Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu
Sự tổng hợp thành công graphene vào năm 2004 bởi Andre Geim và Konstantin Novoselov đã mở ra kỷ nguyên nghiên cứu các vật liệu hai chiều (2D) với nhiều đặc tính điện tử và quang học mới. Tiếp nối graphene, hàng loạt vật liệu đơn lớp bán dẫn đã được khám phá, tiêu biểu là nhóm chalcogen đôi kim loại chuyển tiếp (TMDC như $\text{MoS}_2, \text{MoSe}_2, \text{WS}_2, \text{WSe}_2$), boron nitride lục giác (h-BN), silicene, germanene, MXenes và phot-pho đen (Black Phosphorus - BP). Trong các vật liệu bán dẫn 2D, các hiệu ứng lượng tử tập thể và chuẩn hạt (quasiparticle), đặc biệt là exciton (cặp liên kết giữa điện tử và lỗ trống), đóng vai trò trung tâm chi phối các tính chất hấp thụ và phát xạ quang học.
Khác với các vật liệu đơn lớp có cấu trúc đối xứng đẳng hướng trong mặt phẳng như TMDC, đơn lớp phot-pho đen (BP) sở hữu cấu trúc mạng tinh thể dạng tổ ong gấp nếp (puckered honeycomb) thuộc hệ trực thoi. Cấu trúc này làm mất tính đối xứng giữa hai phương $Ox$ và $Oy$, tạo ra tính bất đẳng hướng (anisotropy) cao trong các tính chất cơ, điện, quang, cũng như thế năng tuần hoàn của mạng tinh thể. Do đó, khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn theo các phương không gian là hoàn toàn khác nhau ($m_{ex} \neq m_{ey}$ và $m_{hx} \neq m_{hy}$).
Trong các công trình trước đây, cách tiếp cận đại số sử dụng toán tử sinh - hủy kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết đã chứng minh được tính ưu việt khi giải bài toán exciton trong các đơn lớp TMDC đẳng hướng, cho phép thu được các biểu thức giải tích chính xác của các yếu tố ma trận và tiết kiệm đáng kể tài nguyên tính toán số. Tuy nhiên, khi khảo sát exciton trong đơn lớp BP dưới tác dụng của từ trường ngoài, một số nghiên cứu trước (tiêu biểu như Ya et al., 2022) đã tiến hành lược bỏ một số số hạng trong toán tử Hamiltonian để đơn giản hóa quá trình giải, dẫn đến việc độ chính xác của phổ năng lượng cần phải được đánh giá và kiểm chứng lại. Khóa luận tập trung giải quyết bài toán năng lượng exciton trong đơn lớp BP bất đẳng hướng khi có mặt từ trường ngoài bằng phương pháp đại số hoàn chỉnh, không lược bỏ các thành phần tương tác trong Hamiltonian.
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài được xác định gồm các nội dung sau:
- Tổng quan cơ sở lý thuyết về vật liệu 2D, đơn lớp BP, chuẩn hạt exciton, thế tương tác Keldysh và phương pháp nhiễu loạn có điều tiết.
- Xây dựng toán tử Hamiltonian đầy đủ cho hệ điện tử - lỗ trống trong đơn lớp BP đặt trong từ trường đều vuông góc với mặt phẳng vật liệu.
- Thực hiện tách chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối bằng cách sử dụng toán tử vector giả động lượng $\vec{\mathcal{P}}$.
- Khử tính bất đẳng hướng ở các thành phần động năng và áp dụng phép biến đổi tọa độ Levi-Civita để chuyển phương trình Schrödinger sang không gian bốn chiều $(u, v)$.
- Đại số hóa phương trình thông qua các toán tử sinh - hủy lượng tử, xây dựng hệ hàm cơ sở đại số và thiết lập các biểu thức giải tích cho các yếu tố ma trận.
- Ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết ở gần đúng bậc không và xây dựng chương trình tính toán số bằng ngôn ngữ Python để xác định các mức năng lượng exciton dưới các giá trị từ trường khác nhau.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Trạng thái liên kết, phổ năng lượng và hàm mật độ xác suất của exciton trung hòa trong đơn lớp phot-pho đen (BP).
- Phạm vi nghiên cứu: Hệ hai chiều phẳng ($xy$) trong đơn lớp BP bất đẳng hướng, đặt dưới tác dụng của từ trường đều tĩnh hướng theo trục $Oz$ vuông góc với mặt phẳng đơn lớp. Nghiên cứu tập trung khảo sát ở nhiệt độ thấp ($K_x = K_y = 0$) và tính toán mức năng lượng ở gần đúng bậc không của lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp
Khóa luận được xây dựng dựa trên các khung lý thuyết và mô hình giải tích trong vật lý chất rắn và cơ học lượng tử:
- Mô hình Exciton Wannier-Mott và gần đúng khối lượng hiệu dụng: Exciton trong bán dẫn có bán kính liên kết lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể. Ảnh hưởng của thế tuần hoàn mạng tinh thể bất đẳng hướng của BP được đưa vào thông qua khối lượng hiệu dụng dị hướng của điện tử ($m_{ex}, m_{ey}$) và lỗ trống ($m_{hx}, m_{hy}$).
- Thế tương tác Keldysh dạng Fourier: Do hiệu ứng chắn điện môi giảm mạnh trong không gian hai chiều, thế tương tác Coulomb thông thường không còn mô tả chính xác tương tác giữa điện tử và lỗ trống. Thế tương tác được mô tả thông qua thế Keldysh chứa các hàm Bessel bậc không $J_0$ và hàm Struve bậc không $\mathbf{H}0$. Nhằm thuận tiện cho việc đại số hóa và giảm tính dị hướng, thế Keldysh được biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier:
$$V(x, y) = -\frac{1}{2\pi\kappa} \int{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\exp(it_x x + it_y y)}{t(1 + r_0 t)} , dt_x dt_y$$
với $r_0 = 2\pi\chi_{2D}$ là độ dài chắn điện môi, $\kappa$ là hằng số điện môi trung bình của môi trường bao quanh, và $t = \sqrt{t_x^2 + t_y^2}$.
- Toán tử Vector giả động lượng (Pseudomomentum): Dựa trên lý thuyết của Avron et al. (1978), vector giả động lượng $\vec{\mathcal{P}} = \vec{P} - \frac{e}{2}\vec{B}\times\vec{r}$ giao hoán với toán tử Hamiltonian toàn phần ($[\vec{\mathcal{P}}, H] = 0$), cho phép thực hiện phép biến đổi đơn vị $U$ để tách triệt để tọa độ khối tâm $(X, Y)$ ra khỏi chuyển động tương đối $(x, y)$.
- Phép biến đổi Levi-Civita và đại số toán tử Fock: Biến đổi tọa độ $x = u^2 - v^2, y = 2uv$ chuyển phương trình vi phân hai chiều dạng Coulomb/Keldysh về hệ dao động tử điều hòa hai chiều trong không gian $(u, v)$. Các toán tử vi phân được biểu diễn qua toán tử sinh - hủy $\hat{a}, \hat{a}^\dagger, \hat{b}, \hat{b}^\dagger$ thỏa mãn hệ thức giao hoán $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1, [\hat{b}, \hat{b}^\dagger] = 1$.
- Lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết (Regulated Perturbation Theory): Tách Hamiltonian thành phần trung hòa $H_0, R_0$ và phần nhiễu loạn $V, R_1$ phụ thuộc vào tham số biến phân tự do $\omega$. Bộ hàm cơ sở $|n_1, n_2, \omega\rangle$ được xây dựng trên trạng thái chân không $|0(\omega)\rangle$.
Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp giải tích lý thuyết: Biến đổi giải tích vi tích phân, đại số toán tử giao hoán, chuẩn hóa định chuẩn Coulomb ($\nabla \cdot \vec{A} = 0$), biến đổi giải tích ma trận.
- Phương pháp tính toán số: Lập trình thuật toán trên ngôn ngữ Python để tính tích phân số các yếu tố ma trận thế Keldysh và tối ưu hóa tham số $\omega$ nhằm xác định phổ năng lượng bậc không.
- Nguồn dữ liệu đối chiếu: Bộ thông số cấu trúc, khối lượng hiệu dụng và năng lượng thực nghiệm/tính toán từ các công trình đã công bố quốc tế: Ly et al. (2023), Nguyen et al. (2019), Henriques et al. (2020), Paulo et al. (2019), Wu et al. (2022).
Nội dung chính theo từng chương
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 1 hệ thống hóa lịch sử phát triển của mô hình exciton từ các quan sát thực nghiệm đầu tiên của Becquerel (1907), Obreimov và De Haas (1929), đến việc định nghĩa khái niệm exciton của Yakov Frenkel (1931) cho chất cách điện và mô hình exciton Wannier-Mott (1937) cho chất bán dẫn. Tác giả phân biệt rõ cơ chế vật lý giữa exciton Frenkel (bán kính nhỏ, năng lượng liên kết $0{,}1 - 1\text{ eV}$) và exciton Wannier-Mott (bán kính lớn trải rộng qua nhiều ô mạng, năng lượng liên kết nhỏ hơn).
Tiếp theo, chương tổng quan về vật liệu hai chiều, từ bước ngoặt phương pháp bóc tách cơ học (băng dính) của Novoselov và Geim năm 2004 đến các đặc tính của đơn lớp phot-pho đen (BP). BP là thù hình bền nhiệt động ở điều kiện phòng, có cấu trúc tinh thể trực thoi dạng tổ ong gấp nếp. Năng lượng vùng cấm của BP biến thiên từ $0{,}3\text{ eV}$ ở dạng khối đến $2{,}0\text{ eV}$ ở dạng đơn lớp, lấp đầy khoảng trống giữa graphene (vùng cấm bằng 0) và TMDCs (vùng cấm khoảng $1{,}5\text{ eV}$). Do tính đối xứng thấp, thế tuần hoàn và khối lượng hiệu dụng của electron và hole theo hai trục $Ox$ và $Oy$ khác biệt rõ rệt. Tác giả phân tích hạn chế của thế tương tác Coulomb trong môi trường 2D và trình bày biểu thức thế Keldysh, đồng thời chỉ ra ưu điểm của việc chuyển đổi thế Keldysh sang dạng tích phân Fourier để phục vụ tính toán đại số trong môi trường bất đẳng hướng.
Chương 2: Mô hình tính toán
Chương 2 trình bày toàn bộ quy trình xây dựng mô hình toán học giải phương trình Schrödinger cho hệ electron - hole trong đơn lớp BP dưới từ trường đều $\vec{B} = B\hat{k}$. Sử dụng thế vector ở định chuẩn Coulomb:
$$\vec{A}_e = \frac{1}{2}\vec{B}\times\vec{r}_e, \quad \vec{A}_h = \frac{1}{2}\vec{B}\times\vec{r}_h$$
Hamiltonian ban đầu gồm 7 thành phần đan xen giữa tọa độ khối tâm $(X, Y)$ và tọa độ tương đối $(x, y)$.
Bằng việc định nghĩa vector giả động lượng $\vec{\mathcal{P}} = \vec{P} - \frac{e}{2}\vec{B}\times\vec{r}$ và chứng minh tính giao hoán $[\vec{\mathcal{P}}, H] = 0$, tác giả thực hiện phép biến đổi đơn vị:
$$H_{rel} = U^{-1} H U, \quad \text{với } U = \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left(\vec{K} + \frac{e}{2\hbar}\vec{B}\times\vec{r}\right)\vec{R}\right]$$
Từ đó loại bỏ hoàn toàn tọa độ khối tâm ra khỏi phương trình. Ở giới hạn nhiệt độ thấp ($K_x = K_y = 0$), Hamiltonian tương đối được chuyển sang hệ đơn vị nguyên tử ($a_0, \text{Ry}, \gamma$).
Để khắc phục tính bất đẳng hướng, tác giả đưa ra phép biến đổi co giãn tọa độ:
$$x \to \sqrt{\frac{\mu_x}{\mu}} x', \quad y \to \sqrt{\frac{\mu_y}{\mu}} y'$$
giúp đồng nhất hóa các hệ số đạo hàm bậc hai trong toán tử động năng. Kế tiếp, phép biến đổi Levi-Civita ($x = u^2 - v^2, y = 2uv$) được áp dụng, đưa phương trình về dạng:
$$\mathcal{H}\psi(u, v) = E \mathcal{R}\psi(u, v)$$
trong đó $\mathcal{R} = u^2 + v^2$.
Do tính bất đẳng hướng phá vỡ tính đối xứng quay ($[\hat{L}z, H] \neq 0$), số lượng tử từ $m$ không còn là số lượng tử tốt. Tác giả thiết lập hệ hàm cơ sở Fock hai chiều không phụ thuộc vào $m$:
$$|n_1, n_2, \omega\rangle = \frac{1}{\sqrt{n_1! n_2!}} (\hat{a}^\dagger)^{n_1} (\hat{b}^\dagger)^{n_2} |0(\omega)\rangle$$
Dựa trên các hệ thức giao hoán của toán tử sinh - hủy, các yếu tố ma trận $H{n_1 n_2}$ và $R_{n_1 n_2}$ được xác định dưới dạng biểu thức giải tích tường minh. Cuối cùng, lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết được triển khai để thu được công thức tính năng lượng gần đúng bậc không $E_{n_1 n_2}^{(0)}(\omega)$.
Chương 3: Kết quả và thảo luận
Chương 3 trình bày các kết quả tính toán số thu được từ chương trình Python tự xây dựng. Đầu tiên, chương trình được kiểm chứng với bài toán đẳng hướng (cho $\mu_x = \mu_y$) và so sánh với các công bố của Ly et al. (2023) và Nguyen et al. (2019). Kết quả cho thấy sai số tương đối cực nhỏ (dưới $0{,}03%$), khẳng định độ tin cậy của thuật toán.
Đối với bài toán bất đẳng hướng không có từ trường ($B = 0$), tác giả tính toán năng lượng trạng thái cơ bản của đơn lớp BP trong ba môi trường điện môi khác nhau: đơn lớp tự do trong chân không (BP-FS), BP đặt trên đế $\text{SiO}_2$ (BP-$\text{SiO}_2$), và BP được kẹp giữa hai lớp $\text{h-BN}$ (BP-hBN). Các mức năng lượng kích thích thấp cũng được so sánh chi tiết với công trình của Wu et al. (2022).
Phần tiếp theo phân tích hình dạng phân bố mật độ xác suất $|\psi(x, y)|^2$ của các trạng thái $(00), (01), (02), (03)$. Trái ngược với dạng hình tròn đối xứng của mô hình nguyên tử hydro 2D đẳng hướng, mật độ xác suất của exciton trong BP bị kéo giãn dọc theo trục $Ox$ thành dạng đĩa elip, phản ánh trực quan sự bất đối xứng của khối lượng hiệu dụng.
Khảo sát ảnh hưởng của từ trường ngoài đều từ $0\text{ T}$ đến trên $100\text{ T}$ cho thấy:
- Ở vùng từ trường thấp ($B < 100\text{ T}$), năng lượng các mức thay đổi chậm, ngoại trừ các trạng thái kích thích cao.
- Khi $B > 100\text{ T}$, phổ năng lượng biến đổi mạnh mẽ; trạng thái $(22)$ bị ion hóa.
- Hiện tượng tách mức (Zeeman-like splitting): Khi $B = 0$, các trạng thái đối xứng hoán vị $(n_1, n_2)$ và $(n_2, n_1)$ có cùng mức năng lượng suy biến ($E_{01} = E_{10}, E_{02} = E_{20}, E_{03} = E_{30}$). Khi có mặt từ trường ($B > 0$), tính suy biến này bị phá vỡ hoàn toàn, các đường mức năng lượng tách rời nhau rõ rệt.
Kết quả và đóng góp
Kết quả tính toán số liệu chính
Khóa luận đã tính toán và kiểm chứng các mức năng lượng của exciton trong đơn lớp BP qua các bảng số liệu cụ thể:
| Cấu trúc / Môi trường |
Nghiên cứu này ($E_0$, eV) |
Henriques et al. (2020) |
Paulo et al. (2019) |
Độ lệch tương đối |
| BP tự do (BP-FS) |
$-0{,}712$ |
$-0{,}721$ |
$-0{,}712$ |
$1{,}2%$ (so với Henriques) / $0{,}0%$ (so với Paulo) |
| BP kẹp h-BN (BP-hBN) |
$-0{,}203$ |
$-0{,}205$ |
$-0{,}202$ |
$1{,}2%$ (so với Henriques) / $0{,}6%$ (so với Paulo) |
| BP trên đế $\text{SiO}_2$ (BP-$\text{SiO}_2$) |
$-0{,}388$ |
$-0{,}398$ |
$-0{,}378$ |
$2{,}5%$ (so với Henriques) / $2{,}6%$ (so với Paulo) |
So sánh phổ năng lượng các trạng thái kích thích khi không có từ trường ($B = 0\text{ T}$) với công trình của Wu et al. (2022):
| Trạng thái $(n_1, n_2)$ |
Năng lượng nghiên cứu này (meV) |
Wu et al. (2022) (meV) |
| $(0, 0)$ |
$-712{,}5$ |
$-713{,}0$ |
| $(0, 1) / (1, 0)$ |
$-500{,}8$ |
$-501{,}2$ |
| $(1, 1)$ |
$-435{,}1$ |
$-436{,}0$ |
| $(0, 2) / (2, 0)$ |
$-388{,}4$ |
$-389{,}1$ |
| $(0, 3) / (3, 0)$ |
$-312{,}0$ |
$-313{,}2$ |
Sự phụ thuộc của các mức năng lượng exciton vào từ trường ngoài ($B$ từ $0$ đến $100\text{ T}$):
- Trạng thái cơ bản $(0, 0)$: biến thiên từ $-712{,}5\text{ meV}$ ở $0\text{ T}$ lên $-705{,}2\text{ meV}$ ở $100\text{ T}$.
- Sự tách mức giữa $(0, 1)$ và $(1, 0)$: tại $B = 0\text{ T}$, cả hai mức đều đạt $-500{,}8\text{ meV}$; khi tăng lên $B = 100\text{ T}$, mức $(0, 1)$ dịch chuyển lên $-482{,}3\text{ meV}$ trong khi mức $(1, 0)$ dịch chuyển lên $-468{,}1\text{ meV}$.
Đóng góp học thuật của khóa luận
- Xây dựng thành công biểu diễn đại số cho phương trình Schrödinger mô tả exciton trong vật liệu 2D bất đẳng hướng dưới từ trường ngoài mà không cần lược bỏ bất kỳ số hạng nào trong toán tử Hamiltonian như các nghiên cứu xấp xỉ trước đây.
- Thiết lập hệ biểu thức giải tích tường minh cho toàn bộ các yếu tố ma trận của Hamiltonian và toán tử chuẩn tắc trong không gian Levi-Civita bằng đại số toán tử sinh - hủy.
- Xây dựng bộ mã nguồn tính toán số bằng Python có độ hội tụ cao và khả năng mở rộng tốt cho các hệ vật liệu bất đẳng hướng phức tạp.
- Kết quả nghiên cứu đã được hoàn thiện thành bản thảo khoa học và gửi đăng tại Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
Hạn chế được ghi nhận trong văn bản:
- Tính toán năng lượng mới dừng lại ở mức gần đúng bậc không ($E^{(0)}$) của lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết, chưa tính đến các số hạng bổ chính bậc cao hơn ($E^{(1)}, E^{(2)}$).
- Mô hình chỉ áp dụng cho từ trường ngoài đều vuông góc với mặt phẳng đơn lớp ở giới hạn nhiệt độ thấp ($K_x = K_y = 0$), chưa khảo sát ảnh hưởng của vector sóng khối tâm khác không, góc nghiêng của từ trường, hoặc các trường ngoài khác.
Hướng nghiên cứu phát triển tiếp theo:
- Phát triển phương pháp đại số để tính toán các số hạng bổ chính năng lượng ở các bậc cao hơn nhằm tìm nghiệm số chính xác tuyệt đối và tiến tới tìm nghiệm giải tích hoàn chỉnh cho bài toán.
- Mở rộng mô hình tính toán khi có sự hiện diện của các trường ngoài khác, đặc biệt là điện trường trong mặt phẳng hoặc ngoài mặt phẳng (hiệu ứng Stark).
- Mở rộng bài toán mô hình hóa cho exciton mang điện hai chiều (trion dương hoặc trion âm) trong các vật liệu đơn lớp bất đẳng hướng.
Giá trị tham khảo
Khóa luận là tài liệu chuyên khảo có giá trị chuyên môn cao đối với:
- Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Vật lý lý thuyết, Vật lý tính toán và Vật lý chất rắn: Cung cấp tài liệu tham khảo chi tiết về kỹ thuật sử dụng toán tử đại số (Fock space), phép biến đổi Levi-Civita và vector giả động lượng để giải phương trình vi phân nhiều chiều phức tạp.
- Các nhóm nghiên cứu về vật liệu hai chiều (2D Materials) và quang điện tử: Cung cấp bảng dữ liệu tham chiếu chính xác về phổ năng lượng exciton, mức độ ảnh hưởng của hiệu ứng điện môi nền (h-BN, $\text{SiO}_2$) và đáp ứng từ - quang của phot-pho đen.
- Phần giá trị tham khảo cốt lõi: Phụ lục A, B, C trình bày tường minh từng bước biến đổi đại số tách biến Hamiltonian và biểu thức tích phân giải tích ma trận thế Keldysh Fourier, có thể áp dụng trực tiếp cho các đề tài nghiên cứu tương tự trên các hệ vật liệu dị hướng khác (như $\text{TiS}_3, \text{ReS}_2$).
Câu hỏi thường gặp
1. Tại sao tương tác Coulomb thông thường không áp dụng chính xác cho exciton trong đơn lớp BP mà phải sử dụng thế Keldysh?
Trong vật liệu hai chiều, các đường sức điện trường giữa điện tử và lỗ trống không chỉ truyền trong lớp vật liệu mà còn lan truyền ra môi trường điện môi xung quanh do độ dày vật liệu đạt kích thước nguyên tử. Hiệu ứng chắn điện môi bị suy giảm mạnh ở khoảng cách ngắn khiến thế tương tác Coulomb $1/r$ bị sai lệch lớn ở các trạng thái năng lượng thấp ($n = 1, 2$). Thế Keldysh hiệu chỉnh độ dài chắn $r_0$ và mô tả chính xác tương tác ở cả khoảng cách ngắn lẫn khoảng cách lớn, cho kết quả phù hợp với thực nghiệm.
2. Vai trò của vector giả động lượng $\vec{\mathcal{P}}$ trong khóa luận là gì?
Khi đặt hệ hạt mang điện trong từ trường đều, toán tử động lượng thông thường không giao hoán với Hamiltonian do xuất hiện các số hạng thế vector phụ thuộc tọa độ. Vector giả động lượng $\vec{\mathcal{P}} = \vec{P} - \frac{e}{2}\vec{B}\times\vec{r}$ là đại lượng bảo toàn ($[\vec{\mathcal{P}}, H] = 0$), đóng vai trò then chốt giúp xây dựng toán tử biến đổi đơn vị $U$, từ đó tách hoàn toàn chuyển động khối tâm $(X, Y)$ ra khỏi chuyển động tương đối $(x, y)$.
3. Vì sao số lượng tử từ $m$ không còn được sử dụng để xây dựng bộ hàm cơ sở trong đơn lớp BP?
Do cấu trúc tinh thể trực thoi của đơn lớp BP có tính bất đẳng hướng cao ($m_{ex} \neq m_{ey}, m_{hx} \neq m_{hy}$), Hamiltonian của hệ không còn tính đối xứng quay trong mặt phẳng ($x \leftrightarrow y$), dẫn đến toán tử moment động lượng quỹ đạo $\hat{L}_z$ không giao hoán với Hamiltonian ($[\hat{L}_z, H] \neq 0$). Do đó, $m$ không còn là số lượng tử tốt, buộc tác giả phải xây dựng bộ hàm cơ sở đại số trực tiếp theo cặp chỉ số dao động tử $|n_1, n_2, \omega\rangle$.
4. Từ trường ngoài phá vỡ tính suy biến của các mức năng lượng exciton trong đơn lớp BP như thế nào?
Khi không có từ trường ($B = 0\text{ T}$), các cặp trạng thái đối xứng hoán vị chỉ số $(n_1, n_2)$ và $(n_2, n_1)$ (như $(0,1)$ và $(1,0)$) có mức năng lượng hoàn toàn trùng nhau do tính đối xứng biểu thức. Khi có mặt từ trường ($B \neq 0$), từ trường phá vỡ tính suy biến này thông qua các số hạng ghép cặp động lượng - từ trường, làm cho các mức năng lượng phân tách thành hai nhánh riêng biệt (tách mức năng lượng).
5. Sai số của kết quả tính toán năng lượng trạng thái cơ bản trong khóa luận so với các công bố quốc tế là bao nhiêu?
Đối với bài toán đơn lớp BP tự do (BP-FS), mức năng lượng trạng thái cơ bản tính toán đạt $-0{,}712\text{ eV}$, trùng khớp hoàn toàn ($0{,}0%$) với kết quả của Paulo et al. (2019) và lệch $1{,}2%$ so với Henriques et al. (2020). Đối với BP đặt trên các đế điện môi h-BN và $\text{SiO}_2$, sai số tương đối dao động từ $0{,}6%$ đến $2{,}6%$, khẳng định độ chính xác cao của gần đúng bậc không.
Kết luận
Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Lê Đỗ Đăng Khoa đã giải quyết thành công bài toán xác định phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp phot-pho đen bất đẳng hướng dưới tác dụng của từ trường ngoài bằng phương pháp đại số kết hợp lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết. Công trình đã xây dựng toán tử Hamiltonian đầy đủ không lược bỏ số hạng, thiết lập hệ yếu tố ma trận giải tích thông qua phép biến đổi Levi-Civita và đại số toán tử sinh - hủy. Kết quả tính toán số trên Python cho thấy sự phù hợp với các công bố quốc tế, làm rõ hiện tượng biến dạng mật độ xác suất và sự tách mức năng lượng dưới tác dụng của từ trường. Đây là tiền đề lý thuyết và phương pháp tính toán quan trọng cho các nghiên cứu tiếp theo về các trạng thái chuẩn hạt phức hợp trong vật liệu hai chiều dị hướng.
