Chương 1 ĐẠI SỐ VECTƠ 1. Khái niệm vectơ Trong vật lí, có những đại lượng mà khi chúng ta quy định các đơn vị đo thì sẽ được xác định hoàn toàn bằng một số, ví dụ như khối lượng, nhiệt độ, năng lượng,. Các đại lượng này được gọi là các đại lượng vô hướng. Có những đại lượng mà khi xác định ta cần phải biết cả độ lớn và hướng của chúng trong không gian, ví dụ như lực, vận tốc, gia tốc.
Dé mô tả các đại lượng này chúng ta dùng khái niệm vectơ. Vectơ MN (được ký hiệu là MN) là đại lượng có độ lớn bằng độ dài đoạn MN, cô hướng đi từ điểm đầu Mtéi điểm cuối N và được mô tả như trên hình I. Độ lớn của vectơ MN (còn gọi là độ dài hay module) được ký hiệu là |MN |, là một số không âm và có giá trị được quy ước bằng độ dài đoạn MN. Biéu diễn hình học của một vectơ MN (a) va vecto don vi @,,, (b).
Dọc theo hướng của vectơ MN có độ dài khác không cho trước, chúng ta luôn chọn được một vectơ đ„„ cùng hướng với MN và có độ dài bằng 1. Lúc đó, „ được gọi là vecfơ đơn vị theo hướng của MN và được xác định (hình I.Ib): MN Ổự„y =——- (1.1) J„A| Một vectơ sẽ được xác định khi biết đầy đủ bốn đại lượng: điển đặt, phương, chiều và độ lớn. Khi không quan tâm đến vị trí điểm đặt chúng ta ký hiệu vectơ bằng các chữ cái có đấu mũi tên phía trên, ví du: a, A,b, B,. hoc bang cac chữ cái in đậm, vi du: a, A, b, B,.
Trong tài liệu này, chúng ta quy ước viết vectơ theo cách có sử dụng dấu mũi tên phía trên. Các vectơ có điểm đặt tuỳ ý được gọi là vecto tw do. Khi điểm đặt bị giới hạn trên đường thăng chứa vectơ đó thì vectơ ấy được gọi là vectơ trượt, chang hạn như khi xét lực tác dụng lên vật rấn có thể chọn điểm bất kỳ trên vật ran ma gia cua luc di qua lam diém dat. Cuối cùng, những vectơ mà điểm đặt cần phải cô định thì được gọi là vecfơ buộc, chẳng hạn như khi xét chuyển động của chất điểm thì vectơ lực tác dụng cần phải đặt lên chính chất điểm đó.
Để nghiên cứu các vectơ buộc và các vectơ trượt chúng ta có thể quy về nghiên cứu theo các vectơ tự do. Ở các phần tiếp theo, khi không có yêu cầu gì riêng về điểm đặt thì ta ngầm định các vectơ được xem xét là vectơ tự do. Các phép toán cơ bản trên vectơ Các phép toán cộng, trừ và nhân trong đại số vectơ được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trong đại số các số. Các định nghĩa này được lấy làm cơ sở và phát biểu như sau: 1.
Hai vectơ đ và b có cùng thứ nguyên được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Một vectơ có hướng ngược với hướng của vectơ đ nhưng có cùng độ dài, được gọi là wecfơ đối của vectơ ä và ký hiệu là - Z. Tổng của hai vectơ @ va bla một vectơ € thu được bằng cách đặt điểm đầu của vectơ b kế tiếp điểm cuối của vectơ ä và nối điềm đâu của vectơ đ với điêm cuôi của vectơ b. Cách thức -2- tông hợp hai vectơ như vậy được gọi là guy tắc tam giác và được minh họa trên hình 1.
Ngoài quy tắc tam giác, chúng ta còn dùng gwy tắc hình bình hành. Từ định nghĩa tổng các vectơ chúng ta thấy rằng tổng này khác với tông đại số của các đoạn thắng. Vì vậy chúng ta gọi là tổng hình học. Minh họa phép cộng hai vectơ theo quy tắc tam giác (bên trái) và quy tắc hình bình hành (bên phải).
Hiệu của hai vectơ ä và Ð (ký hiệu đ-b ), là vecto tìm được bằng cách lấy vectơ ä cộng với vectơ đối của b „ nghĩa là c= ã-b=ä+(-b).Nếu ä = b thì ä- b được định nghĩa bằng vectơ không (ký hiệu là 0), có độ lớn bằng 0 và có hướng tuỳ ý. Đối với mỗi một vectơ đ bất kỳ chúng ta có: đ +0=4. Tích của vectơ đ với một số 4 tạo ra vectơ 4ä, có độ lớn bằng  lân vectơ đ và cùng hướng hoặc ngược hướng vectơ đ tuỳ thuộc vào 4 dương hay âm. Nếu 4 = 0 thì 4ä bằng vectơ không.
Tương tự, nếu vectơ đ là vectơ không thì với mọi 4 ta có 20=0 Từ đây, chúng ta rút ra các quy tắc của đại số vectơ: nếu đ, Ð, € là các vectơ, ¡ và2a là các vô hướng thì: a)äa+b=b+ä (tính giao hoán đối với phép cộng) b) ã +(b + £)=(ä +b ) + ẽ (tính kết hợp đối với phép cộng) ©) Âi(4a2ä) = (Ai An) (tính kết hợp đối với phép nhân) -3- đ) (ÂI+42) ä =Âiä +42ä (tính phân phối) e) Â(ä +b)= 4ã +Áb (tính phân phối) 6. Phép chiếu vectơ lên một trục. Cho vectơ đ và một trục w với chiều dương được xác định bởi vectơ đơn vị £, như trên hình 1. Xét hai mặt phẳng vuông góc với trục và đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đ, chúng cắt trục thành một đoạn thẳng a có độ dài |a,|.
Chúng ta định nghĩa hình chiếu của vectơ đ lên trục , ký hiệu là „, được xác định bởi công thức a, =|d|cos(é,,a) =|a|cosa, (1.2) trong đó,ø là góc tạo bởi vectơ đ và chiều dương của trục ứ. Biéu diễn hình chiếu của vectơ đ lên một trục. Như vậy, hình chiếu của vectơ đ lên trục w là một đại lượng đại sỐ phụ thuộc vào sự định hướng của vectơ đ, nó bằng 0 khi đ vuông góc với trục u, nó nhận giá trị dương nếu đ tạo với chiều dương của trục một góc bé hơn 90° và nhận giá trị âm khi đ tạo với chiều dương của trục một góc lớn hơn 90°. Độ lớn của của ø„ chính bằng độ dài đoạn thắng tạo bởi hai mặt phẳng nói trên với trục ứ.
Hệ vectơ cơ sở 1. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các vectơ Xét tap hop n vecto { á,, đ;. đ„ }, chúng ta định nghĩa tập hợp các véctơ này là phụ thuộc tuyến tính với nhau nếu tồn tại n sé 1, A,.,Âu không đông thời bằng không sao cho: ÂIä,+Â2ä,+. (13) Trong trường hợp (1.3) chỉ thoả mãn khi tất cả các hệ số ¡, 22,.,» đông thời bằng không thi ching ta nói hệ n vectơ trên là độc lập tuyến tính.
Với các định nghĩa này chúng ta có thể dễ dàng suy ra một số tính chất sau đây: a) Hai vectơ phụ thuộc tuyến tính là cộng tuyến (song song) với nhau. Thật vậy, khi đ, và a, phu thuộc tuyến tính thì tồn tại một hệ số 2; khác không (giả sử 2¡) và thỏa mãn đẳng thức (1.3), nghĩa là Ai a, +42a,= 9. Chia hai về cho 1 chúng ta được đ,= a, , nghia la đ, và A, a, c6ng tuyén. b) Ba vectơ phụ thuộc tuyến tính với nhau sẽ nằm trong một mặt phẳng (đồng phẳng).
Thật vậy, xét ba vectơ phụ thuộc tuyến tính d,, d, va G,. Theo định nghĩa chúng ta giả sử hệ số À¡ khác không. Khi đó hệ thức (1.3) được biến đổi thành: % As d, =mda, +nda,, voim=-, n=-=. a", Vì mã, và nả, tương ứng cộng tuyến với các vectơ đ, và á, nên từ quy tắc cộng vectơ (hình 1.2) ta suy ra ba vectơ này đồng phang.
Khai triển một vectơ theo các vectơ khác Xét hai vectơ đ và Ð độc lập tuyến tính, khi đó bất kỳ vectơ £ nào đồng phẳng với đ và b cũng luôn biểu diễn được theo hệ thức: é=ma+nb, (1.4) với zn, n là các số thực không đồng thời bằng không. Sự khai triển vectơ @ theo các vectơ đ và Ð là duy nhất, nghĩa là chỉ tồn tại duy nhất một bộ các số (m, ø) thoả mãn (1. Chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng cách giả thiết tồn tại một khai triển khác được xác định bởi: é=ma+nb.4a) Trừ về theo về của (1.4a) chúng ta được: Œn—m)ä+(n—n)b =0. Do G va b độc lập tuyến tính nên đăng thức này chỉ xảy ra khi m = m vàn = n, nghĩa là các hệ số ơm và n của phép biểu diễn trên đây là duy nhất.
Kết quả trên đây dễ dàng được mở rộng cho trường hợp ba vectơ độc lập tuyến tính ä, ð và é. Khi đó, một vectơ đ bắt kỳ luôn khai triển được theo hệ thức: d=ma+nb+ pe, (1.5) với bộ các hệ hệ số khai triển (m, n, p) duy nhất. Hệ vectơ cơ sở Như đã trình bày trên đây, một vectơ bất kỳ trong không gian ba chiều luôn được biểu diễn theo theo hệ ba vectơ độc lập tuyến tính. Chúng ta nói rằng hệ ba vectơ độc lập tuyến tính (ký hiệu là {é, £;, ; }) tạo thành một hệ vecfơ cơ sở đối với không gian ba chiều, bản thân các vectơ ẻ, được gọi là các vecfơ cơ sở.
Như vậy, với bất kỳ ba vectơ độc lập tuyến tính đều tạo thành một hệ vectơ cơ sở cho không gian ba chiêu. Biểu diễn vectơ đ trong hệ vectơ cơ sở trực chuẩn {é. : Trong vật lí, để tiện lợi cho các tính toán ta thường hay dùng các hệ vectơ cơ sở trực chuẩn (các vectơ cơ sở lần lượt vuông góc với nhau và có module bằng 1). Một trong những hệ vectơ cơ sở thường hay sử dụng là hệ cơ sở trực chuẩn Descartes { ẻ,, £,, €.
} được biểu diễn như trên hình 1. Trong hệ cơ sở trực chuẩn Descartes, vectơ đ được biểu diễn theo các vectơ cơ sở như sau: a=a.6a) yry Z4 hoặc dưới dạng khác Si =(a,,4,, a,).6b) Chúng ta goi ax, ay và a; là các thành phần của vectơ đ trong hệ cơ so {@,,é, &}. Bang biéu dién hinh hoc ching ta dé nhan thay Ax, Ay va a; chinh là thành phần hình chiếu của vectơ đ tương ứng lên các trục x, y và z (xem hình 1. Khi đó, module của vectơ đ được tính theo các thành phần hình chiếu của nó bởi công thức: la|= Ja? +a’ +a’.
Các góc chỉ phương của vectơ đ trong không gian. Ngoài module, hướng cua vecto đ trong hệ cơ sở này được xác định thông qua các góc chỉ phương ø, Ø và y (xem hình 1.5) như sau: a a, a cosa=—, cosB Tp cosy = (1.8) a a Các dai luong cosa, cosf va cosy xac dinh theo (1.8) duoc goi la cac cosin chỉ phương của vectơ a. Khi do, tir (1.8) chúng ta xác định được vectơ đơn vị theo hướng của vectơ đ (kí hiệu la é, ): đ, =(cos #)€, +(cos /)£,, + (cos 7)£,.