Kỹ Năng Giải Toán 12: Nền Tảng Về Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số

Tài liệu nghiên cứu Kỹ năng giải toán 12hàm số, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về toán học., phục vụ nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Kỹ Năng Giải Toán 12: Nền Tảng Về Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số
• Loại tài liệu: Tài Liệu Học Tập
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 1. BÀI 1: NỀN TẢNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
• 1.1. Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số
• 1.2. Định lý
• 1.3. Định nghĩa
• 1.4. Ví dụ luyện tập
• 2. BÀI 2: NỀN TẢNG VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
• 2.1. Tóm tắt kiến thức
• 2.2. Ví dụ luyện tập
• 3. BÀI 3: CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
• 3.1. Dạng 1 - Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án
• 3.2. Dạng 2 - Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai
• 3.3. Dạng 3 - Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
• 3.4. Dạng 4 - Bài tập tự luận (SGK và SBT)

Tóm tắt

I. Tổng quan nền tảng về tính đơn điệu và cực trị hàm số

Chương đầu tiên của Giải tích lớp 12, chuyên đề hàm số, tập trung vào việc khảo sát và vẽ đồ thị, trong đó hai khái niệm cốt lõi là tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là nền tảng không thể thiếu để hiểu rõ hành vi của một hàm số, là công cụ then chốt để giải quyết hàng loạt bài toán phức tạp hơn như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biện luận số nghiệm phương trình và các bài toán tối ưu. Tính đơn điệu cho biết sự thay đổi của hàm số, liệu nó đang tăng (đồng biến) hay giảm (nghịch biến) trên một khoảng xác định. Trong khi đó, cực trị (bao gồm cực đại và cực tiểu) là những điểm mà tại đó hàm số thay đổi chiều biến thiên, tạo ra các "đỉnh" và "đáy" cục bộ trên đồ thị. Mối liên hệ mật thiết giữa hai khái niệm này với đạo hàm và ứng dụng của nó là chìa khóa để chinh phục chương này. Cụ thể, dấu của đạo hàm y' sẽ quyết định trực tiếp đến khoảng đồng biến nghịch biến, và những điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu chính là các điểm cực trị của hàm số. Theo tài liệu 'Kỹ Năng Giải Toán 12' của tác giả Đỗ Văn Đức, việc nắm vững mối quan hệ này là yêu cầu cơ bản để xây dựng bảng biến thiên - một công cụ trực quan hóa toàn bộ hành vi của hàm số. Bài viết này sẽ hệ thống hóa kiến thức từ định nghĩa, định lý đến các phương pháp giải chi tiết, giúp học sinh xây dựng một nền tảng vững chắc để giải quyết mọi dạng bài tập liên quan đến tính đơn điệu và cực trị trong các kỳ thi quan trọng.

1.1. Tầm quan trọng của việc khảo sát hàm số lớp 12

Việc khảo sát hàm số lớp 12 không chỉ là một yêu cầu học thuật mà còn là kỹ năng tư duy phân tích quan trọng. Nó giúp hình dung được đồ thị của hàm số mà không cần vẽ chi tiết, từ đó suy ra các tính chất đặc trưng. Hiểu được hàm số đang đồng biến hay nghịch biến trên khoảng nào, đạt giá trị cực đại, giá trị cực tiểu ở đâu là cơ sở để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế, ví dụ như tìm lợi nhuận lớn nhất hoặc chi phí thấp nhất trong kinh tế. Đây là chương kiến thức chiếm tỷ trọng điểm số cao trong đề thi THPT Quốc Gia, và là tiền đề cho các chuyên đề phức tạp hơn như tích phân và số phức.

1.2. Mối liên hệ giữa đạo hàm tính đơn điệu và cực trị

Công cụ toán học trung tâm để nghiên cứu tính đơn điệu và cực trị chính là đạo hàm. Định lý cơ bản phát biểu rằng: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, thì nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K, hàm số đồng biến trên K; nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K, hàm số nghịch biến trên K. Từ đó, điểm cực trị của hàm số chỉ có thể xảy ra tại những điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định. Như tác giả Đỗ Văn Đức nhấn mạnh, "điểm mấu chốt là xét dấu của đạo hàm y'". Việc lập bảng biến thiên chính là quy trình tổng hợp các thông tin về dấu của y' để đưa ra kết luận cuối cùng về các khoảng đơn điệu và vị trí các điểm cực trị một cách trực quan và chính xác nhất.

II. Các lỗi sai thường gặp khi xét tính đơn điệu cực trị

Mặc dù lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị tương đối rõ ràng, học sinh vẫn thường mắc phải những sai lầm đáng tiếc trong quá trình giải bài tập. Một trong những lỗi phổ biến nhất là kết luận sai về khoảng đơn điệu, ví dụ như dùng ký hiệu hợp (∪) thay cho "và" khi liệt kê các khoảng đồng biến nghịch biến. Cần nhớ rằng hàm số chỉ đơn điệu trên từng khoảng riêng lẻ. Lỗi thứ hai là nhầm lẫn giữa "điểm cực trị" (giá trị của x) và "giá trị cực trị" (giá trị của y). Ví dụ, nói "hàm số đạt cực đại bằng 2" thay vì "hàm số đạt cực đại tại x=2" là một lỗi sai về khái niệm. Một sai lầm khác liên quan đến việc không kiểm tra điều kiện để hàm số có cực trị. Cụ thể, f'(x₀) = 0 chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ. Đạo hàm phải đổi dấu khi đi qua điểm x₀ thì đó mới là điểm cực trị. Điều này đặc biệt quan trọng khi giải các bài toán chứa tham số m, nơi việc bỏ sót điều kiện này có thể dẫn đến kết quả sai hoàn toàn. Ngoài ra, việc tính toán đạo hàm sai, giải sai phương trình y' = 0, hoặc xét dấu sai trên bảng biến thiên cũng là những nguyên nhân trực tiếp dẫn đến kết quả không chính xác. Việc hiểu rõ và tránh được những lỗi này sẽ giúp quá trình làm bài trở nên hiệu quả và đạt điểm số tối đa.

2.1. Nhầm lẫn khái niệm điểm cực trị và giá trị cực trị

Một sai lầm cơ bản nhưng rất phổ biến là không phân biệt rõ "điểm cực trị" và "giá trị cực trị". Điểm cực trị là hoành độ x₀ mà tại đó hàm số đạt cực trị. Ngược lại, giá trị cực đại (f(x₀)) hoặc giá trị cực tiểu (f(x₀)) là tung độ tương ứng, hay còn gọi là cực trị của hàm số. Trong đề thi, câu hỏi có thể yêu cầu "tìm điểm cực trị" hoặc "tính giá trị cực trị". Đọc không kỹ đề bài sẽ dẫn đến việc trả lời sai yêu cầu, gây mất điểm đáng tiếc.

2.2. Bỏ sót điều kiện đổi dấu của đạo hàm y

Nhiều học sinh mặc định rằng chỉ cần giải phương trình f'(x) = 0 là sẽ tìm được tất cả các điểm cực trị. Tuy nhiên, đây chỉ là điều kiện cần. Theo định lý, một điểm x₀ chỉ là điểm cực trị nếu đạo hàm f'(x) đổi dấu khi đi qua nó. Các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 mà không làm đạo hàm đổi dấu (ví dụ như nghiệm bội chẵn) thì không phải là điểm cực trị. Ví dụ, hàm số y = x³ có y' = 3x², y'(0)=0 nhưng đạo hàm không đổi dấu tại x=0, do đó hàm số không có cực trị. Lỗi này thường gặp khi giải các bài toán hàm số bậc 3 hoặc hàm số bậc 4 trùng phương.

III. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số qua đạo hàm

Phương pháp chung để xét tính đơn điệu của hàm số dựa hoàn toàn vào việc phân tích dấu của đạo hàm cấp một. Quy trình này có thể được tóm gọn trong bốn bước cốt lõi, áp dụng cho hầu hết các loại hàm số từ đa thức đến phân thức. Bước đầu tiên và quan trọng nhất là tìm tập xác định của hàm số để đảm bảo mọi tính toán sau đó đều hợp lệ. Bước hai là tính đạo hàm y'. Kỹ năng tính đạo hàm nhanh và chính xác là yêu cầu bắt buộc. Bước ba, tiến hành giải phương trình y' = 0 và tìm các điểm mà tại đó y' không xác định. Các nghiệm này chính là các điểm tới hạn, nơi hàm số có khả năng thay đổi chiều biến thiên. Bước cuối cùng và trực quan nhất là lập bảng biến thiên. Bảng này sẽ sắp xếp các điểm tới hạn trên trục số và xét dấu của y' trong từng khoảng được tạo ra. Dựa vào định lý về mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu, ta có thể kết luận hàm số là hàm số đồng biến trên các khoảng mà y' > 0 và là hàm số nghịch biến trên các khoảng mà y' < 0. Phương pháp này không chỉ giúp tìm ra các khoảng đồng biến nghịch biến mà còn là tiền đề để tìm cực trị và khảo sát toàn diện hàm số.

3.1. Lý thuyết tính đơn điệu và vai trò của đạo hàm

Về mặt lý thuyết tính đơn điệu, một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng K nếu với mọi cặp x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂, ta có f(x₁) < f(x₂). Ngược lại, hàm số được gọi là nghịch biến nếu f(x₁) > f(x₂). Đạo hàm cung cấp một công cụ mạnh mẽ để kiểm tra điều kiện này mà không cần so sánh trực tiếp các giá trị. Dấu của đạo hàm tại một điểm cho biết xu hướng tức thời của hàm số: dấu dương thể hiện xu hướng đi lên (đồng biến), dấu âm thể hiện xu hướng đi xuống (nghịch biến).

3.2. Quy trình 4 bước lập bảng biến thiên chính xác

Để lập một bảng biến thiên đầy đủ và chính xác, cần tuân thủ quy trình 4 bước sau:

1. Tìm tập xác định (TXĐ): Xác định miền giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm y': Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm.
3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình y' = 0 và tìm các điểm làm cho y' không xác định. Sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần.
4. Xét dấu y' và kết luận: Chọn một giá trị đại diện trong mỗi khoảng để xác định dấu của y'. Từ đó, dùng mũi tên đi lên (↗) cho khoảng đồng biến (y' > 0) và mũi tên đi xuống (↘) cho khoảng nghịch biến (y' < 0) để hoàn thành bảng và đưa ra kết luận.

IV. Hướng dẫn chi tiết cách tìm điểm cực trị của hàm số

Việc tìm điểm cực trị của hàm số là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm. Cực trị của hàm số, bao gồm cực đại và cực tiểu, là những điểm mà tại đó đồ thị hàm số có sự "nhô lên" hoặc "lõm xuống" cục bộ. Có hai quy tắc chính để xác định các điểm này, được trình bày rõ trong các tài liệu học thuật như sách 'Kỹ Năng Giải Toán 12'. Quy tắc 1 tìm cực trị là phương pháp phổ biến và trực quan nhất, dựa trực tiếp vào sự đổi dấu của đạo hàm cấp một (y'). Cụ thể, nếu y' đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₀, thì x₀ là điểm cực đại. Ngược lại, nếu y' đổi dấu từ âm sang dương, x₀ là điểm cực tiểu. Phương pháp này được thể hiện rõ ràng trên bảng biến thiên. Quy tắc 2 tìm cực trị sử dụng đến đạo hàm cấp hai (y''). Quy tắc này phát biểu rằng: nếu y'(x₀) = 0 và y''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại; nếu y'(x₀) = 0 và y''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu. Quy tắc 2 thường hiệu quả đối với các hàm đa thức khi việc tính đạo hàm cấp hai không quá phức tạp. Việc lựa chọn sử dụng quy tắc nào phụ thuộc vào đặc điểm của từng bài toán cụ thể.

4.1. Quy tắc 1 Tìm cực trị dựa vào dấu của đạo hàm y

Đây là quy tắc nền tảng và được áp dụng nhiều nhất. Các bước thực hiện như sau:

1. Tìm tập xác định.
2. Tính đạo hàm y'.
3. Giải phương trình y' = 0 và tìm các điểm y' không xác định.
4. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của y'.
5. Dựa vào sự đổi dấu của y' để kết luận. Nếu y' đổi dấu từ (+) sang (-) tại x₀ thì đó là điểm cực đại. Nếu y' đổi dấu từ (-) sang (+) tại x₀ thì đó là điểm cực tiểu.

4.2. Quy tắc 2 Tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai

Quy tắc này cung cấp một cách tiếp cận khác, đặc biệt hữu ích khi việc xét dấu y' phức tạp. Các bước thực hiện:

1. Tìm tập xác định.
2. Tính đạo hàm y'.
3. Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm tới hạn xᵢ.
4. Tính đạo hàm cấp hai y'' và tính giá trị y''(xᵢ) tại mỗi điểm tới hạn.
5. Kết luận: Nếu y''(xᵢ) > 0, hàm số đạt cực tiểu tại xᵢ. Nếu y''(xᵢ) < 0, hàm số đạt cực đại tại xᵢ. Nếu y''(xᵢ) = 0, quy tắc này không cho kết luận và phải quay lại sử dụng Quy tắc 1.

4.3. Phân biệt hàm số bậc 3 và hàm số bậc 4 trùng phương

Đối với hàm số bậc 3 (y = ax³ + ...), hàm số có thể có 2 điểm cực trị hoặc không có điểm cực trị nào. Điều này phụ thuộc vào delta của phương trình y' = 0. Đối với hàm số bậc 4 trùng phương (y = ax⁴ + bx² + c), hàm số có thể có 1 hoặc 3 điểm cực trị. Cụ thể, nếu a và b cùng dấu (ab ≥ 0), hàm số có 1 điểm cực trị. Nếu a và b trái dấu (ab < 0), hàm số có 3 điểm cực trị. Nắm vững đặc điểm này giúp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm và biện luận.

V. Bí quyết giải bài toán chứa tham số m về đơn điệu cực trị

Các bài toán chứa tham số m liên quan đến tính đơn điệu và cực trị là dạng bài tập vận dụng cao, thường xuất hiện trong các đề thi để phân loại học sinh. Chìa khóa để giải quyết dạng toán này là biến đổi yêu cầu của bài toán thành các điều kiện ràng buộc đối với đạo hàm y'. Ví dụ, để một hàm số đồng biến trên R, điều kiện cần là y' ≥ 0 với mọi x thuộc R. Điều này thường dẫn đến việc phải giải một bất phương trình bậc hai (đối với y' là tam thức bậc hai) hoặc cô lập tham số m. Phương pháp cô lập m là một kỹ thuật rất mạnh, trong đó ta biến đổi bất phương trình về dạng m ≥ g(x) hoặc m ≤ g(x). Khi đó, bài toán được quy về việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số g(x) trên một miền xác định. Đối với các bài toán yêu cầu hàm số có cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó (ví dụ: có hai cực trị trái dấu, hai cực trị cách đều trục tung), việc sử dụng định lý Vi-ét cho phương trình y' = 0 là vô cùng hiệu quả. Nắm vững các kỹ thuật này và nhận dạng đúng dạng bài sẽ giúp giải quyết các bài toán tham số một cách hệ thống và chính xác.

5.1. Phương pháp cô lập m để xét tính đơn điệu

Đây là kỹ thuật phổ biến nhất. Để tìm m cho hàm số đơn điệu trên khoảng K, ta thực hiện các bước:

1. Tính y'.
2. Đặt điều kiện cho y' (ví dụ: y' ≥ 0 để hàm số đồng biến).
3. Biến đổi bất phương trình để đưa m về một vế, ví dụ: m ≥ g(x) hoặc m ≤ g(x).
4. Để bất phương trình đúng với mọi x thuộc K, ta có: m ≥ max(g(x)) trên K hoặc m ≤ min(g(x)) trên K.
5. Khảo sát hàm g(x) để tìm max/min và kết luận giá trị của m.

5.2. Sử dụng định lý Vi ét cho bài toán cực trị

Khi bài toán yêu cầu về vị trí tương đối của các điểm cực trị (x₁, x₂ là hoành độ các điểm cực trị), sử dụng định lý Vi-ét cho phương trình y' = 0 là một lựa chọn tối ưu. Trước hết, cần tìm điều kiện để hàm số có cực trị (thường là Δ của y' > 0). Sau đó, biểu diễn các yêu cầu của bài toán (ví dụ: x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ < 0,...) thông qua tổng S = x₁ + x₂ và tích P = x₁x₂. Áp dụng định lý Vi-ét để thay S và P bằng các biểu thức chứa tham số m, từ đó giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm m.

VI. Kết luận Ứng dụng và tầm quan trọng của chuyên đề hàm số

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số không chỉ là những khái niệm lý thuyết trừu tượng mà còn là công cụ nền tảng có tính ứng dụng cao trong chương trình Toán 12 và các lĩnh vực khác. Việc nắm vững cách xét tính đơn điệu của hàm số và tìm điểm cực trị là điều kiện tiên quyết để thực hiện bước tiếp theo là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, một kỹ năng tổng hợp quan trọng. Kiến thức này giúp giải quyết hiệu quả các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình dựa trên sự tương giao đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn, và đặc biệt là các bài toán tối ưu hóa thực tiễn trong vật lý, kinh tế. Ví dụ, xác định thời điểm vận tốc lớn nhất, hoặc sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận tối đa. Trong khuôn khổ kỳ thi THPT Quốc Gia, các câu hỏi liên quan đến chuyên đề hàm số luôn chiếm một tỷ trọng đáng kể, trải dài từ mức độ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng cao với các bài toán chứa tham số m. Do đó, việc đầu tư thời gian để hiểu sâu và luyện tập thành thạo các dạng bài tập về tính đơn điệu và cực trị là một chiến lược học tập thông minh, đảm bảo thành công trong các kỳ thi quan trọng.

6.1. Vai trò trong việc giải các bài toán tối ưu thực tế

Các bài toán thực tế thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (tối đa hóa lợi nhuận, diện tích, thể tích) hoặc giá trị nhỏ nhất (tối thiểu hóa chi phí, quãng đường). Bằng cách mô hình hóa bài toán bằng một hàm số, việc tìm các giá trị tối ưu này chính là tìm giá trị cực đại hoặc giá trị cực tiểu của hàm số đó. Kỹ năng tìm cực trị là công cụ trực tiếp để giải quyết các vấn đề này.

6.2. Nền tảng cho các chuyên đề toán học phức tạp hơn

Hiểu biết về sự biến thiên của hàm số là cơ sở để tiếp cận các khái niệm cao cấp hơn. Trong tích phân, việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến giúp đơn giản hóa việc so sánh các giá trị tích phân. Trong hình học giải tích, việc tìm cực trị giúp xác định các điểm đặc biệt trên đường cong. Do đó, đây là một chương kiến thức bản lề, mở đường cho việc học tập và nghiên cứu các lĩnh vực toán học khác.

Nội dung chính

Đánh Giá Học Thuật Giáo Trình: Kỹ Năng Giải Toán 12 – Chuyên Đề Hàm Số

Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Kỹ Năng Giải Toán 12: Nền Tảng Về Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số do tác giả Đỗ Văn Đức biên soạn, được xuất bản bởi Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. Tài liệu này nằm trong hệ thống học liệu thuộc khóa học môn Toán (IMOE 2025) phục vụ chương trình môn Toán lớp 12 theo khung Chương trình Giáo dục Phổ thông mới. Về mặt vị trí phân phối chương trình, nội dung cuốn sách thuộc phần Giải tích, tập trung vào mạch kiến thức Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Mục tiêu học thuật của giáo trình bao gồm:

1. Chuẩn hóa hệ thống định nghĩa, định lý toán học liên quan đến tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
2. Thiết lập quy trình tư duy giải quyết bài toán biến thiên hàm số từ mức độ nhận biết cơ bản đến các bài toán vận dụng phức hợp (hàm hợp, hàm liên kết, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối).
3. Rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học thông qua các bài toán tối ưu hóa gắn liền với thực tiễn vật lý, kinh tế, sinh học và kỹ thuật.

Cấu trúc giáo trình được phân định theo chuyên đề tuần tự, tiếp cận từ việc tóm lược tiên đề, định lý toán học giải tích đến phân tích ví dụ minh họa và triển khai hệ thống bài tập thực hành. Điểm đặc trưng trong cấu trúc tài liệu là việc tổ chức các bài toán theo bốn dạng thức kiểm tra đánh giá mới: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, Trắc nghiệm đúng/sai, Trắc nghiệm trả lời ngắn và Tự luận ứng dụng thực tế.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

                             KỸ NĂNG GIẢI TOÁN 12: HÀM SỐ

Các chương/chủ đề chính

Nội dung tài liệu được chia thành các bài học và chuyên đề có tính liên kết giải tích chặt chẽ:

• Bài 1 – Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số: Trình bày định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập $K \subset \mathbb{R}$; định lý về dấu của đạo hàm cấp một $f'(x)$; định nghĩa và quy tắc xác định điểm cực đại, điểm cực tiểu; phương pháp sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình thông qua hàm đặc trưng $f(g(x)) = f(h(x)) \Leftrightarrow g(x) = h(x)$.
• Bài 2 – Nền tảng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Định nghĩa $\max_{D} f(x)$ và $\min_{D} f(x)$; quy tắc tìm giá trị biên trên đoạn $[a; b]$ thông qua các điểm dừng; các bất đẳng thức đại số bổ trợ như bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz và phương pháp đổi biến số cho hàm hợp $f(u(x))$.
• Bài 3 – Bài toán tối ưu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Quy trình chuyển đổi bài toán ngôn ngữ thực tế thành mô hình toán học giải tích. Khai thác ý nghĩa thực tiễn của đạo hàm dưới dạng tốc độ thay đổi tức thời (vận tốc $v(t) = s'(t)$, gia tốc $a(t) = v'(t)$, chi phí biên $C'(x)$, nồng độ phản ứng $C'(t)$, tốc độ tăng trưởng quần thể $P'(t)$).
• Bài 4 – Tiệm cận của đồ thị hàm số: Định nghĩa chuẩn xác dựa trên giới hạn của đường tiệm cận đứng ($x = x_0$), tiệm cận ngang ($y = y_0$) và tiệm cận xiên ($y = ax + b$ với $a = \lim \frac{f(x)}{x}$, $b = \lim [f(x) - ax]$). Phân tích tiệm cận xiên của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \frac{ax^2+bx+c}{mx+n}$ và hàm chứa căn thức $\sqrt{ax^2+bx+c} + px + q$.
• Các chuyên đề đồ thị và biến đổi đồ thị: Phân tích đặc trưng hình học của đồ thị hàm bậc ba $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, hàm bậc hai trên bậc nhất; các phép suy biến đồ thị đối xứng qua trục và tịnh tiến: $|f(x)|$, $f(|x|)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$.
• Chuyên đề hàm hợp và phương pháp nâng cao: Nghiên cứu đơn điệu, cực trị, GTLN/GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương pháp ghép trục; khảo sát hàm số liên kết dạng $g(x) = f(u(x)) + v(x)$ thông qua kỹ thuật tương giao đồ thị của đạo hàm $f'(t)$ và hàm phụ trợ.
• Bài 14 – Tổng ôn hàm số: Hệ thống 160+ bài toán trắc nghiệm và tự luận phân loại chi tiết theo từng đơn vị kiến thức: đơn điệu, cực trị, tiệm cận, tương giao và bài toán thực tế.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Tài liệu xây dựng trên các nguyên lý giải tích vi phân cổ điển:

• Mối liên hệ giữa đạo hàm và biến thiên: Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ và $f'(x) \ge 0$ (hoặc $f'(x) \le 0$) với $f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
• Điều kiện cần và đủ của cực trị: Điểm cực trị là điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu khi biến số đi qua điểm đó.
• Nguyên lý giới hạn xác định biên đồ thị: Sử dụng giới hạn một bên $\lim_{x \to x_0^\pm} f(x)$ và giới hạn tại vô cực $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ để thiết lập các đường tiệm cận hình học.
• Nguyên lý cực trị trên tập compact: Hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng giải tích hình thức: Tính toán đạo hàm của hàm hợp, lập bảng biến thiên, bảng xét dấu đạo hàm, phân tích nghiệm bội chẵn và nghiệm bội lẻ của phương trình $f'(x) = 0$.
• Kỹ năng phân tích đồ thị: Đọc hiểu và truy xuất thông tin từ đồ thị hàm số gốc $y = f(x)$, đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ hoặc đồ thị hàm tịnh tiến $y = f'(ax+b) + c$.
• Kỹ năng mô hình hóa toán học: Biểu diễn các đại lượng biến thiên trong các bài toán thực nghiệm (diện tích lát cắt địa hình, chi phí xây lắp đường điện ven biển, chi phí trung bình sản xuất, liều lượng thuốc giảm huyết áp) thành hàm số một biến $Q = Q(x)$ và tìm cực trị trên miền xác định hợp lý.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

                    QUY TRÌNH HỌC TẬP TỪNG CHUYÊN ĐỀ

Tiếp cận sư phạm (Pedagogical Approach)

Giáo trình tuân thủ mô hình diễn dịch kết hợp quy nạp:

1. Khái quát lý thuyết: Hệ thống hóa định lý dưới dạng khung tóm tắt ngắn gọn, làm rõ điều kiện áp dụng (tính liên tục, tính khả vi, khoảng đóng hay khoảng mở).
2. Hình thành thuật toán giải: Cung cấp các bước thực hiện tuần tự cho từng lớp bài toán (ví dụ: các bước khảo sát hàm số liên kết $g(x) = f(u(x)) + v(x)$, các bước tìm giá trị lớn nhất trên đoạn).
3. Mẫu mực hóa qua ví dụ: Các ví dụ được giải thích đầy đủ các bước đại số, kèm hình vẽ minh họa và các phân tích sai lầm thường gặp (chẳng hạn lưu ý về điểm làm cho đạo hàm bằng 0 nhưng không đổi dấu thì không tạo ra cực trị).

Cấu trúc hệ thống bài tập

Hệ thống bài tập tự luyện được phân hóa thành 4 dạng thức chuẩn hóa:

• Dạng 1 (Trắc nghiệm 4 lựa chọn): Kiểm tra khả năng nhận biết và thông hiểu nhanh các tính chất đơn điệu, cực trị, tọa độ giao điểm, tiệm cận.
• Dạng 2 (Trắc nghiệm Đúng/Sai): Mỗi câu hỏi gồm 4 mệnh đề $(a, b, c, d)$ đòi hỏi người học phải kiểm tra toàn diện nhiều góc độ của một hàm số (tập xác định, số điểm cực trị, khoảng đồng biến, giá trị biên).
• Dạng 3 (Trắc nghiệm trả lời ngắn): Yêu cầu tính toán ra kết quả số học cụ thể (ví dụ: đếm số giá trị nguyên của tham số $m$, tính giá trị biểu thức $P = M + 2m$, khoảng cách ngắn nhất).
• Dạng 4 (Bài tập tự luận ứng dụng): Tích hợp các bài toán thực tiễn từ sách giáo khoa và sách bài tập mới, yêu cầu trình bày trọn vẹn lập luận mô hình hóa và giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả toán học.

Hướng dẫn tự học và đánh giá

Người học được khuyến nghị:

• Hoàn thành việc tự chứng minh các công thức giải nhanh trước khi áp dụng.
• Rèn luyện kỹ năng vẽ phác thảo đồ thị đạo hàm và đường thẳng phụ trợ trên cùng một hệ trục tọa độ để giải bài toán tương giao.
• Sử dụng máy tính cầm tay (Casio) để hỗ trợ tính toán giá trị hàm số, tìm nghiệm phương trình đạo hàm trong các bài thi trắc nghiệm theo các hướng dẫn bổ trợ trong sách.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

Khía cạnh	Chương trình cũ	Cập nhật trong giáo trình (Chương trình mới 2025)
Đường tiệm cận	Chủ yếu khảo sát tiệm cận đứng, ngang của hàm bậc 3, trùng phương, phân thức $1/1$.	Bổ sung đầy đủ Tiệm cận xiên cho hàm phân thức $\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}$ và hàm chứa căn thức $\sqrt{ax^2+bx+c}$.
Dạng thức bài tập	Đơn thuần trắc nghiệm 4 phương án truyền thống.	Phân hóa thành 4 dạng thức thi mới: Đa lựa chọn, Đúng/Sai, Trả lời ngắn, Tự luận ứng dụng.
Ứng dụng thực tế	Các bài toán mang tính lý thuyết trừu tượng.	Tích hợp sâu rộng bài toán kinh tế (doanh thu biên, chi phí biên, hòa vốn) và khoa học đời sống (quần thể vi khuẩn, mất nhiệt cơ thể).
Kỹ thuật hàm nâng cao	Khảo sát hàm số tường minh đơn giản.	Triển khai phương pháp Ghép trục, khảo sát hàm liên kết $f(u(x)) + v(x)$ dựa trên đồ thị đạo hàm.

Cập nhật theo chương trình giáo dục mới

Giáo trình cập nhật trực tiếp cấu trúc nội dung từ các bộ sách giáo khoa mới (như Chân trời sáng tạo, Kết nối tri thức và cuộc sống):

• Bổ sung trở lại chuyên đề Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, sử dụng định nghĩa giới hạn chuẩn tắc $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$.
• Tích hợp dạng hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất $y = \frac{ax^2+bx+c}{mx+n}$, dạng đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Tích hợp ứng dụng liên môn và thực tiễn

Tài liệu đưa vào hệ thống các bài toán thực tế có số liệu thực nghiệm:

• Kỹ thuật & Địa lý: Bài toán mô tả lát cắt địa hình dãy núi theo hàm số bậc ba $h(x) = -\frac{1}{1320000}x^3 + \frac{9}{3520}x^2 - \frac{81}{44}x + 2000$ trên đoạn $[0; 2000]$ (trích dẫn SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo).
• Kinh tế học: Bài toán xác định hàm doanh thu biên $R'(x)$, chi phí biên $C'(x)$, tối ưu hóa chi phí đặt hàng lưu kho gỗ trong chu kỳ sản xuất, bài toán xác định sản lượng hòa vốn của doanh nghiệp sản xuất máy xay sinh tố $P(x) = -0,3x^3 + 36x^2 + 1800x - 45000$.
• Sinh học & Y học: Mô hình hóa tốc độ tăng trưởng của vi khuẩn trong môi trường dinh dưỡng; bài toán xác định liều lượng tiêm thuốc $G(x) = 0,025x^2(30-x)$ để độ giảm huyết áp đạt mức tối đa; bài toán thất thoát nhiệt cơ thể $H = 33(10\sqrt{v} - v + 10,45)$ theo vận tốc gió.
• Hình học không gian & Đời sống: Tối ưu hóa kích thước thùng hình trụ không đáy cắt từ tấm tôn tam giác đều, bài toán tìm chiều dài thang gấp dựa tường qua cột đỡ, bài toán xác định vị trí đặt trụ điện trên bờ biển để tối thiểu chi phí lắp đặt cáp ngầm dưới nước và trên đất liền.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

1. Học sinh Trung học Phổ thông (Khối 12): Học sinh đang học chương trình Toán 12 chuẩn bị cho kỳ thi Tốt nghiệp THPT, kỳ thi Đánh giá năng lực (HSA - ĐHQGHN, APT - ĐHQG TP.HCM) và kỳ thi Đánh giá tư duy (TSA - ĐH Bách Khoa Hà Nội) theo định dạng mới từ năm 2025.
2. Sinh viên Đại học và Cao đẳng: Sinh viên năm thứ nhất các ngành Sư phạm Toán học, Toán ứng dụng, Kinh tế học hoặc Kỹ thuật cần ôn tập và củng cố kiến thức Giải tích vi phân một biến, phương pháp tối ưu hóa một biến và kỹ năng mô hình hóa toán học.
3. Giáo viên và Chuyên viên học thuật: Giáo viên giảng dạy môn Toán tại các trường THPT sử dụng làm tài liệu tham khảo để xây dựng giáo án chuyên đề, biên soạn ngân hàng đề kiểm tra định kỳ và đề thi thử theo 4 cấu trúc định dạng chuẩn hóa.

Yêu cầu kiến thức tiên quyết (Prerequisites)

Để tiếp thu hiệu quả nội dung giáo trình, người học cần nắm vững:

• Đại số và Lượng giác lớp 10, 11: Bất đẳng thức Cauchy/AM-GM, dấu của tam thức bậc hai, các công thức biến đổi lượng giác cơ bản.
• Giải tích cơ bản lớp 11: Khái niệm giới hạn dãy số, giới hạn hàm số tại một điểm và tại vô cực, các quy tắc tính đạo hàm cơ bản (đạo hàm hàm đa thức, lượng giác, phân thức, hàm hợp).

---

Câu hỏi thường gặp

  [Q1] Giáo trình này phù hợp với ai?
  
  [Q2] Cần kiến thức nền nào để học?
  
  [Q3] Điểm khác biệt với giáo trình khác là gì?
  
  [Q4] Làm sao để tự học hiệu quả?
  
  [Q5] Có tài liệu bổ trợ nào kèm theo?

1. Giáo trình này phù hợp với ai?

Tài liệu được biên soạn phục vụ học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp THPT và các kỳ thi tuyển sinh đại học theo định dạng 2025, đồng thời phù hợp làm tài liệu tham khảo cho sinh viên năm nhất ngành Sư phạm Toán và giáo viên giảng dạy môn Toán THPT.

2. Cần kiến thức nền nào để học?

Người học cần có kiến thức nền tảng về Giải tích lớp 11, cụ thể là các định nghĩa và công thức tính giới hạn, quy tắc tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, đạo hàm của hàm hợp, cùng kỹ năng biến đổi đại số và lượng giác cơ bản.

3. Điểm khác biệt so với các tài liệu truyền thống là gì?

Giáo trình cập nhật đầy đủ các nội dung mới của Chương trình GDPT mới như đường tiệm cận xiên, hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, đồng thời phân chia bài tập theo đúng 4 dạng thức cấu trúc đề thi mới (Trắc nghiệm nhiều lựa chọn, Đúng/Sai, Trả lời ngắn, Tự luận thực tiễn).

4. Làm sao để tự học giáo trình hiệu quả?

Quy trình tự học tối ưu:

• Đọc kỹ phần A. Tóm tắt kiến thức để ghi nhớ định lý, điều kiện áp dụng.
• Nghiên cứu chi tiết các bước giải mẫu trong phần B. Ví dụ minh họa.
• Tự làm toàn bộ bài tập phần C. Bài tập rèn luyện, phân chia thời gian làm bài theo từng dạng thức để rèn luyện tốc độ và độ chính xác.

5. Có tài liệu bổ trợ nào kèm theo?

Giáo trình gắn liền với hệ sinh thái học tập của khóa học IMOE 2025 môn Toán trên nền tảng trực tuyến hocimo.vn, bao gồm các bài giảng video phân tích chuyên đề, hệ thống đề thi thử và lời giải chi tiết cho các bài tập nâng cao.

---

Kết luận

Giáo trình Kỹ Năng Giải Toán 12: Nền Tảng Về Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số của tác giả Đỗ Văn Đức cung cấp một hệ thống học liệu giải tích hoàn chỉnh cho chủ đề Hàm số lớp 12. Tài liệu kết nối chặt chẽ giữa cơ sở lý thuyết toán học giải tích chuẩn mực và các phương pháp giải toán định lượng hiện đại, đáp ứng yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông mới.

Lộ trình học tập đề xuất: $$\text{Đơn điệu & Cực trị cơ bản} \longrightarrow \text{GTLN/GTNN & Tiệm cận} \longrightarrow \text{Mô hình hóa tối ưu thực tế} \longrightarrow \text{Biến đổi đồ thị, Ghép trục & Tổng ôn}$$

Tài liệu này đóng vai trò là một nguồn tư liệu học thuật và thực hành có giá trị tham khảo cao cho học sinh, sinh viên và giáo viên trong quá trình giảng dạy và học tập phân môn Giải tích.

Trích đoạn nội dung tài liệu

ĐỖ VĂN ĐỨC KỸ NĂNG GIẢI TDÁN 12 AZ DO VĂN ĐỨC IK NĂNG GIẢI TOÁN 12 HAM SO Theo chương trình sách giao khoa mdi NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI MỤC LỤC KỦI NỘI ĐỀ bus cgianacediasLaedDapilocssslesdkeoassobabifidlsesusoe=snissuEaRaxsiuifä. NÊN TẢNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. NEN TANG VE GIA TRI LON NHẤT VÀ GIÁ TRI NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. BAI TOAN TOI UU UNG DUNG GIA TRI LON NHẤT, NHỦ NHẤT.

TIEM CAN CUA BO THI HAM SO. ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA ƒ(x) = ax3 + bx? + cx + d. THẾ TR[ TÂM BẾ BÑG NHẤT TRÊN BẢO NHẤT ¡ssssaiarannnegsianassanuvaelaogass. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT.

CAC PHEP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ (hàm |ƒ(+)I, ƒ(x|), ƒ(x + a),ƒ() + a). - CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. DON DIEU HAM SO CHUA DAU GIA TRI TUYET DOI. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHAT CUA HAM SỐ CHUA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC VA MOI QUAN HỆ VỚI ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ. DON DIEU, CỰC TRỊ HÀM SỐ ƒ (w(2)) + ø(&)).--se-eeeeeeerreeerreerreerre 120 ra 87 .ÔÔ,ÔỎ 132 ! Scanned with ; ‘(3 CamScanner: ® & Bào + Bài 1— Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 5 NEN TANG VE TINH DON DIEU Le VÀ CUC TRI CUA HAM SỐ A. TOM TAT KIEN THUC Cho K € R, trong do K là một khoảng. đoạn hoặc nửa khoảng.

Tính đơn điệu của hàm số \ Giảm Điểm cực đại ý À Zs L = Tine Điểm cực tiêu Điểm cực tiểu @ Định lí Cho hàm số y = ƒ(%) có đạo hàm trên tập K. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số @ Định nghĩa Cho hàm số y = ƒ (+) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là —œ, b có thể là +00) và điểm xọ € (a; b). e Néu ton tại số h >0 sao cho ƒ(x) < ƒ(ạ) với mọi x € (xạ — h;xọ + h) C (a;b) và x khác xọ thi ta noi ham s6 f (x) dat cuc dai tai Xp. e Néu ton tai s6 h > 0 sao cho f(x) > f (Xo) với mọi x € (xạ — h;xọ + h) C (a; b) và x khac Xp thi ta ndi ham s6 f(x) đạt cực tiểu tại Xo.

© chiy Néu x 1a mét diém cuc tri ca ham sé y = f(x) thi diém M(xo; ƒ(o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thi ham sé y = f(x). : Scannedwith ; ‘(3 CamScanner: Trang 8 >- Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn § © Giải —- Chọn B Hàm số có tập xác định: D = (—œ; 2)\{0}. Xét y'= họ lề eb, Do đó y'=0«© x 2—x x x’ (x-2) x=—2° Ta có xét dấu y' như sau: x -2 0 1 2, #' -0+||+0 - Từ đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (—2; —1). Cho ham số f () thỏa mãn ƒ@) = (lx| — x + 1)(? — 4)(x2 — 6) với mọi x € IR, Số điểm cực trị của hàm số ƒ (x) là A.

2 Giai — Chon B Chú ý rang |x] > x Vx € R, do dé |x| -x +1 >OVxER. Hàm số f(x) c6 đúng 4 điểm cực trị. Cho ham sé f(x) = x3 — 3x +2. b) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

c)_ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +00). d) Gia sir g(x) la một hàm số thỏa mãn g'(x) = ƒ(%) Vx € IR, khi đó ø() có đúng 1 điểm cực trị, và đó là điểm cực tiểu. b) E1 Có ƒ'(x) = 3x? — 3 nên ƒ'(x) đổi dấu 2 lần qua các điểm x = 1,x = —1. Do đó hàm số ƒ(x) có đúng 2 điểm cực trị.

d) MTacé: g'(x) = f(x) = (x — 1)?(x + 2) vx € R, ta cé bang xét dau g’(x) như sau: x |—œ —2 1 +00 g'(x) = 8 © 2 # Do đó g(x) cé ding 1 diém cuc tri, d6 14 diém cực tiêu. ! Scanned with ; ‘(3 CamScanner: 8 3 5 8 a Trang 6 > Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn «x @ Dinh ly Giả sử hàm số y = f(x) lién tuc trén khoang (a; b) chita diém x9 va có đạo hàm trên các khoang (a; X9) va (Xo; b). Khi do e Nếu ƒ'(x) < 0 với mọi x € (a; Xp) va f'(x) > 0 voi moi x E (x9; b) thì xọ là một điểm cực tiêu của hàm só ƒ (2). x | —œ Xo +00 x | —0o Xo +00 Ƒƒ@| _— - ‡ 1) ———— fo) f(x) f(x) ẤN.

Hàm đặc trưng Cho hàm số y = ƒ(z) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K. Từ đó, trong nhiều bài toán, ta đưa phương trình về dạng f(g(x)) = /(n (x)) và biện luận néuham f(x) đơn điệu trên 1 khoảng K và #{(x). h{x) đều nhận giá trị trên & thì phương trinh f(g ())}= Ff (h(x)) = g(x)=h(x). Bất phương trình v2x—1 >x" +(x—1)` có bao nhiêu nghiệm nguyên? S Giải Bắt phương trình tương đương với: ÝJ2x—-1>xÌ°+x°~2x+l ©2x—-l+42x—l>x!+x? (1).

Xét hàm số ø(f)=f” +? có g'(?)= 2+1, rõ ràng g'(t)>0 với mọi / >0 nên hàm số ø() đồng biến trên [0;+œ). Xét ham sé f(x)=x*-2x4+1,tacd f'(x)=4x°-2, f'(x)=0ex=5F. ! Scanned with ; ‘(3 CamScanner: zz Bài 1 — Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 7 Ta có bảng biến thiên của hàm số ƒ(x) như sau: 1 X —œ ye +00 f'(x) — 0 + f(x) Sy 8 C7 23/2 3 Vi f(0)=1 >0,1— ah <0 va f(1)=0 nên đồ thị hàm số ya J (x) cat truc hoanh tai 2 điểm có hoành độ x, và 1, với 0< x, <1. Do đó bất phương trình có đúng 1 nghiệm nguyên là x = 1.

- @ Lưuý: Khi thi trắc nghiệm. ta có thê dùng máy tính câm tay đê giải bài toán nhanh hơn. VÍ DỤ LUYỆN TẬP @ Ví dụ 1. Một phần lát cắt của đãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số 1 9 81 : y=h(x) = 3+ < x <0 với 084 x?——x+ 2000 —1320000Ẻ ”3520Ẻ 447 y= h(a) a ont + Tìm tọa độ các đỉnh của lat cat day mii trên đoạn [0; 2000].

Nguồn: SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo S Giải Ta có: x? 9x 81 È —— vx € (0;2000). hCG) =— 120000 † 1760 44 Do đó h'(x) =0 © |x=450 Isog: Xét R(450) = 460,313 và h(1800) = TT 15 x= Do đó tọa độ các đỉnh của lát cắt đãy núi trên đoạn [0;2000] là (450;460,313) và (:200; ss) @ Ví dụ 2. Khoảng đồng biến của hàm số y = In(2— x) - là khoảng nào trong các khoảng sau: x A. (1:2): : Scannedwith ; ‘(3 CamScanner: Trang 8 >ˆ Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn 8 > Giai — Chon B Hàm số có tập xác định: D = (—œ; 2)\{0}.

Do 46 y'=0e| : 2—x* ,x" x? (x _ 2) x=- Ta có xét dâu yˆ như sau: xe X =2. TẺ D 1: 2 cece tee yˆ -0+||+0 - Từ đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (—2; —1). Cho hàm số f (x) thoa man f'(x) = (|x| — x + 1)(x? - 4)(x? — 6) với mọi x € R. 3ó điểm cực trị của hàm số ƒ() là A.

S Giải —- Chon B Cha y¥ rang |x] = x Vx € R, do dé |x] -x +1>0 x ER. Ham sé f(x) có đúng 4 điêm cực trị. Cho hàm số ƒ(x) = x3 — 3x + 2. b) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

c)_ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +©). d) Gia str g(x) là một hàm số thỏa mãn g'(x) = ƒ(z) Vx € E, khi đó ø(x) có đúng 1 điểm cực trị. và đó là điểm cực tiểu. b) Có ƒ'() = 3x? — 3 nên ƒ'(x) đổi dấu 2 lần qua các điểm x = 1,x = —1.

Do đó hàm số ƒ(x) có đúng 2 điểm cực trị. d) MTacé: g'(x) = f(x) = (x — 1)?(x + 2) vx € R, ta cé bang xét dau g’(x) nhw sau: x | =2 1 +œ g(x) - 0 + O + Do do g(x) có đúng 1 điểm cực trị, đó là điểm cực tiểu. Cho hàm số ƒ() có đạo hàm ƒ'{x) = (x~ 1)3(2 - x)(x — 3). a) Phương trình ƒ'(x)= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

b) Hàm SỐ ƒŒ) có 3 điểm cực trị. d) Ham sé f(x) nhận điểm x = 2 làm điểm cực đại. x=3 b)_ BỊ Nhận thấy ƒ'(x) chỉ đổi dấu qua x = 1 và x = 2, nên hàm số ƒ(x) có đúng 2 điểm cực trị. c)_ M Ta có bảng biến thiên: x —œ 1 2 +00 # 0x) ~ 0 + 0 = I (2) Fe) sy Pi Bigs = Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2).

d) M Dva vao bang biến thiên, ta thay x = 2 ladiém cuc dai. BAI TAP REN LUYEN Dang 1- Cau hdi trac nghiém nhiéu phương 3. Ham số nào trong các hàm số sau đây án lựa chọn dong biên trên IR? Đơn điệu f. Hàm số œy-l#aL.

0y-Wzal ig? đông biển trên khoảng nào sau 4. Cho hàm số f(x) ding biển trén [0;2). Khang dinh nao sau đây là đúng? «. ss FO FU.

Hàm số nào trong các hàm số sau đây ©. : đồng biến trên IR? 5. Ham so nào trong các hàm sô sau đông x-1 bién trén R? fi. Ve ee fi.

Gyemz BaP ets dyed, x «= ene Scanned with 8 CamScanner”: A Trang 10 l> Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo. Cho hàm số y = f(x) cd đồ thị đạo hàm fi. như hình vẽ. Biét ham sé f(x) nghich bién trén B.

O a Tập nghiệm của bất phương trình /[s)>/00 là: x ; ee fi. Hàm sô đã cho có bao nhiêu điêm cực đại? e. Cho hàm số f(x) thỏa mãn 7. Ham sé nao sau đây nghịch biến trên ï*? f'(x)= x -].

trên khoảng nào? Xx 1 i fv. Khoảng đông bien của hàm số 14. Cho hàm số y=cosx+ax. Với giá trị f(x) = la nào của ø thì hàm số đồng biến trên R.

Cho ham sé y = f(x) có đồ thị của hàm 9, Ham sé =| | HỒNG: wiSs WEA EUR so f’(x) như hình vẽ bên. Hàm số đã cho : oP BENE nung: đồng biến trên khoảng nào sau đây? nào? 8. Cho ham sé y = f(x) xác định, nhận giá tri dong va dong bién trén R. Hoi ham số nào được liệt kê dưới đây nghịch biến trên R? 2.

Cho hàm so y = f(x) co dao ham trén 11. Biét ham sé f(x) đồng biến trên R va R. D6 thi ham séy = ƒ”(+) như hình vẽ. Khoang nao sau day 14 khoang đồng biến cia ham sé y= ,/ f(x)? !