Khóa Luận Tốt Nghiệp: Ứng Dụng Phương Pháp Tọa Độ Để Giải Một Số Bài Toán Sơ Cấp

Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu tốt nghiệp toán tin ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp, vận dụng lý thuyết vào thực tế, đề xuất giải pháp cụ thể cho vấn đề

• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Toán Tin Ứng Dụng
• Đề tài: Khóa Luận Tốt Nghiệp Toán Tin Ứng Dụng Phương Pháp Tọa Độ Để Giải Một Số Bài Toán Sơ Cấp
• Loại tài liệu: khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC QUAN TRỌNG
• 1.1. Hệ trục tọa độ Afin- Descartes
• 1.2. Miền trên mặt phẳng xác định bởi các bất phương trình
• 1.3. Góc- Khoảng cách
• 2. CHƯƠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
• 2.1. Vấn đề 1: Các bài toán sử dụng bất đẳng thức tam giác
• 2.2. Vấn đề 2: Các bài toán sử dụng tính chất của tích vô hướng
• 2.3. Vấn đề 3: Các bài toán có điều kiện
• 2.3.1. Dạng 1: Điều kiện là các đẳng thức
• 2.3.2. Dạng 2: Điều kiện là các bất đẳng thức
• 3. CHƯƠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ LỚN NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ
• 4. CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
• 4.1. Vấn đề 1: Giải và biện luận phương trình
• 4.2. Vấn đề 2: Giải và biện luận hệ phương trình
• 5. CHƯƠNG 5: GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
• 5.1. Vấn đề 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
• 5.2. Vấn đề 2: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
• 5.3. Vấn đề 3: Các bài toán về sự song song
• 5.4. Vấn đề 4: Các bài toán về sự vuông góc
• 5.5. Vấn đề 5: Góc và khoảng cách
• 5.6. Vấn đề 6: Các bài toán tìm tập hợp điểm
• PHỤ LỤC
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về khóa luận tốt nghiệp toán tin ứng dụng phương pháp tọa độ

Khóa luận tốt nghiệp về toán tin ứng dụng với phương pháp tọa độ là một chủ đề quan trọng trong việc phát triển tư duy toán học. Phương pháp tọa độ không chỉ giúp sinh viên giải quyết các bài toán hình học mà còn mở rộng khả năng tư duy trừu tượng và phân tích. Việc áp dụng phương pháp này vào các bài toán sơ cấp sẽ giúp sinh viên nắm vững kiến thức cơ bản và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề.

1.1. Khái niệm về phương pháp tọa độ trong toán học

Phương pháp tọa độ là một công cụ mạnh mẽ trong toán học ứng dụng. Nó cho phép mô tả các đối tượng hình học bằng các tọa độ trong không gian, từ đó dễ dàng thực hiện các phép toán và chứng minh.

1.2. Lợi ích của việc áp dụng phương pháp tọa độ

Việc sử dụng phương pháp tọa độ giúp sinh viên phát triển khả năng tư duy logic và phân tích. Nó cũng giúp sinh viên dễ dàng hình dung và giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.

II. Vấn đề và thách thức trong việc áp dụng phương pháp tọa độ

Mặc dù phương pháp tọa độ mang lại nhiều lợi ích, nhưng việc áp dụng nó vào giải quyết các bài toán sơ cấp cũng gặp phải một số thách thức. Sinh viên thường gặp khó khăn trong việc chuyển đổi giữa các hình thức biểu diễn khác nhau và trong việc hiểu rõ các khái niệm hình học liên quan.

2.1. Khó khăn trong việc chuyển đổi giữa các hệ tọa độ

Việc chuyển đổi giữa các hệ tọa độ khác nhau có thể gây nhầm lẫn cho sinh viên. Điều này đòi hỏi sinh viên phải nắm vững các quy tắc và công thức liên quan.

2.2. Thách thức trong việc hiểu các khái niệm hình học

Nhiều sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng các khái niệm hình học vào thực tiễn. Việc thiếu hiểu biết về các tính chất hình học có thể dẫn đến sai sót trong quá trình giải bài toán.

III. Phương pháp giải bài toán sơ cấp bằng tọa độ

Phương pháp tọa độ có thể được áp dụng để giải quyết nhiều loại bài toán sơ cấp, từ chứng minh bất đẳng thức đến tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số. Việc nắm vững các phương pháp này sẽ giúp sinh viên tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.

3.1. Giải bài toán chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp tọa độ có thể được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức trong hình học. Việc áp dụng các tính chất hình học và đại số sẽ giúp sinh viên tìm ra lời giải chính xác.

3.2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số là một kỹ năng quan trọng. Sinh viên cần nắm vững các công thức và quy tắc liên quan để áp dụng hiệu quả.

IV. Ứng dụng thực tiễn của phương pháp tọa độ trong toán học

Phương pháp tọa độ không chỉ có giá trị trong lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống hàng ngày. Từ việc thiết kế đồ họa đến phân tích dữ liệu, phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực.

4.1. Ứng dụng trong thiết kế đồ họa

Trong thiết kế đồ họa, phương pháp tọa độ giúp các nhà thiết kế tạo ra các hình ảnh và mô hình chính xác. Việc sử dụng tọa độ giúp dễ dàng điều chỉnh và thay đổi các yếu tố trong thiết kế.

4.2. Ứng dụng trong phân tích dữ liệu

Phương pháp tọa độ cũng được sử dụng trong phân tích dữ liệu để mô tả và trực quan hóa các mối quan hệ giữa các biến. Điều này giúp các nhà phân tích đưa ra quyết định chính xác hơn.

V. Kết luận và tương lai của phương pháp tọa độ trong toán học

Phương pháp tọa độ sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong việc giảng dạy và nghiên cứu toán học. Việc phát triển và cải tiến các phương pháp này sẽ giúp sinh viên nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp trong tương lai.

5.1. Tương lai của phương pháp tọa độ trong giáo dục

Phương pháp tọa độ sẽ tiếp tục được tích hợp vào chương trình giảng dạy toán học, giúp sinh viên phát triển tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề.

5.2. Nghiên cứu và phát triển các ứng dụng mới

Nghiên cứu về phương pháp tọa độ sẽ mở ra nhiều hướng đi mới trong việc ứng dụng toán học vào thực tiễn. Các ứng dụng mới sẽ giúp nâng cao hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG I: NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC QUAN TRỌNG 1- Hệ trục tọa độ Afin- Descartes, 2- Miền trên mặt phẳng xác định bởi các bất phương trình. 3- Góc- Khoảng cách CHƯƠNG II: CHUNG MINH BAT DANG THUC Vivn đề 1: Các bài toán sử đụng bất đẳng thức tam giác -e > co - uty + < |ư||v | “| _® _* AB + |BC > Vấn đề 2: Các bài toán sử dụng tính chất của tích vô hướng J - ~ u.v Siu Vấn dé 3: Các bài toán có diéu kiện Dạng 1: Điều kiện là các đẳng thức. Dang 2: Diéu kiện là các bất đẳng thức. CHƯƠNG III : TÌM GIA TRI NHỎ NHẤT VA LỚN NHẤT CUA MOT HÀM SỐ CHƯƠNG IV : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1: Giải và biện luận phương trình.

Vấn dé 2: Giải và biện luận hệ phương trình Ö-—————e—— SVTH : HOÀNG LÊ CƯỜNG rang 2 LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY CHƯƠNG V: GIẢI TOAN HINH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHAP TOA ĐỘ Vấn đề 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Vấn để 2: Chứng minh 3 đường thẳng đồng qui. Vấn đề 3: Các bài toán về sự song song. Vấn dé 4: Các bài toán về sự vuông góc.

Vấn dé §: Góc và khoảng cách. Vấn dé 6: Các bài toán tìm tập hợp điểm. a_ Kết luận: Nêu lêu những thuận lợi và kết quả thu được của để tài. Do đây là lần đầu làm luận vin nên không tránh khỏi được những sai sót, tất mong được sư đóng góp ý kiến của quí thay cô để tôi bổ sung và sửa chữa Nhân dip này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành: đối với thầy giáo GS -TS: NGUYEN MONG HY đã nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận van.

Tôi cũng xin phép cảm dn ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư Pham 'Í'PHCM đã tao điểu kiện cho tôi được làm luận vẫn để tp đượt làm công tác nghiên cứu khoa học. Người thức hiện HOÀNG LE CƯỜNG Sinh viên khoa Toón-ÐĐHSP, TPHCM Niên khóa 1997-2001 SVTH : HOÀNG LÊ CƯỜNG Trang 3 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY CHUONG I : 7. NHAC LAI MOT SỐ KIEN THỨC QUAN TRỌNG 1 - HỆ TRUC TOA ĐỘ AFIN-DESCARTES HỆ TRỤC TOA ĐỘ AFIN: 1. Trên mặt phẳng: - Hệ tọa độ: Hệ tọa độ Afin hay còn được gọi y là hệ trục tọa độ xiên là hệ gồm 2 trục Ox va Oy cắt + nhau tại O.

Trên Ox và Oy lần lượt gắn cho 2 vectơ = = đơn vị ¢, và e, (H1). Điểm O được gọi là gốc tọa độ. 0 an : x - Tọa độ vectd : Trên mặt phẳng gắn với hệ trục tọa độ Afin Oxy, cho một vecid tùy ý „= AR. Khi đó tổn tại một cặp số thực có thự ty (x,y) sao cho Bs =x.

ey: ta gọi cặp số (x,y) là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ đñ cho và kí hiệu ụ. (x, y) - Tọa độ điểm:Trên mặt phẳng, gấn với hệ trục tọa độ Afin Oxy, một điểm Mtùy ý. Khi đó tọa độ của vecto OM cũng là toạ độ của điểm M. Trong không gian: - He tọa độ: Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz cắt nhau tại O và không đồng phẳng.

Trên các trục Ox, Oy và Oz lần lượt gin cho 3 vectơ đơn vị €, > >» (H2). Hệ trục đó được gọi là Hinh 2 hệ trục tọa độ afin trong không gian. - Tọa độ vectơ: Trong không gian với hệ trục tọa độ afin Oxyz và một vectd u tùy ý. Khi đó tổn tại 1 bộ số thực có thứ tự (x,y,z) sao cho u=xe, +y.

Khi đó bộ 3 số (y2) được gọi là tọa độ của vec tơ u đối với hệ trục tọa độ đã cho và kí hiệu u =(x,y,2) SVTH : HOANG LE CƯỜNG Trang4 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : NGUYỄN MỘNG HY - Tọa độ điểm : Trong không gian, tọa độ điểm của điểm M tùy ý đối với hệ trục tọa độ afin Oxyz là tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục tọa độ đó.2) thìM có tọa độ (z,y,2) và kíhiệu OM=(xy. Các công thức: - Trong mặt phẳng gắn với hệ trục tọa độ afin Oxy cho A(XA,YA). HỆ 'TRỤC TOA DO DESCARTES : 1. Hệ trục : - Trên mặt phẳng cho hệ trục tọa độ afin Oxy.

Nếu Ox vuông góc với Oy thì ta gọi hệ trục khi đó là hệ trục tọa độ Descartes trên mặt phẳng. - Tương tự trong không gian cho hệ trục tọa độ afin Oxyz. Nếu các trục Ox, Oy, Oz vuông góc nhau đôi một thì ta gọi hệ trục tọa độ khi đó là hệ trục tọa độ Descartes trong không gian. Các tính chất: _ Trên mặt phẳng hay trong không gian với 3 điểm A, B, C và 2 vectơ uy bất kì ta đều có: ——Ễ—_——””” SVTH : HOÀNG LÊ CƯỜNG Drang 5 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY 1 4W+ HC = AC 2 |A#|+ |C > Ac | 3w v=|u vicos( u,v) = ứ vis lullw * * ` .A,U,C thẳng hàng œ AB =kAC ke R 3.

Tích hữu hwdéng 2 vectơ trong không gian : Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes Oxyz, cho ~ = (a,,4,,a,;) và v =(b,,b,,b,) Khi đó tích liữu lưướng 2 vectd u và v, kí hiệu [zx] vA tacó: _ - `. a, ay a, ay a, dạ d b, bạ bạ bị| b, bạ Sử dụng tính chất tích hữu hướng của 2 vectơ để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến ‹của mặt phẳng trong không gian vì |» vị là vectơ vuông góc với cả UAV tui Vv 2- MIEN TREN MAT PHANG TOA DO XAC DINH BOI CÁC BAT PHƯƠNG TRINH |. Trên mật phẳng gấn với hệ trục tọa độ Descartes Oxy đường thẳng Ax+By+C = 0 chia mặt phẳng tọa đô thành 2 miễn: D,={(x,y): Ax + By +C <0} D;=4(x,y): Ax + By +C >0} SVTH : HOÀNG LÊ CƯỜNG ưang 6 LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY Dựa vào tinh liên tục của ham số f(x,y) =Ax + By + C, Khi xét dấu của một miền, ta chỉ cần xét dấu của f(x,y) tại 1 điểm (x,y) bất kỳ của miền ấy Ví dụ 1 Xét đường thing x - 3y +4 =0 Đường thẳng x - 2y + 4 = 0 chia mat phẳng tọa độ làm 2 miễn xét miền mim dưới đường thẳng, thay (0,0) vào biểu thức x - 2y + 4 ta được giá trị 4>0. Vậy đó là miến D;, do đó miền còn lai nim trên đường thẳng là Dị.

(H3) tình 3 Ví du 2: Biểu điển trên mặt phẳng toa đô miền D được xác định như sau ` X- 2y +8>0 K D= (wy): X+y+2>0 2x-y+4 <0 Bằng cách đã làm như ở ví dụ 1, ta tìm được mién D; với Dy= Í(x,y): x - 2y + 8 >0} được tạo thành bởi đường thẳng x - 2y + 8 =0, mién D;'= {(x,y): x + y + 2 > 0 và miễn được tạo thành bởi đường thẳng xX+y+2=0 và miễn D,"=Ý (xy): 2x - y + 4 < 0} được tao thành bởi đường thẳng 2x - y+4 =0. Khi đó D = Dy Ð';v D", và nó được biểu diễn bằng miễn gạch chéo trong hình (H4). Ụ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY 2. Một cách tổng quát đường cong y = f(x) trong đó f(x) là một hàm liên tục trên R cũng chia mặt phẳng tọa độ ra làm 2 miễn: D;=Ÿ (x, y): y -f(x) < 0} D;=$ (x, y) : y -f(x) > 0} Do tính liên tục của f(x) nên khi xét dấu của một mien ta chỉ xét dấu của đại lượng y=f(x) tại điểm (x,y) thuộc miễn ấy.

Ví dụ 3: Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ miền D đựơc xác định bởi x +2x+y<0 D= 4 (xy): a 3 <0 +l2x xˆ+2x+y“— Bằng cách vẽ parabol y = - xŸ- 2x, ta sẽ tìm được miễn D, = ‡(x,y) : x? + +2x+y <O}. Sau đó vẽ đường tròn (x+1) + (y-L)” = 1 ta sẽ tìm được miễn D'; với D';={ (x, y): x+ 2x + y?- 2x + 1< 0}. Khi đó D = D; AD’, và được biểu diễn bằng miễn gạch chéo trong hình vẽ. (H5) SVTH : HOÀNG LÊ CƯỜNG Franz 8 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY 3-GOC_KHOANG CACH 1.

TRÊN MAT PHANG VỚI HỆ DESCARTES VUÔNG GOC OXY: 1. Gúc gia 2 đường thi ny Cho 2 đường thẳng có phương trình (đ;): Ax + By +C, =0; (đ›): A›x + Bry + C; = 0. Goi a là góc nhọn tạo bởi (d;) va (d;):, ta có: — |A,A, + BB) J4 + BJA? +B? 2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thing: Khoảng cách từ điểm M(x¿, yo) đến đường thẳng (d) :Ax + By + € =0 là: d(M, (d)) = |AXy + Byụ +) A? +B? I.

TRONG KHÔNG GIAN VỚI HỆ TOA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC OXYZ: 1. Góc giữa 2 đường thẳng: 'Trong không gian nếu đường thẳng (đ;) có vectơ chỉ phương: ui =(d,,4,,4;) Và đường thẳng (đ;) có vectơ chỉ phương lọ =(4,b,,5,) thì khi đó góc a (0 < œ <90) của 2 đường thẳng (đ,) và (dạ) được xác định bởi: cos w = a,b, + dị; + ayb, a> +a}+a} 2. Gác giữa đường thẳng và mit phẳng: Nếu đường thẳng (d) và vectơ chi phương u=(ah và mặt phing (a) có vectơ pháp tuyến n=(ARO thì góc nhọn a giữa đường thẳng (d) và mat phẳng (œ) được xác định bởi: |Aa+ Bb+Củ sina = VA) +B +C ya? +b? +c°. Góc giữa 2 mắt phi ng Hai mật phẳng (a) và (B) lần lượt có vectơ pháp tuyến là n, =(A,.C,) và my =(4,,B,,C:) SVTH : HOANG LÊ CƯỜNG Drang 9 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY Khi đó góc nhọn œ giữa 2 mặt phẳng (a) và (B) được xác định bởi (44,+Ö,+GG| — COXWZ = = —- (4È + +Cỷ 2(4 + HỆ +C‡ 4.

Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng: Cho M (xX. Z2) và mật phẳng (a): Ax+By+Cz+D=0 thì: A + By - Cz D d(M ,(@) = se Ae BS aC Cho M(xạ, Yo. Zp) và đường thẳng (d) qua M'(X`a, y`o, Z`o) có vectơ chỉ phương u=(ahe) dM,(ỳ)=———3 i 6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Cho 2 đường thẲng (đ,) và (dy chéo nhau.

Đường thẳng (d,) qua M, có vectơ chỉ phương G, , đường thẳng (ds) qua M2 và có vectơ chỉ phương ú, Khi đó: d((4,)(4;))= CHUONG II: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN SỬ ĐỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC ut vis iu + v a + BC SVTH : HOANG LÊ CƯỜNG Trang 10 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : NGUYEN MONG HY Ví du J: Chứng minh rằng với mọi x,y,z ta có: (x? +xy+ + VjxÌ+xz+z2 >y +yz+z?(*) Trên hệ tọa độ Descartes vuông góc Ouv chon các điểm 2 2 Khi đó: Ề ở = — OA = (--;›) (45) =x? +xy+y?