Advanced Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics 135) - Steven Roman

Giáo trình Đại số tuyến tính nâng cao (Steven Roman, Springer, 1992). Khám phá các khái niệm toán học sâu sắc từ Graduate Texts in Mathematics 135.

• Tác giả: Steven Roman
• Trường học: University of California, Irvine
• Chuyên ngành: Mathematics
• Đề tài: Advanced Linear Algebra
• Loại tài liệu: Textbook
• Năm xuất bản: 1992
• Địa điểm: New York

Tóm tắt

I. Tổng quan về Đại Số Tuyến Tính Nâng Cao Steven Roman 1992

Cuốn sách "Advanced Linear Algebra" của Steven Roman, xuất bản năm 1992, là một tài liệu học thuật chuyên sâu dành cho sinh viên sau đại học và sinh viên đại học năm cuối. Sách tập trung vào các khía cạnh nâng cao của đại số tuyến tính, vượt ra ngoài các khái niệm cơ bản thường được đề cập trong các khóa học đại số tuyến tính đại cương. Roman trình bày một cách tiếp cận lý thuyết, tập trung vào các chứng minh và các cấu trúc đại số trừu tượng. Sách bao gồm các chủ đề như không gian vector, biến đổi tuyến tính, dạng chuẩn tắc, và không gian tích trong. Điểm đặc biệt của cuốn sách là sự trình bày rõ ràng và chi tiết, giúp người đọc nắm vững các khái niệm phức tạp. Sách cũng cung cấp nhiều bài tập giúp củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề. Tài liệu này đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho những ai muốn theo đuổi nghiên cứu chuyên sâu trong lĩnh vực đại số, giải tích hàm và các lĩnh vực liên quan. Không gian vector và biến đổi tuyến tính là những khái niệm cốt lõi được xuyên suốt trong toàn bộ cuốn sách. Steven Roman cung cấp cái nhìn sâu sắc về các cấu trúc đại số, giúp độc giả hiểu rõ hơn về bản chất của đại số tuyến tính.

1.1. Đối tượng độc giả và trình độ yêu cầu của sách

Cuốn sách "Advanced Linear Algebra" của Steven Roman hướng đến đối tượng độc giả là sinh viên sau đại học hoặc sinh viên đại học năm cuối đã có kiến thức nền tảng về đại số tuyến tính. Sách đòi hỏi người đọc phải có sự "trưởng thành toán học" nhất định, tức là khả năng tư duy trừu tượng và kỹ năng chứng minh toán học. Mặc dù tác giả tóm tắt các kiến thức đại số cơ bản ở chương 0, việc đã từng học một khóa đại số tuyến tính trước đó là rất hữu ích để tiếp thu hiệu quả nội dung sách. Việc quen thuộc với các khái niệm như ma trận, định thức, không gian vector và biến đổi tuyến tính là điều cần thiết. Sách không chỉ tập trung vào các phép toán mà còn đi sâu vào lý thuyết và chứng minh, do đó, sự kiên nhẫn và khả năng đọc hiểu các tài liệu toán học chuyên ngành là những yếu tố quan trọng để thành công với cuốn sách này.

1.2. Ưu điểm nổi bật trong cách trình bày của tác giả Steven Roman

Một trong những ưu điểm nổi bật của cuốn "Advanced Linear Algebra" là cách trình bày rõ ràng và chi tiết của Steven Roman. Tác giả chú trọng đến việc giải thích cặn kẽ các khái niệm phức tạp, sử dụng ngôn ngữ mạch lạc và dễ hiểu. Các chứng minh được trình bày một cách logic và chặt chẽ, giúp người đọc dễ dàng theo dõi và nắm bắt ý tưởng chính. Bên cạnh đó, sách còn cung cấp nhiều ví dụ minh họa và bài tập thực hành, giúp người đọc củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Cách tiếp cận này đặc biệt hữu ích cho những người mới bắt đầu làm quen với đại số tuyến tính nâng cao. Tác giả Roman luôn nỗ lực tạo ra sự liên kết giữa các khái niệm, giúp người đọc xây dựng một bức tranh tổng thể về đại số tuyến tính.

II. Giải quyết thách thức Modules và cấu trúc toán học phức tạp

Một trong những thách thức lớn khi nghiên cứu đại số tuyến tính nâng cao là việc làm quen với các cấu trúc đại số phức tạp hơn, chẳng hạn như modules. Modules là một khái niệm tổng quát hóa của không gian vector, và việc hiểu rõ về modules là rất quan trọng để nắm bắt các kết quả sâu sắc hơn trong đại số tuyến tính. Roman dành nhiều chương để trình bày về modules, bao gồm các tính chất cơ bản, modules tự do, modules Noetherian, và đặc biệt là modules trên một miền chính. Việc nghiên cứu modules trên một miền chính dẫn đến các định lý cấu trúc quan trọng cho các toán tử tuyến tính trên không gian vector hữu hạn chiều. Cuốn sách cũng đề cập đến các khái niệm như không gian thương, phiếm hàm tuyến tính và không gian đối ngẫu, giúp người đọc mở rộng tầm nhìn về đại số tuyến tính. Roman khéo léo dẫn dắt người đọc từ các khái niệm quen thuộc đến các khái niệm trừu tượng hơn, giúp việc học trở nên dễ dàng hơn.

2.1. So sánh Modules với Không Gian Vector Điểm tương đồng và khác biệt

Trong cuốn sách, tác giả Steven Roman dành sự quan tâm đặc biệt cho việc so sánh modules và không gian vector. Mặc dù modules là một dạng tổng quát hóa của không gian vector, vẫn còn những khác biệt quan trọng cần lưu ý. Điểm khác biệt lớn nhất là trường số (field) trong không gian vector được thay thế bằng một vành (ring) trong module. Điều này dẫn đến một số tính chất không còn đúng trong modules, chẳng hạn như không phải mọi module đều có cơ sở. Roman trình bày chi tiết những điểm tương đồng và khác biệt này, giúp người đọc hiểu rõ hơn về bản chất của cả hai cấu trúc đại số. Việc nắm vững sự khác biệt này là rất quan trọng để tránh những sai lầm khi làm việc với modules. Ví dụ, khái niệm tự do tuyến tính và sinh không gian vẫn được định nghĩa tương tự, nhưng các kết quả liên quan có thể khác biệt.

2.2. Ứng dụng của Lý Thuyết Modules trong Đại Số Tuyến Tính

Lý thuyết modules đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu cấu trúc của các toán tử tuyến tính trên không gian vector hữu hạn chiều. Bằng cách xem một không gian vector như một module trên vành đa thức, ta có thể áp dụng các kết quả về modules để phân tích cấu trúc của toán tử tuyến tính. Cụ thể, định lý phân tích cyclic cho modules trên một miền chính (principal ideal domain) là chìa khóa để chứng minh các dạng chuẩn tắc (canonical forms) của toán tử tuyến tính, chẳng hạn như dạng chuẩn hữu tỷ (rational canonical form) và dạng chuẩn Jordan (Jordan canonical form). Roman trình bày một cách chi tiết cách sử dụng lý thuyết modules để giải quyết các bài toán trong đại số tuyến tính, làm nổi bật tính ứng dụng và sức mạnh của lý thuyết này. Sự liên kết giữa modules và toán tử tuyến tính là một trong những điểm nhấn quan trọng của cuốn sách.

III. Phương pháp phân tích Các dạng chuẩn tắc và không gian tích trong

Cuốn sách đi sâu vào việc phân tích cấu trúc của các toán tử tuyến tính thông qua các dạng chuẩn tắc. Các dạng chuẩn tắc như dạng chuẩn hữu tỷ và dạng chuẩn Jordan cho phép ta biểu diễn một toán tử tuyến tính dưới một dạng đơn giản hơn, từ đó dễ dàng nghiên cứu các tính chất của nó. Bên cạnh đó, sách cũng trình bày về không gian tích trong, một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Không gian tích trong cho phép ta định nghĩa các khái niệm như độ dài, góc, và trực giao, và nó đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như giải tích số và xử lý tín hiệu. Roman trình bày một cách chi tiết về các toán tử tự liên hợp (self-adjoint operators), toán tử unita (unitary operators) và toán tử chuẩn tắc (normal operators) trong không gian tích trong, và chứng minh định lý phổ (spectral theorem) cho các toán tử này. Dạng chuẩn Jordan, không gian tích trong, và định lý phổ là những công cụ mạnh mẽ để phân tích và hiểu rõ hơn về cấu trúc của các toán tử tuyến tính.

3.1. Ứng dụng của Dạng Chuẩn Jordan trong bài toán Eigenvalues và Eigenvectors

Dạng chuẩn Jordan là một công cụ vô cùng hữu ích trong việc nghiên cứu eigenvalues và eigenvectors của một toán tử tuyến tính. Nó cho phép ta xác định cấu trúc của toán tử tuyến tính dựa trên các eigenvalues và tính bội của chúng. Đặc biệt, khi một toán tử tuyến tính không thể chéo hóa được (diagonalizable), dạng chuẩn Jordan vẫn cung cấp một biểu diễn đơn giản và hữu ích. Roman trình bày chi tiết cách tìm dạng chuẩn Jordan của một toán tử tuyến tính, và cách sử dụng nó để tính toán các đại lượng quan trọng như lũy thừa của toán tử tuyến tính và nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính. Việc hiểu rõ về dạng chuẩn Jordan là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến eigenvalues và eigenvectors.

3.2. Toán Tử Chuẩn Tắc và Định Lý Phổ Mở Rộng Khái Niệm Chéo Hóa

Định lý phổ là một trong những kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết về không gian tích trong. Nó cho phép ta chéo hóa các toán tử chuẩn tắc (normal operators) trong một cơ sở trực giao. Toán tử chuẩn tắc là một lớp toán tử rộng bao gồm toán tử tự liên hợp (self-adjoint operators) và toán tử unita (unitary operators) làm trường hợp đặc biệt. Roman trình bày một cách chi tiết về định lý phổ, và cách áp dụng nó để phân tích cấu trúc của các toán tử chuẩn tắc. Định lý phổ có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như cơ học lượng tử, xử lý tín hiệu và giải tích số. Nó cung cấp một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến toán tử tuyến tính trong không gian tích trong.

IV. Ứng dụng thực tiễn Hình học affine tích tensor và Giải tích Umbral

Ngoài các chủ đề lý thuyết, cuốn sách còn đề cập đến một số ứng dụng thực tiễn của đại số tuyến tính, chẳng hạn như hình học affine, tích tensor, và giải tích umbral. Hình học affine là một lĩnh vực nghiên cứu về các tính chất hình học không thay đổi dưới các biến đổi affine. Tích tensor là một công cụ mạnh mẽ để xây dựng các không gian vector mới từ các không gian vector đã cho, và nó có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật. Giải tích umbral là một lĩnh vực nghiên cứu về các dãy đa thức đặc biệt, và nó có nhiều ứng dụng trong tổ hợp và xác suất. Roman cung cấp một giới thiệu ngắn gọn về các chủ đề này, cho thấy tính ứng dụng rộng rãi của đại số tuyến tính trong các lĩnh vực khác nhau. Hình học affine, tích tensor, và giải tích umbral là những ví dụ điển hình cho thấy sức mạnh và tính linh hoạt của đại số tuyến tính.

4.1. Tích Tensor Xây dựng các Không Gian Vector từ các Không Gian Vector có sẵn

Tích tensor là một công cụ quan trọng trong đại số tuyến tính, cho phép ta xây dựng các không gian vector mới từ các không gian vector đã cho. Nó có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính. Roman trình bày một cách chi tiết về định nghĩa và các tính chất của tích tensor, bao gồm tính chất phổ quát (universal property). Tích tensor được sử dụng để xây dựng các không gian tensor (tensor spaces), đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tương đối và cơ học lượng tử. Việc hiểu rõ về tích tensor là rất quan trọng để nắm bắt các khái niệm nâng cao trong các lĩnh vực này.

4.2. Giải Tích Umbral Nghiên cứu dãy đa thức đặc biệt

Giải tích umbral là một lĩnh vực nghiên cứu về các dãy đa thức đặc biệt, chẳng hạn như dãy đa thức Hermite, dãy đa thức Laguerre và dãy đa thức Bernoulli. Nó có nhiều ứng dụng trong tổ hợp, xác suất và giải tích số. Roman cung cấp một giới thiệu ngắn gọn về giải tích umbral, tập trung vào các khía cạnh đại số của lý thuyết. Giải tích umbral sử dụng các kỹ thuật đại số để nghiên cứu các tính chất của các dãy đa thức đặc biệt, và nó cung cấp một cách tiếp cận thống nhất để giải quyết các bài toán liên quan đến các dãy đa thức này. Mặc dù là một chủ đề nâng cao, giải tích umbral cho thấy sự liên kết sâu sắc giữa đại số tuyến tính và các lĩnh vực khác của toán học.

V. Kết luận và tầm nhìn Đại số tuyến tính và các hướng phát triển

Cuốn sách "Advanced Linear Algebra" của Steven Roman là một tài liệu học thuật có giá trị, cung cấp một nền tảng vững chắc cho những ai muốn theo đuổi nghiên cứu chuyên sâu trong lĩnh vực đại số tuyến tính. Sách không chỉ trình bày các kiến thức lý thuyết mà còn đề cập đến các ứng dụng thực tiễn, cho thấy tính ứng dụng rộng rãi của đại số tuyến tính trong các lĩnh vực khác nhau. Các chủ đề như không gian vector, biến đổi tuyến tính, dạng chuẩn tắc và không gian tích trong được trình bày một cách chi tiết và rõ ràng, giúp người đọc nắm vững các khái niệm phức tạp. Ngoài ra, sách còn cung cấp nhiều bài tập giúp củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề. Trong tương lai, đại số tuyến tính tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong khoa học máy tính, trí tuệ nhân tạo và khoa học dữ liệu.

5.1. Vai trò của Đại Số Tuyến Tính trong Khoa Học Dữ Liệu và Trí Tuệ Nhân Tạo

Đại số tuyến tính đóng vai trò trung tâm trong nhiều thuật toán và mô hình được sử dụng trong khoa học dữ liệu và trí tuệ nhân tạo. Các khái niệm như ma trận, vector, không gian vector, biến đổi tuyến tính và phân tích giá trị riêng (eigenvalue analysis) được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như học máy (machine learning), xử lý ảnh (image processing), xử lý ngôn ngữ tự nhiên (natural language processing) và khai thác dữ liệu (data mining). Ví dụ, các thuật toán học máy như hồi quy tuyến tính (linear regression), phân tích thành phần chính (principal component analysis) và mạng nơ-ron (neural networks) đều dựa trên các nguyên lý của đại số tuyến tính. Sự phát triển của khoa học dữ liệu và trí tuệ nhân tạo càng làm tăng thêm tầm quan trọng của đại số tuyến tính.

5.2. Các Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng trong Đại Số Tuyến Tính

Mặc dù đại số tuyến tính là một lĩnh vực đã được nghiên cứu sâu rộng, vẫn còn nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng. Một trong những hướng nghiên cứu tiềm năng là phát triển các thuật toán hiệu quả để giải quyết các bài toán đại số tuyến tính trên các hệ thống song song và phân tán (parallel and distributed systems). Điều này đặc biệt quan trọng trong bối cảnh dữ liệu lớn (big data), khi kích thước của các ma trận và vector trở nên quá lớn để xử lý trên một máy tính đơn lẻ. Một hướng nghiên cứu khác là phát triển các phương pháp đại số tuyến tính để giải quyết các bài toán trong các lĩnh vực mới nổi, chẳng hạn như mạng xã hội (social networks), sinh học tính toán (computational biology) và tài chính định lượng (quantitative finance). Đại số tuyến tính tiếp tục là một lĩnh vực năng động và đầy tiềm năng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Graduate Texts in Mathematics 135 Editorial Board S.com Graduate Texts in Mathematics 1 TAKEUTI/ZARING.Introduction to 34 SPITZER.Principles of Random Walk. Axiomatic Set Theory.Measure and Category.Several Complex 3 SCHAEFER.Topological Vector Spaces. Variables and Banach Algebras. 36 KELLEY/NAMIOKAet al.

Linear 4 HILTON/STAMMBACH.A Course in Topological Spaces. Categories for the Working 38 GRAUERT/FRITZSCHE.Several Complex Mathematician.An Invitation to C*-Algebras.A Course in Arithmetic. 40 KEMENY/SNELL/KNAPP.Denumerable 8 TAKEUTI/ZARING.Axiomatic Set Theory.Introduction to Lie Algebras 41 APOSTOL.Modular Functions and Dirichlet and Representation Theory. Series in Number Theory.A Course in Simple Homotopy 2nd ed.Linear Representations of 11 CONWAY.Functions of One Complex Finite Groups.Rings of Continuous 12 BEALS.Advanced Mathematical Analysis.Rings and Categories 44 KENDIG.Elementary Algebraic Geometry.Stable Mappings 46 LoI~vE.Probability Theory II.

and Their Singularities.Geometric Topology in 15 BERBERIAN.Lectures in Functional Dimensions 2 and 3. Analysis and Operator Theory.General Relativity for 16 WrNTER.The Structure of Fields.A Hilbert Space Problem Book.Fermat's Last Theorem.A Course in Differential 20 HUSEMOLLER.Linear Algebraic Groups.An Algebraic Introduction 53 MANN.A Course in Mathematical Logic. to Mathematical Logic.Combinatorics with 23 GREUB. Emphasis on the Theory of Graphs.Geometric Functional Analysis 55 BROWN/PEARCY.Introduction to Operator and Its Applications.

Theory I: Elements of Functional 25 HEWITT/STROMBERG.Real and Abstract Analysis.Algebraic Topology: An 26 MANES.Introduction to Knot 28 ZARISKI/SAMUEL.p-adic Numbers, p-adic Analysis, 29 ZAPdSrO/SAMUEL. and Zeta-Functions.Lectures in Abstract Algebra I.Mathematical Methods in Basic Concepts.Lectures in Abstract Algebra II.Elements of Homotopy Linear Algebra.Lectures in Abstract Algebra 62 KARGAPOLOV/]~ERLZJAKOV. Theory of Fields and Galois Theory. of the Theory of Groups.com Steven Roman Advanced Linear Algebra Second Edition ___ S p r i n g e r www.com Steven Roman University of California, Irvine Irvine, California 92697-3875 USA [e-mail] Editorial Board.

Ribet Mathematics Department Mathematics Department Mathematics D e p a r t m e n t San Francisco State East Hall University of California, University University of Michigan Berkeley San Francisco, CA 94132 Ann Arbor, MI 48109 Berkeley, CA 94720-3840 USA USA USA [e-mail] [e-mail] [e-mail] Mathematics Subject Classification (2000): 15-xx Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Roman, Steven. Advanced linear algebra / Steven Roman. Includes bibliographical references and index.5-- dc22 2005040244 ISBN 0-387-24766-1 Printed on acid-free paper. © 2005 Steven Roman All rights reserved.

This work may not be translated or copied in whole or in part without the written permission of the publisher (Springer Science+ Business Media, LLC, 233 Spring Street, New York, NY 10013, USA), except for brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis. Use in connection with any form of information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed is forbidden. The use in this publication of trade names, trademarks, service marks, and similar terms, even if they are not identified as such, is not to be taken as an expression of opinion as to whether or not they are subject to proprietary rights. Printed in the United States of America.com To Donna and to my poker buddies Rachelle, Carol and Dan www.com Preface to the Second Edition Let me begin by thanking the readers of the first edition for their many helpful comments and suggestions.

The second edition represents a major change from the first edition. Indeed, one might say that it is a totally new book, with the exception of the general range of topics covered. The text has been completely rewritten. I hope that an additional 12 years and roughly 20 books worth of experience has enabled me to improve the quality of my exposition.

Also, the exercise sets have been completely rewritten. The second edition contains two new chapters: a chapter on convexity, separation and positive solutions to linear systems (Chapter 15) and a chapter on the QR decomposition, singular values and pseudoinverses (Chapter 17). The treatments of tensor products and the umbral calculus have been greatly expanded and I have included discussions of determinants (in the chapter on tensor products), the complexification of a real vector space, Schur's lemma and Geršgorin disks. Steven Roman Irvine, California February 2005 www.com Preface to the First Edition This book is a thorough introduction to linear algebra, for the graduate or advanced undergraduate student.

Prerequisites are limited to a knowledge of the basic properties of matrices and determinants. However, since we cover the basics of vector spaces and linear transformations rather rapidly, a prior course in linear algebra (even at the sophomore level), along with a certain measure of “mathematical maturity,” is highly desirable. Chapter 0 contains a summary of certain topics in modern algebra that are required for the sequel. This chapter should be skimmed quickly and then used primarily as a reference.

Chapters 1–3 contain a discussion of the basic properties of vector spaces and linear transformations. Chapter 4 is devoted to a discussion of modules, emphasizing a comparison between the properties of modules and those of vector spaces. Chapter 5 provides more on modules. The main goals of this chapter are to prove that any two bases of a free module have the same cardinality and to introduce noetherian modules.

However, the instructor may simply skim over this chapter, omitting all proofs. Chapter 6 is devoted to the theory of modules over a principal ideal domain, establishing the cyclic decomposition theorem for finitely generated modules. This theorem is the key to the structure theorems for finite-dimensional linear operators, discussed in Chapters 7 and 8. Chapter 9 is devoted to real and complex inner product spaces.

The emphasis here is on the finite-dimensional case, in order to arrive as quickly as possible at the finite-dimensional spectral theorem for normal operators, in Chapter 10. However, we have endeavored to state as many results as is convenient for vector spaces of arbitrary dimension. The second part of the book consists of a collection of independent topics, with the one exception that Chapter 13 requires Chapter 12. Chapter 11 is on metric vector spaces, where we describe the structure of symplectic and orthogonal geometries over various base fields.

Chapter 12 contains enough material on metric spaces to allow a unified treatment of topological issues for the basic www.com x Preface Hilbert space theory of Chapter 13. The rather lengthy proof that every metric space can be embedded in its completion may be omitted. Chapter 14 contains a brief introduction to tensor products. In order to motivate the universal property of tensor products, without getting too involved in categorical terminology, we first treat both free vector spaces and the familiar direct sum, in a universal way.

Chapter 15 [Chapter 16 in the second edition] is on affine geometry, emphasizing algebraic, rather than geometric, concepts. The final chapter provides an introduction to a relatively new subject, called the umbral calculus. This is an algebraic theory used to study certain types of polynomial functions that play an important role in applied mathematics. We give only a brief introduction to the subject c emphasizing the algebraic aspects, rather than the applications.

This is the first time that this subject has appeared in a true textbook. One final comment. Unless otherwise mentioned, omission of a proof in the text is a tacit suggestion that the reader attempt to supply one. Steven Roman Irvine, California www.com Contents Preface to the Second Edition, vii Preface to the First Edition, ix Preliminaries, 1 Part 1 Preliminaries, 1 Part 2 Algebraic Structures, 16 Part I—Basic Linear Algebra, 31 1 Vector Spaces, 33 Vector Spaces, 33 Subspaces, 35 Direct Sums, 38 Spanning Sets and Linear Independence, 41 The Dimension of a Vector Space, 44 Ordered Bases and Coordinate Matrices, 47 The Row and Column Spaces of a Matrix, 48 The Complexification of a Real Vector Space, 49 Exercises, 51 2 Linear Transformations, 55 Linear Transformations, 55 Isomorphisms, 57 The Kernel and Image of a Linear Transformation, 57 Linear Transformations from -  to -  , 59 The Rank Plus Nullity Theorem, 59 Change of Basis Matrices, 60 The Matrix of a Linear Transformation, 61 Change of Bases for Linear Transformations, 63 Equivalence of Matrices, 64 Similarity of Matrices, 65 Similarity of Operators, 66 Invariant Subspaces and Reducing Pairs, 68 www.com xii Contents Topological Vector Spaces, 68 Linear Operators on = d , 71 Exercises, 72 3 The Isomorphism Theorems, 75 Quotient Spaces, 75 The Universal Property of Quotients and the First Isomorphism Theorem, 77 Quotient Spaces, Complements and Codimension, 79 Additional Isomorphism Theorems, 80 Linear Functionals, 82 Dual Bases, 83 Reflexivity, 84 Annihilators, 86 Operator Adjoints, 88 Exercises, 90 4 Modules I: Basic Properties, 93 Modules, 93 Motivation, 93 Submodules, 95 Spanning Sets, 96 Linear Independence, 98 Torsion Elements, 99 Annihilators, 99 Free Modules, 99 Homomorphisms, 100 Quotient Modules, 101 The Correspondence and Isomorphism Theorems, 102 Direct Sums and Direct Summands, 102 Modules Are Not As Nice As Vector Spaces, 106 Exercises, 106 5 Modules II: Free and Noetherian Modules, 109 The Rank of a Free Module, 109 Free Modules and Epimorphisms, 114 Noetherian Modules, 115 The Hilbert Basis Theorem, 118 Exercises, 119 6 Modules over a Principal Ideal Domain, 121 Annihilators and Orders, 121 Cyclic Modules, 122 Free Modules over a Principal Ideal Domain, 123 Torsion-Free and Free Modules, 125 www.com Contents xiii Prelude to Decomposition: Cyclic Modules, 126 The First Decomposition, 127 A Look Ahead, 127 The Primary Decomposition, 128 The Cyclic Decomposition of a Primary Module, 130 The Primary Cyclic Decomposition Theorem, 134 The Invariant Factor Decomposition, 135 Exercises, 138 7 The Structure of a Linear Operator, 141 A Brief Review, 141 The Module Associated with a Linear Operator, 142 Orders and the Minimal Polynomial, 144 Cyclic Submodules and Cyclic Subspaces, 145 Summary, 147 The Decomposition of = , 147 The Rational Canonical Form, 148 Exercises, 151 8 Eigenvalues and Eigenvectors, 153 The Characteristic Polynomial of an Operator, 153 Eigenvalues and Eigenvectors, 155 Geometric and Algebraic Multiplicities, 157 The Jordan Canonical Form, 158 Triangularizability and Schur's Lemma, 160 Diagonalizable Operators, 165 Projections, 166 The Algebra of Projections, 167 Resolutions of the Identity, 170 Spectral Resolutions, 172 Projections and Invariance, 173 Exercises, 174 9 Real and Complex Inner Product Spaces , 181 Norm and Distance, 183 Isometries, 186 Orthogonality, 187 Orthogonal and Orthonormal Sets, 188 The Projection Theorem and Best Approximations, 192 Orthogonal Direct Sums, 194 The Riesz Representation Theorem, 195 Exercises, 196 10 Structure Theory for Normal Operators, 201 The Adjoint of a Linear Operator, 201 www.com xiv Contents Unitary Diagonalizability, 204 Normal Operators, 205 Special Types of Normal Operators, 207 Self-Adjoint Operators, 208 Unitary Operators and Isometries, 210 The Structure of Normal Operators, 215 Matrix Versions, 222 Orthogonal Projections, 223 Orthogonal Resolutions of the Identity, 226 The Spectral Theorem, 227 Spectral Resolutions and Functional Calculus, 228 Positive Operators, 230 The Polar Decomposition of an Operator, 232 Exercises, 234 Part II—Topics, 235 11 Metric Vector Spaces: The Theory of Bilinear Forms, 239 Symmetric, Skew-Symmetric and Alternate Forms, 239 The Matrix of a Bilinear Form, 242 Quadratic Forms, 244 Orthogonality, 245 Linear Functionals, 248 Orthogonal Complements and Orthogonal Direct Sums, 249 Isometries, 252 Hyperbolic Spaces, 253 Nonsingular Completions of a Subspace, 254 The Witt Theorems: A Preview, 256 The Classification Problem for Metric Vector Spaces, 257 Symplectic Geometry, 258 The Structure of Orthogonal Geometries: Orthogonal Bases, 264 The Classification of Orthogonal Geometries: Canonical Forms, 266 The Orthogonal Group, 272 The Witt's Theorems for Orthogonal Geometries, 275 Maximal Hyperbolic Subspaces of an Orthogonal Geometry, 277 Exercises, 279 12 Metric Spaces, 283 The Definition, 283 Open and Closed Sets, 286 Convergence in a Metric Space, 287 The Closure of a Set, 288 www.com Contents xv Dense Subsets, 290 Continuity, 292 Completeness, 293 Isometries, 297 The Completion of a Metric Space, 298 Exercises, 303 13 Hilbert Spaces, 307 A Brief Review, 307 Hilbert Spaces, 308 Infinite Series, 312 An Approximation Problem, 313 Hilbert Bases, 317 Fourier Expansions, 318 A Characterization of Hilbert Bases, 328 Hilbert Dimension, 328 A Characterization of Hilbert Spaces, 329 The Riesz Representation Theorem, 331 Exercises, 334 14 Tensor Products, 337 Universality, 337 Bilinear Maps, 341 Tensor Products, 343 When Is a Tensor Product Zero?