Chương 1 Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất Mục tiêu 1. Cung cấp cho sinh viên những khái niệm về phép thử, sự kiện, xác suất; mối quan hệ giữa các sự kiện; các công cụ tính toán cơ bản của lý thuyết xác suất (định lý, công thức). Với các kiến thức nền tảng đó, sinh viên biết tính xác suất của các sự kiện; biết thực hiện các bài tập ứng dụng của xác suất trong các lĩnh vực kỹ thuật, kinh tế, xã hội, quản lý ra quyết định. Sự kiện, quan hệ giữa các sự kiện 2.
Nhắc lại giải tích tổ hợp, quy tắc nhân, chỉnh hợp lặp 3. Khái niệm và các định nghĩa xác suất (cổ điển, hình học, thống kê) 4. Các định lý và công thức xác suất (xác suất điều kiện; công thức nhân xác suất; công thức cộng xác suất; công thức Béc-nu-li; công thức xác suất đầy đủ, công thức Bay-ét) Thời lượng: 8 tiết 6 MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST BÀI 1 (2 tiết) Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) hoặc tất định (biết trước kết quả sẽ xảy ra). Chẳng hạn một vật nặng được thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất, trong điều kiện bình thường nước sôi ở 100◦ C.
Đó là những hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất nhiên. Trái lại, khi tung đồng xu ta không biết sẽ xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa; ta không thể biết trước có bao nhiêu cuộc gọi đến tổng đài; có bao nhiêu khách hàng đến điểm phục vụ trong khoảng thời gian nào đó; ta không thể xác định trước chỉ số chứng khoán trên thị trường chứng khoán. Đó là những hiện tượng ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra những kết luận có tính quy luật về những hiện tượng này.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy các phương pháp của lý thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế–xã hội. Quan hệ giữa các sự kiện 1.
Sự kiện Định nghĩa 1. (c) Sự kiện sơ cấp hay kết cục của phép thử là một kết quả mà ta không chia nhỏ hơn được, ký hiệu là ω. (d) Sự kiện phức hợp là sự kiện có thể phân tích thành các sự kiện nhỏ hơn. (e) Tập hợp tất cả các kết cục của một phép thử tạo thành không gian các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là ¶ © Ω = ωi , i ∈ I , I là tập chỉ số.
(a) Gieo một con xúc xắc (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) là một phép thử. Xúc xắc xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm là các sự kiện. (b) Gieo một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) là một phép thử. Đồng xu xuất hiện mặt sấp, mặt ngửa là các sự kiện.
Gieo một con xúc xắc, khi đó 1. Quan hệ giữa các sự kiện 7 MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (a) Sự kiện Ai "xuất hiện mặt i chấm", i = 1,. , 6, là sự kiện sơ cấp. (b) Sự kiện A "xuất hiện mặt chấm chẵn" là sự kiện phức hợp vì có thể phân tích nó thành các sự kiện "xuất hiện mặt 2, 4, 6 chấm".
(a) Phép thử gieo một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) có không gian các sự kiện sơ cấp là Ω = {S, N }, ở đây S là sự kiện "xuất hiện mặt sấp", N là sự kiện "xuất hiện mặt ngửa". (b) Phép thử gieo đồng thời hai đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) có không gian các sự kiện sơ cấp là Ω = {SS, SN, NS, NN }. (a) Chú ý rằng bản chất của các sự kiện sơ cấp không có vai trò đặc biệt gì trong lý thuyết xác suất. Chẳng hạn có thể mã hóa các kết quả và xem không gian các sự kiện sơ cấp của phép thử tung đồng xu là Ω = {0, 1}, trong đó 0 là sự kiện sơ cấp chỉ "mặt sấp xuất hiện" và 1 để chỉ "mặt ngửa xuất hiện".
(b) Mỗi kết cục ω của phép thử C được gọi là kết cục thuận lợi cho sự kiện A nếu A xảy ra khi kết cục của phép thử C là ω. Nếu gọi sự kiện A "xuất hiện mặt chấm chẵn" trong phép thử gieo con xúc xắc thì A có các kết cục thuận lợi là 2, 4 và 6.2 Phân loại sự kiện Có 3 loại sự kiện. (a) Sự kiện chắc chắn là sự kiện nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu là U hoặc S.
(b) Sự kiện không thể có là sự kiện nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu là V hoặc ∅. (c) Sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra, cũng có thể không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Gieo một con xúc xắc, khi đó (a) Sự kiện “xuất hiện mặt có số chấm ≤ 6 và ≥ 1” là sự kiện chắc chắn S.
(b) Sự kiện “xuất hiện mặt 7 chấm” là sự kiện không thể ∅. (c) Sự kiện “xuất hiện mặt chấm chẵn” là sự kiện ngẫu nhiên A. Quan hệ giữa các sự kiện 8 MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST 1.3 Quan hệ giữa các sự kiện Một cách tương ứng với các phép toán của tập hợp, trong lý thuyết xác suất người ta xét các quan hệ sau đây cho các sự kiện trong cùng một phép thử. (a) Quan hệ kéo theo: Sự kiện A kéo theo sự kiện B, ký hiệu A ⊂ B, nếu khi A xảy ra thì B xảy ra.
Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói hai sự kiện A và B trùng nhau, viết là A = B. (b) Tổng các sự kiện: Sự kiện A được gọi là tổng của các sự kiện A1 , A2 ,. , An nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong các sự kiện Ai xảy ra, i = 1, 2,. Viết là: A = A1 + A2 + · · · + A n hoặc A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A n Hình 1.1: Sơ đồ Venn của A ∪ B và A ∩ B (c) Tích các sự kiện: Sự kiện B được gọi là tích của các sự kiện A1 , A2 ,.
, An nếu B xảy ra khi và chỉ khi tất cả các sự kiện Ai xảy ra, i = 1, 2,. A n hoặc B = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A n (d) Sự kiện xung khắc: Hai sự kiện A và B được gọi xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Nếu A và B xung khắc thì A ∩ B = ∅. (e) Sự kiện đối lập: Sự kiện không xảy ra sự kiện A được gọi là sự kiện đối lập của A, ký hiệu là A hoặc Ac.
Như vậy A và A thỏa mãn tính chất: A ∪ A = S và A ∩ A = ∅. Quan hệ giữa các sự kiện 9 MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Hình 1.2: Hai sự kiện xung khắc Hình 1.3: Sự kiện đối lập (f) Hiệu hai sự kiện: Hiệu của 2 sự kiện A và B, ký hiệu là A − B, là sự kiện xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Trường hợp hay sử dụng sự kiện hiệu: A = S − A, A = S − A. Trường hợp tổng quát, ta biến đổi thành sự kiện tích như sau: A − B = A ∩ B.
(g) Hệ (nhóm) đầy đủ các sự kiện: Hệ n sự kiện A1 , A2 ,. , An được gọi là hệ đầy đủ các sự kiện nếu nhất định phải xảy ra một và chỉ một trong các sự kiện ấy sau phép thử. Như vậy hệ { A1 , A2 ,. , An } là hệ đầy đủ nếu A ∩ A = ∅, i 6= j, i j A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = S.
Các sự kiện trong cùng một phép thử với phép toán tổng, tích và lấy sự kiện đối tạo thành đại số Boole, do đó các phép toán này có các tính chất như các phép toán hợp, giao, lấy phần bù đối với các tập con của không gian các sự kiện sơ cấp. Quan hệ giữa các sự kiện 10 MI2020-KỲ 20201–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Chú ý 1. (a) Mọi sự kiện ngẫu nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số sự kiện sơ cấp nào đó. Sự kiện chắc chắn S là tổng của mọi sự kiện sơ cấp có thể.
Do đó S còn được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp Ω. ¶ © (b) Đối với một sự kiện A thì ta có hệ đầy đủ A, A. Đối với hai sự kiện A và B, một hệ đầy ¶ © đủ là A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B. Tà đây ta sẽ sử dụng dấu ” + ” thay cho ” ∪ ” và dấu ”.
(a) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc nối tiếp. Gọi Ai là sự kiện “bóng đèn thứ i bị cháy”, i = 1, 2, 3. Gọi A là sự kiện “mạng mất điện”. Ta thấy rằng mạng bị mất điện khi ít nhất một trong ba bóng bị cháy.
(b) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc song song. Gọi Bi là sự kiện “bóng đèn thứ i bị cháy”, i = 1, 2, 3. Gọi B là sự kiện “mạng mất điện”. Ta thấy rằng mạng bị mất điện khi cả ba bóng bị cháy.
(c) Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất ra cùng một loại sản phẩm. Giả sử rằng mỗi sản phẩm của nhà máy chỉ do một trong ba phân xưởng này sản xuất. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, gọi Ci là sự kiện "sản phẩm được chọn do phân xưởng thứ i sản xuất", i = 1, 2, 3. Khi đó hệ ba sự kiện {C1 , C2 , C3 } là hệ đầy đủ.
Ba xạ thủ A, B, C mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu. Gọi A1 , A2 , A3 lần lượt là các sự kiện "A, B, C bắn trúng mục tiêu". (a) Hãy mô tả các sự kiện A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 + A2 + A3 .