Chương I: khái quát hóa lại kiến thức về chuẩn hạt phonon để cho thấy rằng có thê hiểu nó như là một lượng tử của dao động mang. Nó có những tinh chất của một hạt lượng tử và quan trọng nhất là nó có sự tương tác. _ Chương II: trình bay về tương tac electron- phonon trong mạng tinh théion với cách biểu diễn toán tử Hamilton khác. Thông thường thì trong các sách khi viết về tương tác electron — phonon, cúc tác giá thường viết biểu thức của toán tứ Hamilton trong biểu diễn se sé lip day cho cả thành phan electron va phonon, thực tế trong những công trình nghiên cứu gắn đây, người ta vẫn giữ nguyên dạng ban đầu thành phần Hamilton của clectron ma không viết trong biểu diễn số lắp đây.
Theo hướng đó, trong chương này sẻ trình bày cách viết toán tử Hamilton cho tương tác electron - phonon trong mạng tinh théion. Van dé này có thé tim thấy trong tác phẩm Lý thuyết chat rắn của Davudov, sách tuyển tập các van dé vẻ polaron _ Chương II: để tiếp cận với một trong những phương pháp nghiên cửu hiện đại, tác giả làm quen với mô hình tuyến tính của giáo sư Komarov(số 539.1995) dựa trên những cơ sở lý thuyết của mẫu Bogolubov. Thường thì đối với các mô hình trường, phần tương tác giữa electron và trường lượng tử luôn có thừa số có dạng €“” và trong các tính toán cụ thể, người ta pee cho gan đúng bang | hoặc bằng 1+ikr. Điểm khác biệt hẳn trong mô hình tuyên tinh là phép gần đúng được sử dụng một cách hoan hảo hơn va giữ lại “0? được thành phan phụ thuộc vào năng lượng phonon theo dạng e *“.
Ngoài ra, mỏ hình gần đúng này cho lời giải chính xác và cho phép diễn giái các thành phần của Hamilton một cách rõ rang. Trong chương này, tác giả làm quen, tìm hiểu kĩ hơn một số tính toản cụ thể tuân thu theo trình tự xây dựng mô hình của giáo su Komarov; phát triển kết quá với việc sử dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica, phân tích và về đô thị. SVTH: Ngô Thị Phương 5 GVHD: PGS.TS Nguyén Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP Với những kiến thức tìm hiểu được từ mô hình nay, chúng ta có thé phát triển tiếp lên cho bai toán polaron trong điện từ trường, tính các mức năng lượng của polaronở trang thai kich thích. ỷF——————————ễ= SVTH: /Vẹô Thị Phương 6 GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Văn Hoàng LUẠN VAN TOT NGHIỆP Chương |: PHONON - LƯỢNG TU CUA DAO DONG MẠNG Chương nay mục đích để chi rõ chuẩn hạt phonon là lượng tử của dao động mạng, đây là sản phẩm thuần tủy của lý thuyết lượng tử.
Vi vậy phan này sẽ trình bảy lại đao động mạng tính thể một chiều đơn nguyên tử để thấy rõ quy luật tán sắc trong dao động ,mạng. Thêm nữa la phan trình bay dao động mạng một chiều hai nguyên tử dé thấy rd sự khác biệt giữa nhánh quang học va nhánh âm học. Và bang việc đưa vảo khái niệm phương thức chuẩn dé để dang hơn trong việc thực hiện quá trình lượng tử hóa dao động mạng. Tiện ích khi đưa vào khái niệm nay là ta đã xét dao động mạng như một tập thẻ dao động ma không xét đến đao động của từng nút mạng.
Nói khác đi dao động mạng được xét như một tập hợp của các mode dao động khác nhau. Khi lượng tử hóa lên, cứ một mode đao động tương ứng với một dao động tử điêu hòa và mỗi kích thích của nó xem như một chuẩn hạt, gọi là phonon. Tat cả các kiến thức trên được trình bày khá day đủ trong các giáo trình vật lý chất rắn dùng để giảng dạy cho sình viên khoa Vật lý của nhiều trường Đại học như: sách “Vat lý chất rắn”_ Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình NXB Giáo Dục 1992, sách “Vat lý chất rắn” Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh_NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh “2002; “Giáo trình vat lý chất rin”' Nguyễn Văn Hùng Đại học quốc gia Hà Nội. Do vậy, trong chương này, tác giả chỉ khái quát lại kiến thức và chỉ dừng lại ở dao động một chiêu, riêng phần phương thức chuẩn đưa ra dưới dạng tông quát nên khảo sát ở dang ba chiều.
DAO DONG CUA MẠNG TINH THE MOT CHIEU 1) Thể nào là mạng tinh thé một chiều ? Đó là một dãy hay chuỗi các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên một đường thăng. Các nguyên tử hay phan tử chuyển động đao động quanh vị trí cân bằng. Do sự tương tác giữa các hạt. các nguyên tử chuyên động « bám chặt » lây các nguyễn tử lần cận, chúng tạo ra chuyển động tập thẻ giống như sự lan truyền của sóng dan hỏi trong mạng tinh thẻ.—>=TTyyễTễTễTễïẮÐFẮẪ—è—ừ—èễèèễèễèèễèễèễ—èễèễèễừèễèừèèFừFèFỄFEFỄFE TZzr-mTBTTTT-T-T-—TBASESBSESEE-Z-i SVTH: Ngô Thị Phương 7 GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lẻ Văn Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP Tùy vào phương dao động cua các nguyên tử mà người ta phân ra làm hai loại sóng : 1.
Sóng dọc : phương dao động của các nguyền tử tring với phương truyền sóng. > Sóng ngang : phương dao động của các nguyên tử vuông góc với phương truyền sóng. Trường hợp mạng tỉnh thé một chiéu đơn nguyên tử : _ Xét dao động vuông góc với dãy nguyên tử gồm các nguyên tử giống nhau, khỏi lượng M, cách nhau khoảng a. Vị trí của các nguyên tử có thé được xác định bằng vectơ tịnh tiến : R, =na, n la sở nguyên chỉ vị trí cân bằng của các nguyên tử trong chuỗi.
Giả sử lúc t = 0, nguyên tử thứ n = 0 dịch chuyển đoạn u, ra khỏi vị trí cânbằng ; w„( £) là độ dịch chuyên ở thời điểm t của nguyên tử thứ n ra khói vị trí cân bằng của nó tại điểm có toa độ x„= na. Nếu độ dịch chuyển của các nguyên tử ra khỏi vị trí cân bằng là rất nhỏ so với rf Resta cách a giữa hai nguyên tử kẻ nhau thi lực tương tác giữa các nguyên tử có thể xem gần như là đàn hồi Theo định luật Hooke, các lực đàn hồi này có độ lớn tỉ lệ với độ dịch chuyền. _ Các nguyên tử của chuỗi xem như liên kết với nhau bằng các lò xo nhỏ có hing số dan hồi làe. Lúc nảy độ dịch chuyển u, mô tả dao động của nguyên tử thứ n trong vùng lân cận quanh vị trí cân băng.
Do đó vị trí của nó được xác định như sau: 1 ,=Ẩ. Vận tốc của dao động là đạo hảm bậc nhất của tọa độ x: ; =u. { do R„ là hang số) Gia tốc của dino:động: = lạ. Phương trình chuyển động của nguyên tử thứ n dang tổng quát 1a: Mu, =F.
F; la lực tac dụng lên nguyên tử thứ n (xem phụ lục A0.2) => yễằễïễ—————TT=zZzZỶZôỶsôẳ-ssasasasasasay.nynyngnngnggwwơơan Ty SVTH: Ngô Thị Phương 8 GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhap- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VAN TOT NGHIỆP Suy ra M1 a =C(u,,, al ®+ u,_,~2u,).1) Xét sóng truyền đọc theo chuỗi nguyên tử „ tim nghiệm cúa phương trình dưới dạng một ,sóng lan truyền tuần tự theo thời gian theo quy luật hàm số mũ exp(- Iú)1).với cùng tân số góc 0o. l ) có dạng: u„ =u, eXpÍ( Kna = @fÌ; (I.2) với „ xác định độ lệch của nguyên tử thứ n = 0 ra khỏi vị tri cân băng ở thời điểm t=0. 3 K= ¬ là số sóng, K là vectơ sóng, cỏ cùng phương chiều với hưởng lan truyền của sóng. Bang cách thay nghiệm trên vào phương trình (1.1), ta cỏ : Mo’ = ~C[exp(iKa)+ exp(~Ka}~ 2] ‘ (1.3) Sử dụng công thức Euler : e“* =cos Ka + isin Ka, do dé w= = (I-¢0s Ka) ==° sin’ ne h (1.4) M 2 nghĩa là I Fal .5) Đây là hệ thức tán sắc của dao động trên chuỗi tuyến tính một chiêu.
Sự tán sắc là tính chất thể hiện sự lệch khỏi quy luật tuyến tính. ở đây hệ thức tán sắc diễn tả moi liên hệ giữa tan số góc œ với độ lớn của vectơ sỏng K. —_——————ễ——> SVTH: Ngô Thị Phương 9 GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP Nh@in xét (I.Š) : > œ tuân hodn với chu kì 2 z = Dat K+ =k" thi nghiệm của phương trình dao động lúc này a (| meee) ¬ pita „I(Kee~su) H„ = We oe =u, c?"“ =1,Wn=0,1,2. Nhu vậy vecto sóng K,X* đều mô tả cùng một trang thái dao động.
nghĩa là chúng tương đương nhau vẻ tinh chat vật lý. Chọn khoảng —< K <” là khoảng a a giới han chứa các gia trị kha di của œ được xét trong không gian mang đảo cũng là mạng một chiều có chu kì ar a mơ x Khoảng giá trị ` sKs = trong mang đáo gọi là vang Brillouin thứ nhất.0 Ving Brillouin thir nhat Hình 1: Quan hệ tán sắc nhánh âm học SVTH: Xeô Thị Phương 10 GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP a > Van tắc nhóm : là vận tốc lan truyền năng lượng dao động mạng dw Taco: Y= aK ', hay Ve = grad, (K \. ° Với những giá trị K nhỏ, nghĩa là Ka<<l,K có giá trị gan tâm ving Bnillouin : !. Ka Ka “ Cl] ss £ ` SH alr ï lúc đó @= = K : œ phụ thuộc tuyến tính vào K.
Trường hợp này giống như trường hợp cúa sợi dây dan hỏi liên tục có mật độ khôilượng là ø. | cy M Van tốc nhóm là : ¥, = >> *| — %. Trong trường hợp nay ta thấy các dao động có tin số nhỏ ing với bước sóng lớn. Những kích thích dao động tương ứng với sự lan truyền song âm trong tinh thé, nên ta gọi nhánh dao động này là nhánh âm học.
° Với những giá trị của K lon, K thuộc vùng biên của vùng Brillouin ĐEN: eae Pe ° Với K=+ (K có giá trị tại biên của vùng Brillouin) thì v„=0. a e Điều kiện giới han : Dé thuận lợi cho việc giải bai toán dao đông mang, Born var Karman đưa ra 1 điều kiện vẻ tính tuần hoàn của chuỗi tuyến tính: trạng thái dao động tại nút mạng thứ n giống như trạng thai dao động ở nút mạng (n+N) N là số nguyên tử trong chuỗi tuyến tính đang xét. Ta có u, =u, ©Xp Í( Kna = @f} , t ụ e x p i ( K ( n + N ) a - a t) 7 u , e * % Hu y = ———>==mymryymc Ty T"ïẮ——ễễễtTT—rrrsrsaan SVTH: Ngé Thị Phương HH GVHD: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp- TSKH Lê Van Hoàng LUẬN VĂN TOT NGHIỆP Nếu e“**“ =1 thiu,= u„«x „ suy ra KNa =2nz hay K-— Na L4 PC <K< a Dodo = (1.6) sas 2 PB Ro thay ring vùng (1.6) trùng với vùng Brillouin của vecto sóng của dao động.