Chương 1: EXCITON HAI CHIEU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG DEU Phan đầu trong chương trình bày một cách tong quan, ngắn gọn về phương pháp toán tử FK và quy trình áp dụng phương pháp vào các bài toán đã được trình bày ở các công trình [1], [2]. [3], [17] bao gồm bốn bước : — Hamiltonian được đưa về dạng toán tử sinh hủy. — Hamiltonian được tách thành hai thành phan: thành phần chính đã có nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn — Ta tìm nghiệm chính xác bậc zero ~ "Ta tìm nghiệm số chính xác. Phân tiếp theo là xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều.
Trong phan này, chuyên động của exciton được thành tách hai chuyển động : ~ Chuyển động tương đối giữa electron va lỗ trồng trong trường xuyên tâm Coulomb chịu tác dụng của điện trường ~ Chuyển động của hạt tự đo. Sau đó, phương trình Schrödinger mô tả chuyên động tương đối của lỗ trông vả electron được đưa ve dạng không thứ nguyên để thuận tiện cho việc tính toán. Hamiltonian trong phương trình thu được ở đây có số hạng gây khó khăn do có thành phan ở mẫu số. van dé nay sẽ được giải quyết khi áp dụng phép biến đổi Levi-Civita.
Cuối cùng, phương pháp toán tử FK được áp dụng cho exciton hai chiều trong điện trường dé tìm ra nghiệm số chính xác. ở bước cuối trong quy trình áp dụng phương pháp ngoài việc sử dụng sơ đô vòng lặp dé tìm ra các bỗ chính bậc cao dé thu được nghiệm số chính xác, ta có thé giải hệ phương trình tuyến tinh được trình bày ở phan sau.1 Phương pháp toán từ FK Phương trình Schrödinger là phương trình động lực học cơ bản của cơ lượng tử, nó đóng vai trỏ tương tự phương trình định luật Il Newton trong cơ học cô điển. Vi vậy các bài toán chuyên động phi tương đối tinh của hệ vật lý trong thé giới vi mô đều dan tới việc giải phương trình nay, Day là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, nhờ đó ta có thể khảo sát sự biến đôi trạng thái của hệ theo thời gian. Trường hợp phương trình Schrödinger có sự phân ly biến số 6 giữa thời gian vả tọa độ người ta gọi là phương trình Schrödinger dừng, đây là trường hợp đặc biệt nhưng chiếm đa số trong các hệ vật lý thực được nghiên cứu.
Nghiệm của nó là hàm sóng mô tả trạng thái và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét [14]. Tuy nhiên, nghiệm giải tích chính xác của phương trình nay chỉ được xác định trong một số trường hợp đơn giản tiêu biểu như bài toán nguyên tử hydro, đao động tử điều hòa. hạt chuyên động trong hồ thé vuông géc,. Con đối với bai toán phức tap hơn thì phải dùng đến các phương pháp gan đúng có thé kể đến phương pháp nhiều loạn và biến phân mà trong đó phương pháp nhiễu loạn được xem là một phương pháp kinh điên được sử dụng của cơ học lượng tử.
Phương pháp toán tử FK được đặt tên theo hai giáo sư Feranchuk và Komarov thuộc nhóm nghiên cứu ở đại học Belarus đã xây dựng phương pháp này vào những năm 1980 cho bài toán dao động tử điều hòa bậc bốn [12]. Phương pháp này đã được phát triển và ửng dụng thành công cho nhiều bai toán vật lý khác nhau như bai toán vật lý chất ran, lý thuyết trường, vật lý nguyên tử và phân tử [5], [6], [11]. Phương pháp toán tử FK là một trong những phương pháp tìm nghiệm số chính xác bao gồm cả hàm sóng lẫn năng lượng cho phương trình Schrédinger. Y tưởng chính của phương pháp này tương tự như thuyết nhiều loan tức là tách thành phần Hamiltonian thanh hai thành phan, trong đỏ thành phần chính đã có nghiệm chính xác và phần còn lại là nhiễu loạn.
Tuy nhiên, việc phân chia Hamiltonian trong lý thuyết nhiễu loạn dựa vào yếu tố vật lý, phần nhiễu loạn thường liên quan đến tương tác trường ngoài và phải đủ nhỏ mới áp dụng phương pháp này. Còn đối với phương pháp toán tứ việc phân chia hai thành phan này chỉ dựa vào hình thức toán tử trong Hamiltonian. Ngoải ra, phương pháp toán tử FK con đưa vào một tham số tự do @ để hiệu chỉnh sự tương quan vẻ độ lớn của thành phan chính va nhiễu loạn nhằm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết nhiều loạn. bán kính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn được làm tăng, cho phép xác định nghiệm số chính xác bằng số với độ chính xác tùy ý.
Trong một số công trình trước [1], [3] việc áp dụng phương pháp này dé giải phương trình Schrödinger thông thường tuần theo các bước sau: Bước một: Hamiltonian được đưa vẻ biêu diễn đại số A(t.8 ) (1) bang cách chuyên các biến số động lực qua các toán tử sinh hủy: @ dx trong đó @ là tham số thực đương được đưa vào dé tôi ưu quá trình tính toán. Hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hủy: 1 4 a, =] (1.3) là công cụ chính trong qua trình tính toán. Bước hai: Tách Hamiltonian thành hai thành phần: H (â. B,a@)+VTM (4,4, Bo), (14) trong đó thành phan thứ nhất là #3,“* (a°4, $,e) chi chứa toán tir trung hòa, đây là thành phần chính đã có nghiệm chính xác, thành phần còn lại là V" (4,a", B.@) được coi như là thành phần nhiễu loạn.
Như vay, tương tự phương pháp nhiễu loạn, trong phương pháp toán tử FK, Hamiltonian cũng được tách thanh hai thành phan: thành phần chính #7,°" (ã'á.œ} có nghiệm chính xác và thành phần ÿ®w (â.â”, $e) đóng vai trò thành phần nhiễu loạn. Tuy nhiên, việc phân chia lúc này chỉ dựa vào hình thức số hạng của Hamiltonian. Hệ số phi điều hòa / có mặt trong cả hai thành phần của Hamiltonian nên một tham số tự do ø phải được đưa vào; tham số nay không có mặt trong Hamiltonian toàn phần H{â.â", /ø) nhưng xuất hiện trong hai thành phan trên. Ta có thé thay đôi giá tri ø dé làm cho thành phần V°" (4,4*,8,@) thực sự nhỏ nhằm thỏa mãn điều kiện của thuyết nhiễu loạn với độ lớn bất kì của trường ngoài.
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình: H,TM (¿'á.5) Ta thay toán tử A,°" (4°4,8,@) giao hoán với toán tử á'â cho nghiệm riêng là: |n(2)) = tae y 0(2)).6) fe) đây ta sử dung khái niệm và kí hiệu Dirac dé định nghĩa, trong đó hàm sóng (1.6) được gọi là vector trạng thái và trạng thái chân không |0(@)) được định nghĩa: â(ø)l0)=0, (0/0) =1.7) Từ hệ thức giao hoán (1.3) ta dé dang chứng minh được 4’ 4|n)=n|n) từ đó có thé suy ra được trị riêng của H,,°" (â'â, /, o) là nang lượng gan đúng bậc zero. Bước bốn: Xác định yếu tô ma trận tìm ra nghiệm số chính xác Bước này ta có thé sử dụng sơ 46 của lý thuyết nhiễu loạn dé tính các bỗ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao chúng ta có thể sử dụng sơ đồ vòng lặp có ¥ tưởng sau: Ham sóng chính xác của bài toán có thê được biéu diễn chồng chập các trạng thái (1. to) (18) hen Thay ham song (1.8) vao phuong trinh Schrédinger, ta thu duge he phuong trinh sau: À, CMa; ta (xa (1.#n} Rad Ran Đề có được một thuật toán nhanh va tiết kiệm tải nguyên, ta sử dụng so đồ dưới đây.
Ham sóng gan đúng ở vòng lặp thứ (s) được định nghĩa như sau: acs y)=|n+ 3 Cok}, (1.10) k=rex[(,==s| với các hệ số € Áo) được xác định theo từng vòng lặp.10) vào phương trình Schrödinger, ta thu được hệ phương trình ứng với gần đúng bậc (s)nhu sau: nes E?=H„+ > My (1.12) K=muwdx=s} ta Các yếu tố ma trận trong các sơ đỗ trên được kí hiệu như sau: Hy =(k|A|kS), V„ =(7|Ý““|R): (1.13) cac yếu tố ma trận nay có thé xác định được bằng các biến đôi đại số dựa vào hệ thức (1.2 Phương trình Schrédinger của exciton 2D trong điện trường đều Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường đặt theo phương song song với bề mặt vật liệu e=(e.0) là phương trình không dừng. Vi exciton có thê bị ion hóa và thời gian sống của nó là hữu hạn, nên cần phải sử dụng phương trình Schrédinger phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, giả thuyết rằng thời gian sông của exciton tương đối dai, nên ta có có thé áp dụng phương trình Schrödinger dừng có đạng như sau: ÑW(x,y)= EV (x,y), (1.14) Vi chuan hat exciton bao gom mét 16 trong mang dién tich duong va mét electron mang điện tích âm tương tác với nhau qua thé Coulomb, về cầu tạo giả hạt này tương tự như nguyên tử hydro nên Hamiltonian lúc này bao gồm ba thành phần sau: i? 2 he F & 5 = ` ag Z %. ^ Ze ` cV¿———-VỶ toán tứ động năng của 16 trông va exciton; ==——“———:là 2m, 2m, 4£ |r, — | thé tương tác Coulomb và 2 =ee(r, ¬ ) là toán tử thế năng của lỗ trống va electron đo điện trường gây ra.
Phương trình Schrédinger của exciton 2D trong điện trường đều: —= Ui 2m, ; v2 = h` 2m, Ze’ ; v? ——————=.15) + với mị„m) là khôi lượng hiệu dụng của lỗ trong va electron, #„ là hing số điện. 10 Ngoài ra, việc electron và lỗ trống trong exciton tương tác với nhau, các hạt này còn chịu tương tác của các vi hạt khác trong cấu trúc mạng tinh thê. Vì thé ở đây ta sử dụng phép gan đúng khối lượng hiệu dụng, mối liên hệ giữa khối lượng hiệu dụng với năng lượng: SA. == ) : trong đó & là vector số sóng có độ lớn k= < „ dé mô tả m hd? 2 chuyên động của điện tử và lỗ trống trong trường tinh thé.
Khối lượng hiệu dụng tỉ lệ tuyến tính với khối lượng tĩnh của điện tử m, có thé mang giá trị âm. dương hoặc vô cùng thy vào trạng thai của điện tử. Hamiltonian bao gồm hai thành phần động năng và thể năng do điện trường gây ra nên có thé tách thành hai phan bao gồm của lỗ trống va electron, tuy nhiên thành phân thé Coulomb ta không thé thực biện tương tự. Vi vậy, ta viết (1.15) trong hệ tọa độ chuyên động khối tâm và chuyên động tương đối hai hạt.
Với 7,Ñ lần lượt vector tọa độ mô tả chuyên động tương đối của electron và lỗ trồng, chuyên động khối tâm của hệ giả hạt được định nghĩa như sau; ĐẸP ng 1,r r= Ree (1.16) HH, +m, Phuong trinh (1.15) duge viet lai nhu sau: ^ RẺ «¿ #F v„ Zé ~= Ñ=-—V?- : -V5- de +eér, (1.17) 2, 2M 47e,r với we =—= tc,M` =m + mi. Hamiltonian của ta có thê tách thành hai thành phan: H=H,+H,, (1.19) trong do: A, =-2 0? - + ear, 2, 47c„r ^ ir? 3 Hạ ~~ ay Vạ.