CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC Trong chương này, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 như sau: Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình giải tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học? Ngoài ra, nếu xem tri thức trong Giáo trình Đại học gần với tri thức bác học thì những kết quả phân tích của chương này sẽ được chúng tôi chọn làm tham chiếu cho phân tích ở chương tiếp theo, chương 2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và sách giáo khoa Toán Việt Nam. Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tham khảo các giáo trình toán dùng ở bậc đại học. Cụ thể, chúng tôi chọn hai giáo trình sau để phân tích: • Nguyễn Đình Trí (chủ biên) (2008), Toán học cao cấp tập 2, Nxb Giáo dục. • Ngô Thành Phong (2004), Giải Tích Toán học, Nxb Đại học KHTN.
Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi kí hiệu hai giáo trình trên lần lượt là [a] và [b]. Chúng tôi chọn các giáo trình này vì đây là giáo trình được sử dụng phổ biến ở các trường Đại học - Cao đẳng. Hơn nữa, Bộ giáo trình “Toán học cao cấp” này được soạn căn cứ vào chương trình khung đã được ban hành, và thực tế giảng dạy của hệ cao đẳng của một số trường đại học kĩ thuật và căn cứ vào chương trình môn Toán hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, […] [19, tr. Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi chỉ đặc biệt chú ý đến các nội dung liên quan đến bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở cấp độ đại học.
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn Từ các kiến thức của hàm số đã nghiên cứu như tập xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số, tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm của hàm số, … các giáo trình trên đưa ra các định lý về giá trị trung bình và ứng dụng của nó, bài toán KSSBT và vẽ ĐT là một trong những ứng dụng của các định lý này. Trong hai giáo trình, bài toán KSSBT và vẽ ĐT đều được đưa vào bài cuối của mỗi chương. Sau đây, chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán KSSBT và vẽ ĐT lần lượt trong các giáo trình trên. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a] 9 1.1 Khảo sát hàm số y = f(x) Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] được cho bởi trình tự sau: Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự dưới đây: (1) Miền xác định của f.
(2) Chiều biến thiên: tìm khoảng tăng, giảm của hàm số. (6) Bảng biến thiên. 171] Qua trình tự khảo sát hàm số (KSHS) trên, chúng tôi thấy rằng để khảo sát một hàm số trải qua 7 bước. Đồng thời bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) đã huy động nhiều kiến thức về hàm số và những kiến thức này đã được đưa vào trình tự KSHS một cách tường minh như: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận, đồ thị của hàm số.
Các tính chất được yêu cầu trong trình tự KSHS, chúng tôi thấy các tính chất như cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận có kèm theo phía sau chữ “nếu có” hoặc “nếu cần thiết”. Như vậy, các tính chất cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận không bắt buộc khảo sát trong bài toán này. Riêng bước xét tính đơn điệu của hàm số thì không chú thích thêm điều đó. Điều này chứng tỏ rằng tính đơn điệu là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát ở tất cả các hàm số.
Để minh họa cho trình tự trên, [a] có đưa ra ví dụ sau: Sau đây, lấy một thí dụ cốt để minh họa các bước khảo sát: x3 Xét hàm số f ( x ) =. x −1 x3 x (1) Hàm số chỉ xác định khi ≥ 0 nghĩa là khi ≥ 0 , tức là x ≤ 0 hoặc x > 1. x −1 x −1 Miền xác định D f là (−∞,0] ∪ (1, +∞). 3 x Ta có: f ' ( x= ) x− 2 ( x − 1)3 3 f ' ( x ) = 0 khi x = 0 và x =.
2 f ' ( x ) không xác định khi 0 < x ≤ 1. Sau đây là bảng dấu của đạo hàm f ' ( x ) 10 Từ bảng dấu của f’ suy ra: 3 f(x) giảm khi x < 0 hoặc 1 < x < 2 3 f(x) tăng khi x >. 2 (3) Cực trị: ' 3 3 Đạo hàm f đổi dấu từ - sang + khi vượt qua x = do đó x = là điểm cực tiểu, 2 2 3 3 3 f( )= ; lưu ý: điểm x = 0 không phải là điểm cực trị. f ( x ) 4 ( x − 1)3 x f '' cùng dấu với nên f '' ≥ 0 trong miền xác định, do đó f(x) là hàm số lồi.
x −1 (5) x = 1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có phương trình x = 1. Muốn tìm tiệm cận xiên ta viết f(x) dưới dạng: 1 x3 x 1 2 (x) f= = x = x 1 + x −1 x −1 x −1 Dúng công thức khai triển Taylor của (1 + x )α khai triển Taylor có: 1 1 2 1 1 1 1 1 + =1+ − + .o( x ) 2( x − 1) 8 ( x − 1) ( x − 1)2 2 Từ biểu thức trên suy ra: x 1 x → +∞, có f ( x ) x + x+ 2( x − 1) 2 x 1 x → −∞, có f ( x ) x − −x − 2( x − 1) 2 Vậy f(x) có hai tiệm cận xiên: 11 1 y= x + khi x → +∞ 2 1 y = − x − khi x → −∞ 2 • Chú ý: Trong nhiều trường hợp để việc khảo sát được đơn giản, người ta còn chú ý phát hiện các đặc điểm của hàm số f, chẳng hạn phát hiện tính chu kì và tính chẵn, lẻ của hàm số f. Một hàm số f(x) xác định trong một khoảng đối xứng [-a,a] được gọi là hàm chẵn nếu f ( x )= f (− x ) ; x ∈ [− a, a] ; hàm lẻ nếu f ( x ) =−( f (− x )) ; x ∈ [− a, a]. Vì đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung và đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ nên khi khảo sát các hàm số này chỉ cần xét x ≤ 0 hoặc x ≥ 0 rồi lấy đối xứng là có toàn bộ đồ thị.
(6) Từ những kết quả trên có bảng biến thiên sau: Hình 5.171-174] Qua ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy rằng: - Hàm số được yêu cầu khảo sát có thể là một hàm căn thức. - Các bước khảo sát thực hiện đúng theo trình tự KSHS. Trong ví dụ này, đồ thị hàm số không có điểm uốn còn các tính chất còn lại đều được khảo sát. - Ngoài những kiến thức được nêu ra trong trình tự KSHS, trong quá trình tìm tiệm cận của hàm số (bước 5) đã dùng đến kiến thức về giới hạn của hàm số.
Cụ thể là tính giới hạn của hàm số khi x dần ra vô cực, kết quả của việc tính giới hạn này được ghi vào bảng biến thiên ở bước 6. 12 - Bên cạnh đó, trước khi đưa ra bảng biến thiên và đồ thị của hàm số, [a] đưa ra chú ý về tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số. Nếu biết được các tính chất này của hàm số thì phạm vi khảo sát sẽ thu hẹp lại trên khoảng đóng hay mở nào đó rồi lấy đối xứng là được toàn bộ đồ thị hàm số. Tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số không có mặt trong trình tự KSHS mà chỉ được nêu thông qua lời giải của ví dụ.
Như vậy, việc khảo sát tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số trong bài toán này trong giáo trình [a] chỉ mang tính khuyến khích. Như vậy, qua trình tự KSHS và ví dụ chúng tôi nhận thấy những kiến thức về hàm số được sử dụng cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] là: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận của hàm số, giới hạn hàm số, tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của hàm số. Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát ở tất cả các hàm số, riêng các tính chất còn lại không cần thiết khảo sát mà chỉ khuyến khích nhằm làm cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được đơn giản và chính xác hơn. Khảo sát đường cho dưới dạng tham số x = f (t ) Các đường thường cho dưới dạng hệ phương trình ; t ∈ D, D ⊂ , mỗi phương y = g (t ) trình là một hàm số theo biến t.
Trong những điều kiện xác định, đường cong cho dưới dạng tham số có thể xác định nhiều hàm ẩn của y theo x. Việc khảo sát các đường cho dưới dạng tham số có thể nói là phức tạp hơn bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) vì phải khảo sát đồng thời nhiều hàm số trong cùng một lúc. Và được cho bởi trình tự sau: Có thể khảo sát một đường cong cho dưới dạng tham số theo trình tự dưới đây: - Miền xác định, các điểm gián đoạn của các hàm số x = x(t), y = y(t). Nhận xét tính chẵn - lẻ, tuần hoàn (nếu có).
- Xét x ' (t ), y ' (t ) để xét chiều biến thiên của x, y theo t. - Tìm các tiệm cận của đường cong (nếu có): Nếu lim y(t ) = ±∞ và lim x (t ) = a thì có tiệm cận đứng x = a (t0 có thể là ±∞ ). t → t0 t → t0 Nếu lim x (t ) = ±∞ và lim y(t ) = b thì có tiệm cận ngang y = b.