dụng rộng rãi trong các bài toán hình học và các kỳ thi toán học quốc tế. Luận văn tập trung nghiên cứu một số bất đẳng thức dạng tham số trong mặt phẳng, đặc biệt là các bất đẳng thức liên quan đến một điểm tùy ý trong tam giác. Mục tiêu chính là hệ thống hóa các bất đẳng thức nổi tiếng như bất đẳng thức Ptolemy, Erdos-Mordell, đồng thời phát triển và chứng minh các bất đẳng thức mới dạng tham số với sự hỗ trợ của phần mềm Maple.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các tam giác trong mặt phẳng Euclid, với các đại lượng như độ dài cạnh, khoảng cách từ điểm đến đỉnh và cạnh tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Thời gian nghiên cứu được thực hiện trong năm 2020 tại Trường Đại học Quy Nhơn. Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc mở rộng kiến thức về bất đẳng thức hình học, cung cấp các công cụ chứng minh mới và ứng dụng phần mềm tính toán hiện đại để giải quyết các bài toán phức tạp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình nghiên cứu bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng, bao gồm:

• Bất đẳng thức Ptolemy: Liên quan đến bốn điểm trên mặt phẳng và các đoạn thẳng nối chúng, có ứng dụng trong so sánh độ dài các đoạn thẳng trong tam giác và đa giác.
• Bất đẳng thức Erdos-Mordell: Đề cập đến mối quan hệ giữa tổng khoảng cách từ một điểm trong tam giác đến các đỉnh và các cạnh, với điều kiện đẳng thức xảy ra khi tam giác đều và điểm là trực tâm.
• Bất đẳng thức dạng tham số: Mở rộng các bất đẳng thức truyền thống bằng cách thêm tham số thực λ, cho phép tổng quát hóa và phân tích sâu hơn các mối quan hệ hình học trong tam giác.
• Các khái niệm chính: Khoảng cách từ điểm đến đỉnh (R1, R2, R3), khoảng cách từ điểm đến cạnh (r1, r2, r3), bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) và nội tiếp (r), tọa độ trọng tâm chuẩn tắc hóa của điểm trong tam giác.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính là các công thức toán học, các bất đẳng thức đã được chứng minh trong toán học hình học sơ cấp và trung cấp, cùng với các kết quả nghiên cứu trước đây trong nước và quốc tế. Phương pháp phân tích chủ yếu là chứng minh toán học kết hợp với hỗ trợ tính toán bằng phần mềm Maple để xử lý các biểu thức phức tạp và đa thức bậc cao.

Cỡ mẫu nghiên cứu là các tam giác nói chung trong mặt phẳng Euclid, với điểm P tùy ý trong tam giác. Phương pháp chọn mẫu dựa trên tính tổng quát và tính đối xứng của tam giác, sử dụng các tọa độ trọng tâm chuẩn tắc hóa để biểu diễn điểm P. Timeline nghiên cứu kéo dài trong năm 2020, bao gồm việc tổng hợp lý thuyết, phát triển bất đẳng thức mới, chứng minh bằng toán học và kiểm chứng bằng phần mềm.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hệ thống hóa các bất đẳng thức hình học nổi tiếng: Luận văn đã trình bày chi tiết các bất đẳng thức Ptolemy, Erdos-Mordell và các bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách từ điểm đến đỉnh và cạnh tam giác, với các điều kiện đẳng thức rõ ràng. Ví dụ, bất đẳng thức Erdos-Mordell được chứng minh với điều kiện đẳng thức xảy ra khi tam giác đều và điểm là trực tâm.

2. Phát triển bất đẳng thức dạng tham số mới: Định lý chính cho thấy với tham số thực λ trong khoảng từ -2 đến 2, bất đẳng thức dạng tham số liên quan đến các khoảng cách R1, R2, R3 và r1, r2, r3 luôn đúng cho mọi điểm P trong mặt phẳng tam giác. Đặc biệt, khi λ = -2, đẳng thức xảy ra khi P là tâm đường tròn ngoại tiếp; khi λ = 2, P là điểm Lhuilier-Lemoine; và khi -2 < λ < 2, tam giác đều và P là trọng tâm.

3. Ứng dụng phần mềm Maple trong chứng minh: Việc sử dụng Maple giúp xử lý các đa thức bậc cao với hàng nghìn số hạng, kiểm tra tính dương của các biểu thức phức tạp và xác định điều kiện đẳng thức. Điều này làm giảm đáng kể độ phức tạp tính toán và tăng độ chính xác của chứng minh.

4. Chứng minh các bất đẳng thức dạng tham số đối với điểm tùy ý trong tam giác: Các bất đẳng thức mới được chứng minh bao gồm các biểu thức phức tạp liên quan đến tọa độ trọng tâm chuẩn tắc hóa, các biến phụ u, v, w và các tham số λ, s, t. Kết quả cho thấy các bất đẳng thức này đúng với mọi tam giác và mọi điểm P, với điều kiện đẳng thức được xác định rõ ràng.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân các bất đẳng thức dạng tham số có thể được chứng minh là do tính chất đối xứng và đồng nhất của các biểu thức liên quan đến cạnh và tọa độ điểm trong tam giác. So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi các bất đẳng thức hình học bằng cách thêm tham số λ, cho phép tổng quát hóa và phân tích sâu hơn các trường hợp đặc biệt.

Ý nghĩa của các kết quả này không chỉ nằm trong việc mở rộng lý thuyết bất đẳng thức hình học mà còn cung cấp công cụ mới cho việc giải các bài toán hình học phức tạp, đặc biệt là trong các kỳ thi toán học và nghiên cứu toán học ứng dụng. Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ đa thức, bảng so sánh điều kiện đẳng thức theo giá trị λ, giúp minh họa trực quan các trường hợp đặc biệt và phạm vi áp dụng.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển phần mềm hỗ trợ chứng minh toán học: Khuyến nghị các cơ sở đào tạo và nghiên cứu đầu tư phát triển hoặc ứng dụng các phần mềm như Maple để hỗ trợ chứng minh các bất đẳng thức phức tạp, giúp nâng cao hiệu quả nghiên cứu và đào tạo.

2. Mở rộng nghiên cứu sang các đa giác và không gian cao chiều: Đề xuất nghiên cứu tiếp tục mở rộng các bất đẳng thức dạng tham số sang các đa giác phức tạp hơn hoặc không gian Euclid có chiều cao hơn, nhằm phát triển lý thuyết hình học tổng quát.

3. Tổ chức các hội thảo chuyên đề về bất đẳng thức hình học: Khuyến khích tổ chức các hội thảo, tọa đàm để trao đổi, cập nhật các kết quả mới trong lĩnh vực bất đẳng thức hình học, tạo môi trường học thuật năng động và kết nối các nhà nghiên cứu.

4. Ứng dụng kết quả vào giảng dạy và thi cử: Đề xuất tích hợp các bất đẳng thức dạng tham số và phương pháp chứng minh bằng phần mềm vào chương trình giảng dạy toán học đại học và các kỳ thi toán học nâng cao, giúp sinh viên tiếp cận kiến thức hiện đại và thực tiễn.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Luận văn cung cấp kiến thức chuyên sâu về bất đẳng thức hình học, phương pháp chứng minh và ứng dụng phần mềm, hỗ trợ học tập và nghiên cứu nâng cao.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu Toán học: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá cho việc giảng dạy, phát triển đề tài nghiên cứu mới và ứng dụng công nghệ trong toán học.

3. Các thí sinh tham gia các kỳ thi toán học quốc tế: Các bất đẳng thức và phương pháp chứng minh được trình bày giúp nâng cao kỹ năng giải toán hình học phức tạp, phù hợp với yêu cầu thi tuyển sinh và thi quốc tế.

4. Nhà phát triển phần mềm toán học: Thông tin về ứng dụng Maple trong chứng minh toán học cung cấp cơ sở để phát triển các công cụ hỗ trợ tính toán và chứng minh tự động trong toán học.

Câu hỏi thường gặp

1. Bất đẳng thức Erdos-Mordell là gì và khi nào đẳng thức xảy ra?
   Bất đẳng thức Erdos-Mordell phát biểu rằng tổng khoảng cách từ điểm P trong tam giác đến các đỉnh lớn hơn hai lần tổng khoảng cách từ P đến các cạnh. Đẳng thức xảy ra khi tam giác đều và P là trực tâm.

2. Phần mềm Maple được sử dụng như thế nào trong nghiên cứu này?
   Maple hỗ trợ xử lý các đa thức bậc cao, kiểm tra tính dương của biểu thức phức tạp và xác định điều kiện đẳng thức, giúp chứng minh các bất đẳng thức dạng tham số một cách chính xác và hiệu quả.

3. Ý nghĩa của tham số λ trong các bất đẳng thức dạng tham số là gì?
   Tham số λ cho phép tổng quát hóa các bất đẳng thức, điều chỉnh điều kiện đẳng thức và phạm vi áp dụng, từ đó mở rộng các kết quả truyền thống sang các trường hợp đặc biệt và đa dạng hơn.

4. Điểm Lhuilier-Lemoine là gì trong tam giác?
   Điểm Lhuilier-Lemoine là điểm đặc biệt trong tam giác có tọa độ trọng tâm chuẩn tắc hóa tỉ lệ với bình phương các cạnh, liên quan đến đẳng thức trong bất đẳng thức dạng tham số khi λ = 2.

5. Làm thế nào để áp dụng kết quả nghiên cứu vào giảng dạy?
   Kết quả có thể được tích hợp vào chương trình giảng dạy toán học đại học, giúp sinh viên hiểu sâu về bất đẳng thức hình học, đồng thời sử dụng phần mềm hỗ trợ để phát triển kỹ năng chứng minh và tính toán.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa và mở rộng các bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng, đặc biệt là các bất đẳng thức dạng tham số liên quan đến điểm trong tam giác.
• Đã chứng minh thành công các bất đẳng thức mới với tham số thực λ trong khoảng [-2, 2], xác định rõ điều kiện đẳng thức và các điểm đặc biệt trong tam giác.
• Phần mềm Maple đóng vai trò quan trọng trong việc xử lý các biểu thức phức tạp, nâng cao độ chính xác và hiệu quả chứng minh.
• Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa lớn trong phát triển lý thuyết toán học và ứng dụng trong giảng dạy, nghiên cứu và thi cử.
• Đề xuất các bước tiếp theo bao gồm mở rộng nghiên cứu sang đa giác và không gian cao chiều, phát triển phần mềm hỗ trợ và ứng dụng kết quả vào giáo dục toán học.

Các nhà nghiên cứu và giảng viên nên áp dụng và phát triển thêm các bất đẳng thức dạng tham số, đồng thời tích hợp công nghệ tính toán hiện đại vào quá trình nghiên cứu và giảng dạy.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 BAT DANG THUC HINH HOC TRONG MAT PHANG Nội dung chính của chương này là chúng tôi trình bày các bat dang thức trong mặt phẳng nổi tiếng như bất đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Erdos - Mordell,.và các bất đẳng thức khác xuất hiện trong các kỳ thi toán quốc tế ([19],[15],|2]).1 Các bất đẳng thức trong mặt phẳng. Một bất đẳng thức nổi tiếng có nhiều ứng dụng trong các bài toán bất đẳng thức hình học, đặc biệt là trong các bài toán so sánh độ dài các đoạn thắng, đó chính là bất đẳng thức Ptolemy ([15]). Với bỗn điểm A, B,C, D bat ky trên mặt phẳng, chứng minh rằng AB.1) Đẳng thức xảy ra khi nào? Tời giải. Dựng điểm sao cho tam giác BCD dong dạng với tam giác.

- BA _ BD BEA. Khi đó theo tính chất của tam giác đồng dạng ta có Z2 = Gp- Suy ra BA. Mặt khác hai tam giác #BƠ và ABD cũng đồng dạng, do đó ga = Be va EBC = ABD. Tu dé EC = a.

Suy ra AD.3) Cong theo vé (1.3) ta suy ra AD.BC = BD(AE + EC) > BD. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, #,C thẳng hàng, tức là khi A va D cùng nhìn BƠ dưới một góc bằng nhau, và khi đó tứ giác ABŒD nội tiếp trong một đường tròn. Ta xét các bài toán sau, áp dụng bất đẳng thức Ptolemy trong quá trình chứng minh nó.(1MO, 1995) Cho ABCDEF' là lục giác sao cho AB = BC = CD,DE = EF = FA va BCD = EFA = 60°. G va H 1a hai điểm tùy ý.

Chứng minh rằng AG+ BG+GH+DH+ EH >CT. Từ giả thiết ta có BƠD va AEF 1a cac tam giác đều. Lấy C’ va F’ lan lượt đối xứng với Ở và F qua BE. Khi d6 CF = C’F’ va ta duge DEF' và ABC" là các tam giác đều.

Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác F"DHE và C'AGB, ta c6 EF'H.EH hay F"H < DH + EH và 5 C'G.AG hay C'G < BG+ AG. Do đó AG+BG+GH+DH+EH>C'G+GH+HF' >C'F'=CF. Hai bài toán sau vẫn áp dụng bat dang thttc Ptolemy. Chứng tỏ rằng trong tam gidc ABC ta có ab bc ca — + >4, (1.4) MaM MMe MeMeg véi a, b,c 1a do dai ba canh va mg, my, m„ là độ dài các đường trung tuyến tương ứng của tam giác đó.

Điều phải chứng minh tương đương với gbm, + bem,„ + cam; > 4m1nym,. Ap dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác CMỚN, ta có GŒ.NC, PY | \ Nn M Hinh 1. từ đó in,§ < 3in,§ + gimaŠ hay 2m„c < nya + rmạ„bÙ. Suy ra WMC < acm, + beg.5) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác ABMN ta được AM.MN, ab c2 4 à Suy ra „my S “ + 5, tức là Am„mym, < abm,„ + 2cẦm,.6) suy ra điều phải chứng minh.

Cho tam giác ABC với trọng tâm Œ và độ dài các cạnh là ø,b,e. Tìm điểm P trong mặt phẳng tam giác sao cho AP.CG đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất dé theo a, b,c. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BŒŒ. Kéo dài trung tuyến AE cắt đường tròn này tại.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AB. Ap dung dinh ly ham sé sin cho cdc tam gidc BGL,CGL, ta c6 BG BL CG CL sinBLG sinBGK sinCLG sinCGK (1. Nhung L lA trung diém cia BC va sin BLG = sinCLG nén tit (1.7) BG _ sinOGK CƠ ` sin BGK’ _ _ Ta lai cd BK = 2R.sinCGK, trong đó # là bán CK BG _ CG BK CK” BK’ ta có kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BŒG. Do đó AG _ snBGN _ sinBGN BG ~~ sin AGN —_sinCGK’ ee Hon nita BC = 2R.

Bay gid, 4p dung bat dang thitc Ptolemy cho tit giac PBKC ta c6 PK.BC < BPCK+CP. Ti dé PK. Suy ra (4P + PK)AG < AP.CG và cuốỗi cùng AK. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P nằm trên cung BŒC (để có đẳng thức của bất đẳng thức Ptolemy) và P nằm trên 4# (để có đẳng thức trong bất đăng thức tam giác).

Do đó giá trị này đạt được khi P = G. Theo công thức đường trung tuyến dễ dàng tính được rằng = 2G hay Tuong tu AG? + BG? +. Sau đây, tác giả trình bày một số bất đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng về cạnh và diện tích tam giác. Goi a,b,c la do đài các cạnh của tam giác, 9 là diện tích tam giác.

Chứng minh rằng a2 +b° + c> 438.8) 8 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b =e. Theo bất đẳng thức AM — GM ta c6 S= FTP < fp] PON Ao = Bop. Do đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 3 `. atbt+c\’ 2 1 s (6 2+Đ+c)( 2+1+1) =a + +, 1 = 3(atb+e) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b =e.6(Bát đẳng thúc Haduiger-Pinsler) Gọi a,b,c la do dai ba cạnh của một tam giác, Š là diện tích tam giác.

Chứng minh rằng dŸ + bˆ + c° > 4V38 + (a— b)* + (b— e)° + (e— a).9) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b =e. Vì a2 = b2 + c? — 9becos A và 8 = 5besin A nên ta có dŸ + bˆ + c°— 4V38 = 2(bŸ + c?) — 2becos A — 2V 3besin A 2(b?+c)— Abecos( = — A) > 2(0? + 2 — 2be = 2(b — c)’.10) Mặt khác, không mất tính tổng quát ta giả sử b < a < c. Khi đó ta có bất đẳng thức (b—c)? < (a— b)Ÿ+ (e— a)Ẻ.11) Vì bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức (œ — b)(a — e) < 0. Từ bất đẳng thức (1.11) ta được bất đẳng thức (1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b =e.2 Các bất đẳng thức đối với một điểm trong tam giác. Khi nói bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng, cụ thể trong tam giác không thể không nhắc đến bất đẳng thức Erdos-Mordell ([13]). Bất đẳng thức Erdos-Mordell là một bất đẳng thức nổi tiếng trong tam giác, được nhà toán học Paul Erdos đề xuất năm 1935 và lời giải đầu tiên đưa ra là cia Louis Mordell sử dụng định lý hàm số cosin ([19]). Cho tam giác ABC và P là diém trong tam gidc.

Goi R,, Ro, R3 lan lượt là khoảng cách từ P đến A,B,C và rị,ra,rs lần lượt là khoảng cách từ P dén cdc cạnh BC,CA, AB. Chitng minh rang Ri, +Rho+ R3 > 2( +r› +1).12) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều và P là trực tâm của nó. Bất đẳng thức Erdos-Mordell có nhiều cách chứng minh khác nhau (6]- [19]). Sau đây chúng tôi trình bày cách chứng minh đầu tiên đưa ra bởi Mordell.

Áp dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin, ta có T.sinA = EF = \irễ + rậ — 2rara cos(m — A), Ry.sinC = DE = Mặt khác, ta có 10 r3 + r‡ — 2rari cos(m — B), r? +73 — 2ryr2cos(a — C). EF? =r3 +173 — 2rara cos( — A) Tạ + r3 — 2rer3(cos B cos C' — sin B sin C) = (rosin C +73sin B)’ + (ro cos C — r3 cos B)? > (rasinŒ + rạsin Đ)Ÿ. Suy ra EF > rosinC +r3sin B. Do dé ñị b raŠ8€ + 3828 sin A sin A* Tuong tu, Ry > sin A + sin Œ 2 2 T3: Ti “sinÐB sin B’ P.

~ “sinc sin C Cộng theo về ba bất đẳng thức trên, rồi áp dụng bất đẳng thức AM — GAM ta được sin B sin C Mh + Rat Re >ni( sin B 1 sin C + sin A 1 T sin B *\ sinC sin A +13 + sin C + sin A sin B ) > 2(r +7 +). sin A Dấu đẳng thức xảy ra khi va chi khi sin.A = sin B = sinC var, = ro = '3, điều nay có nghĩa là tam gidc ABC déu va P là trực tâm của nó. Lâu nay các bất đẳng thức đối với một điểm trong tam giác luôn là vấn đề thú vị để các nhà làm toán nghiên cứu đưa ra cách chứng minh, sau đây tác giả trình bày các bất đẳng thức rất hay do J.Liu đưa ra cách chứng minh ([10]). Trước hết ta ký hiệu các đại lượng trong tam giác như sau Cho AABC và P là một điểm tùy ý trong AABŒ.

Gọi D, E, Ƒ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các cạnh BŒ,ŒƠA, AB. Khi đó ta đặt 11 Hình 1. e BC =a,CA=b, AB =c va Rj, Ro, R3,71,72,73 lan luot 1a dé dài cac doan PA, PB, PC, PD, PE, PF. e S,S,, Sa, Sp, Se lần lượt là diện tích các tam giác ABŒ, DEF, PBC, PCA, PAB.

e F,r lần lượt là bán kinh dudng trdn ngoai tiép va ndi tiép AABC, va R, va ry lan ludt 1a ban kinh đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ADEF'. Gọi P là một điểm tùy ý trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: SiR} + S,R3+ S.13) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là tâm đường tròn ngoai tip AABC. Để chứng minh bài toán trên chúng ta xét các bổ đề sau Bổ đề 1.

Với P là một điểm bất kỳ có tọa độ trọng tâm chuẩn tắc hóa (x,y, z) trong mat phẳng của AABC.14) trong đó a,b,e lần lượt là độ dài ba cạnh BC,CA, AB. Công thức trên được biết đến nhiều ( ví dụ trong [3]). Với bát kỳ điểm P nào trong AABC, ta có cro + br3 < aRy.15) 12 Néu AO (O là tâm đường trờn ngoại tiếp của ABC) cắt BC tai X, thi đẳng thức xảy ra khi uà chỉ khi P nằm trên đoạn AX. Bổ đề này là một bổ đề quan trọng và có nhiều cách chứng minh khác nhau, (xem cách chứng minh trong [14]).

Với bất kỳ điểm P nào trong AABƠ, ta có Ri 2RS, >t Ry oR? S Chúng minh. Chú ¥ rang S, = 3071, Sy= sora, S.14) chúng ta có (5„ + % + S,)®Rÿ = (%„ + Sp + S. Sau do stt dung S, + 5, +S. =S va abc = 4SR, ching ta nhan dudc RS — 2RS, > or Vậy Bo đề 1.3 đã được chứng minh.

Với bát kỳ điểm P trong tam giác AABC, ta có Sa + SpRo+S.17) uới đẳng thitc vay ra khi va chi khi P la đường tròn ngoại tiếp tam giác AABC. Vi dién tich của tứ giác nhỏ hơn hoặc bằng nửa tích hai đường chéo nên ta có 1 1 1 %+ S%.< zak, Set+Sa< go Re, Sat Sp < gehts, (1.18) cdc dang thiic trén xdy ra khi va chi khi APLBC,BPLAC,CPLAB.17) suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là trực tâm của AABƠ. Áp dụng bất đẳng thitc (1.18) cho tam gidc DEF (xem Hình 1.6), chúng ta nhận được bF.