Luận án TS. Nguyễn Thị Hồng: Bài toán điều khiển vững hệ vi phân có trễ

Luận án tiến sĩ toán học nghiên cứu tính điều khiển được vững của hệ động lực mô tả bởi phương trình vi phân có trễ khi hệ bị nhiễu có cấu trúc.

• Tác giả: Nguyễn Thị Hồng
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Khoa Sơn
• Trường học: Viện Toán Học
• Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
• Đề tài: Một số bài toán điều khiển được vững của hệ động lực mô tả bởi phương trình vi phân có trễ
• Loại tài liệu: Luận án Tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Toàn cảnh luận án điều khiển vững hệ phương trình vi phân có trễ

Luận án "Một số bài toán điều khiển được vững của hệ động lực mô tả bởi phương trình vi phân có trễ" của tác giả Nguyễn Thị Hồng (2021) là một công trình nghiên cứu chuyên sâu, giải quyết bài toán cốt lõi trong lý thuyết điều khiển tự động. Trọng tâm của luận án là phân tích và đảm bảo tính bền vững của khả năng điều khiển được đối với các hệ có trễ thời gian (time-delay systems). Các hệ thống này phổ biến trong thực tiễn kỹ thuật, sinh học và kinh tế, nơi độ trễ trong truyền thông tin hoặc vận chuyển vật chất có thể ảnh hưởng nghiêm trọng đến hiệu suất và tiêu chuẩn ổn định của hệ thống. Luận án đặt ra mục tiêu thiết lập các công thức toán học tường minh hoặc các đánh giá tin cậy để đo lường "khoảng cách" từ một hệ điều khiển được đến tập hợp các hệ không điều khiển được khi chịu tác động của nhiễu. Cách tiếp cận này giúp lượng hóa độ bền vững, một yếu tố sống còn trong việc thiết kế các bộ điều khiển hiệu quả. Nghiên cứu tập trung vào ba loại hệ thống chính: hệ tuyến tính có trễ rời rạc, hệ tuyến tính trung tính, và hệ có trễ mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm. Bằng cách sử dụng các công cụ toán học hiện đại như lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính và các tiêu chuẩn điều khiển được mở rộng từ tiêu chuẩn Hautus, luận án đã mang lại những đóng góp mới mẻ và có giá trị cho lĩnh vực điều khiển bền vững. Các kết quả không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn cung cấp nền tảng cho việc mô hình hóa hệ thống và kiểm chứng thông qua các công cụ như mô phỏng Matlab/Simulink, mở ra hướng ứng dụng trong các hệ thống điều khiển mạng (NCS) và các lĩnh vực liên quan.

1.1. Giới thiệu tổng quan về hệ có trễ thời gian time delay systems

Một hệ có trễ thời gian là hệ thống động lực trong đó đạo hàm của biến trạng thái tại một thời điểm hiện tại phụ thuộc vào giá trị của chính biến trạng thái đó hoặc biến điều khiển tại các thời điểm trong quá khứ. Hiện tượng trễ này xuất hiện tự nhiên trong nhiều quá trình vật lý, hóa học, và sinh học. Ví dụ, trong các mạng truyền thông, thời gian cần để truyền gói tin tạo ra độ trễ. Trong các lò phản ứng hóa học, thời gian vận chuyển nguyên liệu cũng gây ra trễ. Sự tồn tại của trễ làm cho không gian trạng thái của hệ thống trở thành vô hạn chiều, gây khó khăn đáng kể cho việc phân tích và thiết kế bộ điều khiển. Luận án của Nguyễn Thị Hồng (2021) đã đi sâu vào việc mô hình hóa hệ thống này, xem xét các dạng phương trình vi phân phiếm hàm để mô tả chính xác động học của hệ. Hiểu rõ bản chất của các hệ này là bước đầu tiên và quan trọng nhất để xây dựng các phương pháp điều khiển bền vững hiệu quả.

1.2. Tầm quan trọng của bài toán điều khiển bền vững trong thực tiễn

Bài toán điều khiển bền vững (robust control) giải quyết một vấn đề cơ bản: làm thế nào để duy trì hiệu suất mong muốn của một hệ thống khi các tham số của nó không chắc chắn hoặc bị nhiễu loạn. Trong thực tế, các mô hình toán học luôn là sự xấp xỉ của hệ thống thực. Các tham số như khối lượng, điện trở, hay hệ số ma sát có thể thay đổi theo thời gian hoặc điều kiện hoạt động. Nếu một bộ điều khiển chỉ hoạt động tốt với mô hình lý tưởng, nó có thể thất bại hoàn toàn trong thực tế. Vì vậy, việc nghiên cứu tính bền vững của các thuộc tính quan trọng như tính điều khiển được là cực kỳ cần thiết. Luận án tập trung vào việc định lượng sự bền vững này thông qua khái niệm "bán kính điều khiển được". Khái niệm này cho biết mức độ nhiễu tối đa mà hệ thống có thể chịu được trước khi mất đi khả năng điều khiển, cung cấp một thước đo an toàn quan trọng cho các kỹ sư thiết kế.

II. Thách thức trong điều khiển vững hệ có trễ và nhiễu hệ thống

Việc thiết kế một hệ điều khiển vững cho các phương trình vi phân có trễ phải đối mặt với nhiều thách thức to lớn. Thách thức đầu tiên và cơ bản nhất đến từ bản chất vô hạn chiều của không gian trạng thái. Khác với các hệ không trễ, trạng thái của một hệ có trễ thời gian tại thời điểm t không chỉ là một vector mà là một hàm xác định trên một khoảng thời gian trong quá khứ. Điều này làm cho các công cụ phân tích kinh điển dựa trên đại số tuyến tính hữu hạn chiều trở nên không đủ mạnh. Thách thức thứ hai là sự phức tạp trong việc phân tích ổn định Lyapunov. Sự hiện diện của trễ có thể gây ra dao động, mất ổn định, và làm suy giảm hiệu suất hệ thống một cách khó lường. Các phương pháp truyền thống cần được mở rộng, dẫn đến sự ra đời của các kỹ thuật tiên tiến như phương pháp Lyapunov-Krasovskii. Thách thức lớn nhất mà luận án này giải quyết là việc đánh giá độ bền vững của tính điều khiển được khi hệ thống chịu tác động của nhiễu có cấu trúc. Nhiễu không chỉ là một nhiễu loạn ngẫu nhiên mà thường có một cấu trúc xác định, ảnh hưởng đến một số thành phần cụ thể của hệ thống. Việc bỏ qua cấu trúc này có thể dẫn đến những đánh giá quá bi quan về độ bền vững. Do đó, việc phát triển các công thức tính toán "bán kính điều khiển được" một cách chính xác cho các nhiễu có cấu trúc là một bài toán vừa mang tính lý thuyết sâu sắc, vừa có giá trị ứng dụng cao.

2.1. Phân tích ảnh hưởng của trễ và nhiễu đến tiêu chuẩn ổn định

Độ trễ thời gian là một trong những nguyên nhân chính gây ra sự mất ổn định trong các hệ thống động lực. Một hệ thống vốn ổn định có thể trở nên bất ổn chỉ vì một độ trễ nhỏ trong vòng lặp phản hồi. Khi kết hợp với nhiễu hệ thống, vấn đề càng trở nên phức tạp. Nhiễu có thể làm thay đổi các tham số của hệ, đẩy các cực của hệ thống về phía mặt phẳng phức bên phải và vi phạm tiêu chuẩn ổn định. Luận án phân tích sâu sắc sự tương tác này. Cụ thể, nghiên cứu cho thấy rằng tính điều khiển được, một thuộc tính cơ bản để có thể ổn định hóa hệ thống, cũng rất nhạy cảm với nhiễu. Một hệ thống ban đầu có thể điều khiển được hoàn toàn, nhưng một nhiễu nhỏ có cấu trúc có thể phá hủy thuộc tính này, khiến cho việc điều khiển trở nên bất khả thi. Do đó, việc xác định ngưỡng nhiễu an toàn là nhiệm vụ hàng đầu trong thiết kế điều khiển bền vững.

2.2. Bán kính điều khiển được Công cụ đo lường độ bền vững

Để lượng hóa độ bền vững, luận án sử dụng một khái niệm toán học mạnh mẽ: bán kính điều khiển được. Bán kính điều khiển được được định nghĩa là khoảng cách (theo một chuẩn đo lường xác định) từ một hệ thống điều khiển được cho trước đến tập hợp các hệ thống không điều khiển được gần nhất. Nói một cách đơn giản, nó là "kích thước" của nhiễu nhỏ nhất có khả năng phá vỡ tính điều khiển được của hệ thống. Một bán kính lớn cho thấy hệ thống có tính bền vững cao, trong khi một bán kính nhỏ chỉ ra rằng hệ thống rất nhạy cảm với các thay đổi tham số. Luận án của Nguyễn Thị Hồng (2021) đã thành công trong việc xây dựng các công thức tường minh và các đánh giá chặn trên, chặn dưới cho bán kính này đối với các lớp hệ có trễ khác nhau, cung cấp một công cụ định lượng vô giá cho các nhà nghiên cứu và kỹ sư trong lĩnh vực lý thuyết điều khiển tự động.

III. Phương pháp Lyapunov Krasovskii và Bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Một trong những phương pháp nền tảng để phân tích điều khiển vững và ổn định cho hệ phương trình vi phân có trễ là việc sử dụng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii. Đây là sự mở rộng tự nhiên của lý thuyết ổn định Lyapunov kinh điển cho các hệ có không gian trạng thái vô hạn chiều. Thay vì sử dụng một hàm Lyapunov phụ thuộc vào trạng thái hiện tại, phương pháp Lyapunov-Krasovskii sử dụng một phiếm hàm phụ thuộc vào toàn bộ lịch sử trạng thái trên khoảng trễ. Việc tìm ra một phiếm hàm phù hợp và chứng minh đạo hàm của nó là âm xác định dọc theo quỹ đạo của hệ thống đảm bảo tính ổn định tiệm cận. Tuy nhiên, việc áp dụng trực tiếp phương pháp này thường dẫn đến các điều kiện khó kiểm tra. Đây là lúc bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) phát huy vai trò. Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng nhiều điều kiện ổn định xuất phát từ phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii có thể được biểu diễn dưới dạng một hệ các LMI. Lợi thế của LMI là chúng tạo thành một bài toán tối ưu lồi, có thể được giải quyết hiệu quả bằng các thuật toán số mạnh mẽ, chẳng hạn như thuật toán điểm trong. Sự kết hợp giữa phương pháp Lyapunov-Krasovskii và LMI đã trở thành một công cụ tiêu chuẩn trong ngành, cho phép thiết kế các bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng thái một cách có hệ thống để đảm bảo các tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ.

3.1. Xây dựng phiếm hàm Lyapunov Krasovskii cho hệ có trễ

Việc xây dựng một phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii hiệu quả là một nghệ thuật. Một phiếm hàm tốt không nên quá "bảo thủ", tức là không nên đưa ra các điều kiện quá chặt so với thực tế. Các dạng phiếm hàm phổ biến thường bao gồm một thành phần bậc hai của trạng thái hiện tại, và một hoặc nhiều thành phần tích phân phụ thuộc vào lịch sử trạng thái và đạo hàm của nó. Ví dụ, một phiếm hàm có thể có dạng V(xt) = x(t)ᵀPx(t) + ∫[t-h, t] x(s)ᵀQx(s) ds. Lựa chọn các ma trận trọng số P, Q một cách thích hợp là chìa khóa để giảm bớt sự bảo thủ. Các kỹ thuật tiên tiến hơn còn sử dụng các kỹ thuật tích phân Jensen hoặc các phương pháp dựa trên đa thức để thu được các điều kiện ổn định ít bảo thủ hơn.

3.2. Chuyển đổi điều kiện ổn định thành bài toán LMI

Sau khi tính đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii, kết quả thường là một biểu thức phức tạp chứa các thành phần tích phân và các số hạng trễ. Bước tiếp theo là sử dụng các bất đẳng thức tích phân và các bổ đề toán học (như Bổ đề Schur) để biến đổi biểu thức này thành một dạng tuyến tính theo các biến ma trận cần tìm. Kết quả cuối cùng là một bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) có dạng F(X) = F₀ + Σ xᵢFᵢ < 0, trong đó X = (x₁, x₂, ...) là vector các biến quyết định. Việc giải bài toán LMI này không chỉ cho phép kiểm tra tính ổn định mà còn có thể dùng để tổng hợp bộ điều khiển. Ví dụ, ta có thể tìm ma trận hệ số khuếch đại K của bộ điều khiển u = Kx sao cho hệ kín thỏa mãn một LMI nhất định, từ đó đảm bảo tính ổn định và hiệu suất mong muốn.

IV. Bí quyết điều khiển vững cho hệ tuyến tính trung tính và phi tuyến

Luận án không chỉ dừng lại ở các hệ có trễ rời rạc mà còn mở rộng sang các lớp hệ phức tạp hơn như hệ tuyến tính trung tính và đặt nền móng cho việc nghiên cứu hệ phi tuyến có trễ. Hệ tuyến tính trung tính (neutral systems) là một dạng đặc biệt của hệ có trễ thời gian, trong đó đạo hàm của trạng thái còn phụ thuộc vào chính đạo hàm đó tại các thời điểm quá khứ. Sự phụ thuộc này làm cho việc phân tích trở nên khó khăn hơn đáng kể và có thể dẫn đến các hiện tượng bất ổn tần số cao. Luận án đã áp dụng thành công các công cụ phân tích từ lý thuyết toán tử để thiết lập các công thức tính bán kính điều khiển được cho lớp hệ này, bao gồm bán kính điều khiển được chính xác, Euclide và xấp xỉ trên không gian Sobolev W21. Các kết quả này cung cấp một hướng dẫn rõ ràng cho việc thiết kế điều khiển bền vững. Đối với hệ phi tuyến có trễ, mặc dù không phải là trọng tâm chính, các phương pháp phân tích sự bền vững cho hệ tuyến tính là bước đệm quan trọng. Nhiều kỹ thuật điều khiển phi tuyến như tuyến tính hóa phản hồi hay điều khiển trượt (sliding mode control) đều dựa trên việc phân tích hệ thống tuyến tính hóa quanh một điểm làm việc. Do đó, việc hiểu rõ độ bền vững của thành phần tuyến tính là điều kiện tiên quyết để đảm bảo hiệu suất của toàn bộ hệ phi tuyến.

4.1. Phân tích tính điều khiển được chính xác trên không gian Sobolev

Đối với hệ tuyến tính trung tính, khái niệm điều khiển được chính xác trở nên khả thi khi xét trên không gian trạng thái hẹp hơn, chẳng hạn như không gian Sobolev W21. Không gian này đòi hỏi các hàm trạng thái không chỉ liên tục mà còn phải có đạo hàm khả tích bậc hai. Luận án đã chỉ ra các điều kiện đại số, dựa trên ma trận của tựa đa thức đặc trưng, để hệ thống có thể điều khiển được chính xác. Cụ thể, kết quả của D. Salamon và D. Tarn (được trích dẫn trong luận án) cho thấy tính điều khiển được chính xác phụ thuộc vào hạng của cặp ma trận (A-1, B), trong đó A-1 là ma trận gắn với thành phần đạo hàm có trễ. Đây là một đóng góp quan trọng, giúp kết nối thuộc tính hệ thống với các tham số ma trận có thể kiểm tra được.

4.2. Hướng tiếp cận điều khiển thích nghi và điều khiển trượt

Khi các tham số của hệ thống không chỉ không chắc chắn mà còn thay đổi theo thời gian, các phương pháp điều khiển thích nghi (adaptive control) trở nên hữu ích. Một bộ điều khiển thích nghi có khả năng "học" và tự điều chỉnh các tham số của nó trong quá trình hoạt động để đối phó với sự thay đổi của hệ thống. Một hướng tiếp cận mạnh mẽ khác là điều khiển trượt (sliding mode control). Phương pháp này có đặc tính bền vững vượt trội đối với các nhiễu loạn và sự không chắc chắn có giới hạn. Bằng cách ép buộc quỹ đạo của hệ thống di chuyển trên một "mặt trượt" được thiết kế trước, bộ điều khiển trượt có thể loại bỏ ảnh hưởng của nhiễu một cách hiệu quả. Việc kết hợp các phương pháp này với phân tích độ bền vững từ luận án có thể tạo ra các giải pháp điều khiển toàn diện và mạnh mẽ cho các hệ thống có trễ phức tạp.

V. Ứng dụng kết quả luận án vào mô hình hóa hệ thống thực tiễn

Các kết quả lý thuyết từ luận án về điều khiển vững hệ phương trình vi phân có trễ có tiềm năng ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực thực tiễn. Việc cung cấp các công thức tính toán và đánh giá bán kính điều khiển được cho phép các kỹ sư và nhà khoa học lượng hóa được mức độ an toàn và tin cậy của các mô hình điều khiển. Một trong những ứng dụng trực tiếp là trong lĩnh vực hệ thống điều khiển mạng (NCS). Trong các hệ thống này, cảm biến, cơ cấu chấp hành và bộ điều khiển được kết nối thông qua một mạng truyền thông, vốn luôn tồn tại độ trễ và khả năng mất gói tin. Các kết quả của luận án giúp xác định giới hạn chịu đựng của hệ thống đối với các nhiễu loạn do mạng gây ra, từ đó thiết kế các giao thức truyền thông và chiến lược điều khiển hiệu quả hơn. Một ứng dụng khác là trong mô hình hóa hệ thống sinh học, chẳng hạn như mô hình tăng trưởng quần thể hoặc mô hình phản ứng của hệ miễn dịch, nơi độ trễ đóng vai trò quan trọng. Các công cụ phân tích độ bền vững giúp đánh giá xem các mô hình này có duy trì các hành vi dự đoán được dưới sự biến động của các thông số sinh học hay không. Cuối cùng, việc kiểm chứng các kết quả lý thuyết thông qua mô phỏng Matlab/Simulink là một bước không thể thiếu để chuyển giao công nghệ từ nghiên cứu sang ứng dụng, cho phép xây dựng các nguyên mẫu ảo và thử nghiệm các thuật toán điều khiển trước khi triển khai trên hệ thống thật.

5.1. Đánh giá bán kính điều khiển được phổ và xấp xỉ

Luận án đã đưa ra các chặn trên và chặn dưới cho bán kính điều khiển được phổ và bán kính điều khiển được xấp xỉ đối với hệ có trễ mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm. Điều khiển được phổ đảm bảo rằng tất cả các mode (dạng dao động) của hệ thống đều có thể điều khiển được, trong khi điều khiển được xấp xỉ đảm bảo rằng hệ thống có thể được lái đến một trạng thái bất kỳ với độ chính xác tùy ý. Việc cung cấp các công thức đánh giá cho các bán kính này cho phép các nhà thiết kế xác định được cấu trúc nhiễu nào là nguy hiểm nhất đối với hệ thống và từ đó có các biện pháp phòng ngừa, chẳng hạn như che chắn các thành phần nhạy cảm hoặc sử dụng các cảm biến có độ chính xác cao hơn.

5.2. Tiềm năng của mô phỏng Matlab Simulink trong kiểm chứng

Matlab và Simulink là các công cụ tiêu chuẩn công nghiệp cho việc mô hình hóa hệ thống và thiết kế điều khiển. Môi trường Simulink cho phép xây dựng mô hình hệ thống có trễ một cách trực quan thông qua các khối chức năng. Các kết quả về bán kính điều khiển được từ luận án có thể được kiểm chứng bằng cách thực hiện các mô phỏng Monte Carlo. Trong đó, các nhiễu ngẫu nhiên với độ lớn khác nhau được thêm vào các tham số của mô hình. Bằng cách quan sát xem khi nào hệ thống mất tính điều khiển được, người ta có thể xác nhận các giới hạn được tính toán từ lý thuyết. Hơn nữa, các bộ điều khiển được thiết kế dựa trên LMI và điều khiển tối ưu H-infinity có thể được triển khai và thử nghiệm trong môi trường mô phỏng này để đánh giá hiệu suất thực tế trước khi đi vào chế tạo.

VI. Kết luận và định hướng tương lai cho lý thuyết điều khiển vững

Luận án của Nguyễn Thị Hồng đã có những đóng góp quan trọng và mới mẻ cho lý thuyết điều khiển tự động, đặc biệt trong lĩnh vực điều khiển vững cho các hệ thống phức tạp mô tả bởi phương trình vi phân có trễ. Công trình đã thành công trong việc xây dựng một bộ khung lý thuyết vững chắc để phân tích và định lượng độ bền vững của tính điều khiển được. Các công thức và đánh giá cho bán kính điều khiển được đối với hệ có trễ rời rạc, hệ trung tính và hệ phiếm hàm dưới tác động của nhiễu có cấu trúc là những kết quả nổi bật, mang lại giá trị cả về mặt lý thuyết và tiềm năng ứng dụng. Bằng cách kết hợp các công cụ từ giải tích hàm, lý thuyết toán tử đa trị, và đại số tuyến tính, luận án đã giải quyết được những bài toán khó và mở ra những hiểu biết sâu sắc hơn về hành vi của các hệ có trễ thời gian. Hướng đi của luận án là hoàn toàn phù hợp với xu thế phát triển của khoa học điều khiển hiện đại, nơi mà tính bền vững và độ tin cậy được đặt lên hàng đầu. Các kết quả này không chỉ là một sự bổ sung giá trị vào kho tàng tri thức hiện có mà còn là nền tảng vững chắc cho các nghiên cứu tiếp theo. Hướng phát triển trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các phương pháp này cho các lớp hệ thống rộng hơn và phức tạp hơn, đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của công nghệ.

6.1. Tổng kết những đóng góp khoa học cốt lõi của luận án

Những đóng góp chính của luận án bao gồm: (1) Thiết lập các công thức tường minh để tính bán kính điều khiển được Euclide và xấp xỉ phức cho hệ tuyến tính có trễ rời rạc. (2) Đưa ra các mối quan hệ và đánh giá cho bán kính điều khiển được thực. (3) Cung cấp các công thức tính toán bán kính điều khiển được chính xác, Euclide và xấp xỉ phức cho hệ tuyến tính trung tính. (4) Phát triển các điều kiện cần và đủ mới cho tính điều khiển được xấp xỉ của hệ phiếm hàm trong trường hợp đặc biệt và đưa ra các đánh giá chặn trên, chặn dưới cho bán kính điều khiển được phổ và xấp xỉ. Những kết quả này là hoàn toàn mới và có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích độ bền vững của các hệ thống điều khiển.

6.2. Mở rộng nghiên cứu sang hệ phi tuyến và điều khiển tối ưu

Hướng phát triển tự nhiên từ các kết quả của luận án là mở rộng sang lớp hệ phi tuyến có trễ. Đây là một lĩnh vực đầy thách thức vì nguyên lý xếp chồng không còn đúng. Các kỹ thuật tuyến tính hóa hoặc các phương pháp dựa trên hàm Lyapunov-Krasovskii cho hệ phi tuyến cần được nghiên cứu sâu hơn. Một hướng đi hấp dẫn khác là tích hợp các kết quả về độ bền vững vào trong các bài toán điều khiển tối ưu H-infinity. Mục tiêu là thiết kế một bộ điều khiển không chỉ ổn định hóa hệ thống mà còn tối thiểu hóa ảnh hưởng của nhiễu loạn bên ngoài lên đầu ra của hệ thống, trong khi vẫn đảm bảo duy trì được tính điều khiển được. Việc kết hợp các phương pháp này hứa hẹn sẽ tạo ra những giải pháp điều khiển toàn diện, hiệu quả và bền vững cho các ứng dụng kỹ thuật trong tương lai.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Bài toán điều khiển được là bài toán cơ bản trong lý thuyết điều khiển. Một hệ điều khiển tổng quát được mô tả bởi phương trình vi phân: ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), t > 0, (1) trong đó x ∈ Kn là biến trạng thái, u ∈ Km là biến điều khiển, f : Kn × Km × [0, +∞) −→ Kn , với K là trường số thực hoặc phức. Thông thường, một số điều kiện được đặt lên hàm f (ví dụ f là hàm đo được theo biến t, liên tục theo biến u và Lipschitz theo biến x) để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với mỗi điều kiện ban đầu x(0) = x0 và mỗi hàm điều khiển đo được u(t). Hơn thế nữa, việc thác triển nghiệm trên toàn khoảng [0, ∞) cũng được bảo đảm.

Trong trường hợp hệ (1) điều khiển được đến mọi x1 trong một lân cận của x0 , thì hệ (1) được gọi là điều khiển được địa phương tại x0. Bài toán được đặt ra là tìm các điều kiện để hệ (1) điều khiển được hoàn toàn hoặc điều khiển được địa phương và xây dựng hàm điều khiển u(t) tương ứng. Bài toán này đã được nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ XX và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học (xem trong các tài liệu [38], [29], [11], [81]). Một trong những công trình đầu tiên là bài báo [38] của R.

Trong công trình này, tác giả xét hệ điều khiển tuyến tính hệ số 1 2 hằng ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t > 0, (2) với x(t) ∈ Kn , A ∈ Kn×n , B ∈ Kn×m và u(t) ∈ Km. Khi đó: Hệ (2) điều khiển được hoàn toàn ⇐⇒ rank[B, AB,. Hautus đã chứng minh một tiêu chuẩn điều khiển được khác tương đương với (3) như sau (xem trong [29]): Hệ (2) điều khiển được hoàn toàn ⇐⇒ rank [A − λIn , B] = n, ∀λ ∈ C. (4) Tiêu chuẩn (4) nhìn qua có vẻ phức tạp hơn so với tiêu chuẩn (3) của Kalman, tuy nhiên để kiểm tra tiêu chuẩn này ta chỉ cần kiểm tra tại các λ là giá trị riêng của ma trận A.

Hơn thế nữa, do đặc thù của các cấu trúc nhiễu của các ma trận A, B nên tiêu chuẩn Hautus (4) trở nên hữu ích hơn trong các bài toán nghiên cứu về sự bền vững của tính điều khiển được (xem trong các bài báo [39, 69, 70, 71] và các Chương 2, Chương 3, Chương 4 của luận án). Cho đến nay lý thuyết điều khiển được đã đạt được nhiều kết quả cho các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình sai phân, phương trình phi tuyến, phương trình vi phân hoặc sai phân đại số, phương trình vi phân và sai phân trong không gian vô hạn chiều. Các kết quả về điều khiển được cũng được mở rộng cho các hệ động lực mô tả bởi các phương trình vi phân hoặc sai phân có trễ theo biến thời gian ([27, 46, 47, 48, 49, 54, 60, 61, 64, 79]). Lớp các hệ này đóng vai trò rất quan trọng trong thực tiễn (xem [27, 66]), đặc biệt là hệ tuyến tính có trễ mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm: Z 0 ẋ(t) = A0 x(t) + d[η(θ)]x(t + θ) + B0 u(t), t > 0, (5) −h trong đó x(t) ∈ Kn , u(t) ∈ Km , với t > 0, A0 ∈ Kn×n , B0 ∈ Kn×m , η(·) = (ηij (·))i,j=1,.,n ∈ BV ([−h, 0], Kn×n ) là hàm ma trận với các thành phần ηij là các hàm có biến phân giới nội trên đoạn [−h, 0], và tích phân 3 ở đây được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes.

Chú ý rằng, hệ (5) bao gồm một số trường hợp đặc biệt như hệ tuyến tính có trễ rời rạc dạng: ẋ(t) = A0 x(t) + A1 x(t − h1 ) +. < hn là các hằng số, các Ai ∈ Kn×n , với mọi i = 0, 1,. Khác với trường hợp hệ tuyến tính (2), không gian trạng thái của hệ tuyến tính có trễ (5) được mô tả bởi các không gian hàm, ví dụ như không gian các hàm số liên tục C([−h, 0], Kn ), không gian Sobolev W21 ([−h, 0], Kn )-không gian các hàm liên tục tuyệt đối x(·) : [−h, 0] −→ Kn có đạo hàm khả tích bậc hai, hay không gian Hilbert M2 (K) := Kn × L2 ([−h, 0], Kn ). Lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính có trễ trên các không gian hàm đã được nghiên cứu trong các tài liệu của J.

Có thể chứng minh được rằng: Với mỗi hàm đo được u(t), với mọi (x0 , φ1 ) ∈ M2 , hệ (5) có duy nhất nghiệm x(t) = x(x0 , φ1 , u, t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Kn và x(θ) = φ1 (θ), θ ∈ [−h, 0). Hơn thế nữa, nghiệm x(t) là hàm liên tục tuyệt đối trên [0, +∞) và thỏa mãn phương trình (5) hầu khắp nơi trên [0, +∞) (xem tài liệu [27, 30]). Vì vậy, ta có các khái niệm khác nhau về điều khiển được đối với hệ (5) như điều khiển được Euclide trên không gian trạng thái Kn , điều khiển được chính xác trên các không gian hàm, điều khiển được xấp xỉ, điều khiển được phổ. và những khái niệm này quan hệ mật thiết với việc lựa chọn không gian trạng thái.

Trong trường hợp chỉ có điều kiện x(T ) = x1 được thỏa mãn thì hệ (5) được gọi là điều khiển được Euclide. Các khái niệm và tính chất điều khiển được cũng được nghiên cứu cho các không gian Mp := Kn × Lp ([−h, 0], Kn ), với 1 < p < ∞ (xem trong [18, 19, 63, 64]). Hiện nay, để nghiên cứu bài toán điều khiển được trong các không gian hàm của hệ (5), người ta sử dụng hai cách tiếp cận chính: Cách thứ nhất là sử dụng công thức biểu diễn nghiệm trực tiếp (xem [6]) và cách thứ hai là sử dụng lý thuyết nửa nhóm toán tử liên tục mạnh. Theo lý thuyết nửa nhóm toán tử liên tục mạnh, hệ (5) cảm sinh phương trình vi phân không có trễ dưới đây trong không gian Hilbert M2 (K): ż(t) = Az(t) + Bu(t), t > 0, (8) trong đó z(t) = (x(t), x(t + ·)), A : dom(A) ⊂ M2 (K) −→ M2 (K) là toán tử sinh bởi nửa nhóm toán tử tuyến tính liên tục {S(t)}t>0 , và B là toán tử compact từ không gian Banach Km vào không gian M2 (K), được xác định bởi Bu = (B0 u, 0).

Ở đây với mỗi t, S(t) : M2 (K) −→ M2 (K) được xác định bởi S(t)((x0 , φ0 )) = (x(t), xt ), xt (θ) = x(t + θ), với θ ∈ [−h, 0], và x(t) = x(x0 , φ0 , 0, t) là nghiệm của hệ (5) với u(t) ≡ 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 , x(θ) = φ0 (θ), với mọi θ ∈ [−h, 0). Toán tử sinh A bởi nửa nhóm {S(t)}t>0 được xác định bởi  Z 0  0 1 0 1 1 A((φ , φ )) = A0 φ + d[η(θ)]φ (θ), φ̇ , −h với mọi (φ0 , φ1 ) thuộc vào miền xác định của A: dom(A) = {(φ0 , φ1 ) ∈ M2 (K) : φ̇1 ∈ L2 ([−h, 0], Kn ), φ0 = φ1 (0)}. Vì vậy, theo kết quả của R. Bên 5 cạnh đó, thông qua việc nghiên cứu hệ (8), một số điều kiện cần và đủ của tính điều khiển được Euclide, điều khiển được phổ, điều khiển được xấp xỉ trên không gian trạng thái Rn ×L2 ([−h, 0], Rn ) của hệ (5) đã được thiết lập (xem [8, 20, 46, 47, 48]).

Đáng chú ý là kết quả của Manitius về tiêu chuẩn điều khiển được xấp xỉ cho hệ điều khiển tuyến tính có trễ rời rạc (6) (xem [46]): Các tiêu chuẩn này có thể xem như một dạng mở rộng của điều kiện Hautus (4), trong đó ma trận đặc trưng A − λIn được thay thế bởi ma trận của tựa đa thức đặc trưng (characteristic quasi polynomial ) của hệ (6), P rr (λ) = A0 + e−h1 λ A1 +. + e−hN λ AN − λIn. Ngoài ra, bài toán điều khiển được của hệ (5) với hạn chế của biến điều khiển tập Ω ⊂ Km cũng được các nhà toán học đề cập đến, đặc biệt, Ω là nón dương trong Rm (xem trong các bài báo [13, 65, 68, 67]). Một trong những kết quả tiêu biểu là của N.

Son trong bài báo [67]. Trong bài báo này, tác giả sử dụng phương pháp rời rạc hóa công thức biểu diễn nghiệm của hệ (5) theo thang thời gian và các tính chất của các toán tử bị chặn compact để đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ (5) là điều khiển được xấp xỉ trên không gian Mp , 1 < p < ∞. Các điều kiện này không những được đặt lên ma trận của tựa đa thức đặc trưng R0 P tq (λ) = A0 + −h d[η(θ)]eλθ − λIn của hệ (5) mà còn được đặt lên các toán tử cấu trúc H ∗ : Lq ([−h, 0], Kn ) −→ Lq ([−h, 0], Kn ), xác định bởi Z α ∗ (H ψ)(α) = d[η ∗ (θ)ψ(θ − α)], với α ∈ [−h, 0], −h và toán tử G∗ : Lq ([−h, 0], Kn ) −→ Lq ([−h, 0], Km ), xác định bởi (G∗ v)(α) = B0∗ v(α), với q > 0 thỏa mãn p1 + 1q = 1. Bên cạnh bài toán điều khiển được của hệ có trễ mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm, bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính trung tính (neutral system) được mô tả bởi phương trình ẋ(t) = A0 x(t) + A1 x(t − h) + A−1 ẋ(t − h) + Bu(t), t > 0, (9) 6 cũng nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học [6, 28, 37, 54, 61, 60, 63].

Với hệ tuyến tính trung tính (9), trễ theo biến thời gian không những xuất hiện trong trạng thái mà nó còn xuất hiện trong đạo hàm. Vì vậy, bài toán điều khiển được của hệ (9) cũng đã được nghiên cứu đối với các khái niệm khác nhau như điều khiển được Euclide, điều khiển được chính xác trên các không gian hàm, điều khiển được xấp xỉ (xem trong các tài liệu [37, 54, 61, 60]). Những chứng minh đầu tiên về tính điều khiển được của các hệ tuyến tính trung tính trong không gian trạng thái W21 ([−h, 0], Cn ) đã được trình bày trong các công trình [6, 37, 61], bằng việc sử dụng các kĩ thuật của phép tính toán tử. Cụ thể, để nghiên cứu tính điều khiển được của hệ (9), các tác giả đưa hệ này về dạng: (In D − A−1 T D − A0 − A1 T )x = Bu, với các toán tử T và D tương ứng được xác định bởi (T x)(t) = x(t − h), và (Dx)(t) = ẋ(t).