Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Đa thức ma trận: Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan" do nghiên cứu sinh Dư Thị Hoa Bình thực hiện tại Trường Đại học Quy Nhơn vào năm 2018, thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số (mã số 9460104), dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Lê Công Trình và TS. Đinh Trung Hòa.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Đa thức ma trận xuất hiện tự nhiên trong nhiều bài toán thực tế như giải hệ phương trình vi phân cấp cao hệ số hằng $\sum_{i=0}^d A_i \frac{d^i u(t)}{dt^i} = 0$, lý thuyết dao động cơ học, lý thuyết hệ thống, kỹ thuật Wiener-Hopf và giải tích số. Nghiên cứu giá trị riêng của đa thức ma trận (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) và bài toán giá trị riêng bậc hai (Quadratic Eigenvalue Problem - QEP) đóng vai trò trung tâm trong phân tích độ ổn định và động lực học hệ thống. Tuy nhiên, việc tính toán trực tiếp phổ $\sigma(P(z))$ của đa thức ma trận là một bài toán phức tạp và tốn kém tài nguyên tính toán; các tài liệu lý thuyết ma trận và đại số tuyến tính trước đó chưa cung cấp đầy đủ các đánh giá giới hạn miền chứa giá trị riêng.

Bên cạnh đó, trong hình học đại số thực, các định lý biểu diễn dương (Positivstellensatz) đóng vai trò nền tảng trong bài toán tối ưu hóa đa thức và bài toán mômen. Việc mở rộng các định lý biểu diễn dương vô hướng (như định lý Putinar-Vasilescu, Dickinson-Povh, Handelman) sang cấu trúc đa thức ma trận đối xứng trên các tập nửa đại số đóng cơ bản đặt ra yêu cầu cấp thiết về mặt lý thuyết thuần túy lẫn ứng dụng trong bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và quy hoạch nửa xác định (SDP).

Mục tiêu và các bài toán nghiên cứu chính

Luận án tập trung giải quyết hai bài toán toán học cốt lõi:

  1. Bài toán 1 (Đa thức ma trận một biến): Cho đa thức ma trận $P(z) = A_d z^d + A_{d-1} z^{d-1} + \dots + A_1 z + A_0$ với $A_i \in M_t(\mathbb{C})$ ($A_0, A_d$ không suy biến). Xác định các số thực $m$ và $M$ sao cho $m \le |\lambda| \le M$ với mọi giá trị riêng $\lambda \in \sigma(P(z))$, thiết lập các chặn trên và chặn dưới mới dựa trên chuẩn ma trận của các hệ số và so sánh hiệu quả với kết quả của Higham và Tisseur.
  2. Bài toán 2 (Đa thức ma trận nhiều biến): Cho $F \in S_t(\mathbb{R}[X])$ và tập nửa đại số đóng cơ bản $K_G \subseteq \mathbb{R}^n$ xác định bởi $G = {G_1, \dots, G_m} \subseteq S_t(\mathbb{R}[X])$. Giả sử $F \succ 0$ trên $K_G$, xác định các điều kiện để $F$ thuộc môđun bậc hai $M_G$ hoặc thuộc tiền thứ tự $T_G$, từ đó xây dựng dạng ma trận cho các định lý biểu diễn dương của Putinar-Vasilescu, Dickinson-Povh, Handelman và thiết lập thuật toán tìm biểu diễn dương trên đa diện lồi compact.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các đa thức ma trận một biến $P(z) \in M_t(\mathbb{C}[z])$ và các đa thức ma trận đối xứng nhiều biến $F(X) \in S_t(\mathbb{R}[X])$.
  • Phạm vi lý thuyết: Lý thuyết phổ ma trận, hình học đại số thực, bất đẳng thức ma trận, quy hoạch nửa xác định và giải tích lồi.
  • Thời gian và địa điểm hoàn thành: Công trình được bảo vệ năm 2018 tại Trường Đại học Quy Nhơn, tỉnh Bình Định.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm lại và kế thừa có hệ thống hai nhánh lý thuyết toán học lớn:

Hướng nghiên cứu về phân bố nghiệm và giá trị riêng

  • Trường hợp đa thức vô hướng một biến ($t=1$): Các kết quả cổ điển về miền chứa nghiệm của Cauchy (1929), định lý Eneström-Kakeya (1920), các đánh giá chặn của Joyal, Labelle và Rahman (1967), cùng các mở rộng của Datt và Govil (1988).
  • Trường hợp đa thức ma trận một biến ($t > 1$): Hai công trình nền tảng đầu tiên khảo sát toàn diện đa thức ma trận gắn với lý thuyết hệ rung của Frazer, Duncan, Collar (1955) và Lancaster (1966). Các chuyên khảo và nghiên cứu ứng dụng QEP, PEP của Gohberg, Lancaster, Rodman (1982), Hammarling, Munro, Tisseur (2013), Zeng và Su (2014). Đặc biệt, Higham và Tisseur (2000) đã thiết lập các chặn giới hạn giá trị riêng dựa trên chuẩn toán tử của các ma trận hệ số; Simoncini và Perotti (2006) đề xuất phương pháp lặp tính phổ.

Hướng nghiên cứu về Positivstellensatz, tối ưu hóa và bài toán mômen

  • Trường hợp vô hướng: Xuất phát từ Bài toán thứ 17 của Hilbert (1900) và lời giải của Artin (1927) về biểu diễn tổng bình phương hàm phân thức. Các phản ví dụ về đa thức không âm không là tổng bình phương đa thức của Motzkin (1967) và Choi-Lam (1977). Biểu diễn có mẫu thức của Krivine (1964) và Stengle (1974). Các định lý biểu diễn dương không mẫu thức của Schmüdgen (1991) trên tập compact, Handelman (1988) trên đa diện lồi compact, Putinar (1993) với điều kiện môđun bậc hai Archimedes, Schweighofer (2006) trên tập không compact dựa trên giá trị tiệm cận, Pólya (1928), Reznick (1995) cho đa thức thuần nhất, Putinar-Vasilescu (1999) và Dickinson-Povh (2015).
  • Ứng dụng tối ưu hóa và bài toán mômen: Haviland (1935) đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại độ đo Borel dương; Shor (1987), Nesterov (2000), Lasserre (2001) ứng dụng xấp xỉ tổng bình phương (SOS) và quy hoạch nửa xác định (SDP) giải bài toán tối ưu đa thức.
  • Trường hợp ma trận: Scherer và Hol (2006) thiết lập dạng ma trận cho định lý Pólya và Putinar trên đơn hình $\Delta_n$; Cimprič (2012) xây dựng dạng ma trận cho định lý Krivine-Stengle; Cimprič và Zalar (2013) nghiên cứu bài toán mômen toán tử và dạng ma trận định lý Schmüdgen; Lê Công Trình (2011) đưa ra dạng ma trận cho các định lý Krivine-Stengle, Schweighofer và Scheiderer; Schmüdgen (2009) chứng minh tính chéo hóa được của đa thức ma trận đối xứng.

Khoảng trống luận án giải quyết

Luận án lấp đầy khoảng trống về các chặn giải tích cụ thể cho phổ của đa thức ma trận tổng quát mà các kết quả của Higham và Tisseur chưa tối ưu, đồng thời xây dựng dạng ma trận hoàn chỉnh cho các định lý biểu diễn dương của Putinar-Vasilescu, Dickinson-Povh, Reznick và Handelman trên các tập nửa đại số đóng cơ bản và đa diện lồi compact.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm cốt lõi

  1. Đa thức ma trận và phổ: Đa thức $P(z) = \sum_{i=0}^d A_i z^i$ với $A_i \in M_t(\mathbb{C})$. Cặp $(\lambda, x) \in \mathbb{C} \times (\mathbb{C}^t \setminus {0})$ thỏa mãn $P(\lambda)x = 0$ là giá trị riêng và vectơ riêng. Tập phổ $\sigma(P(z)) = {\lambda \in \mathbb{C} : \det(P(\lambda)) = 0}$.
  2. Môđun bậc hai và tiền thứ tự ma trận:
    • Môđun bậc hai nhỏ nhất trên $M_t(\mathbb{R}[X])$ chứa tập $G \subseteq S_t(\mathbb{R}[X])$ ký hiệu là $M_G = \left{ \sum_{i,j} A_{ij}^T G_i A_{ij} \mid G_i \in G \cup {I_t}, A_{ij} \in M_t(\mathbb{R}[X]) \right}$.
    • Tiền thứ tự $T_G$ là môđun bậc hai trong $M_t(\mathbb{R}[X])$ sao cho tập $T_G \cap (\mathbb{R}[X] \cdot I_t)$ đóng đối với phép nhân.
    • Khi $G = \emptyset$, $\sum M_t(\mathbb{R}[X])^2$ là tập các tổng hữu hạn dạng $A^T A$.
  3. Thuần nhất hóa: Với $G(X) = \sum_{|\alpha|=0}^d G_\alpha X^\alpha$, đa thức thuần nhất hóa là $\tilde{G}(X_0, X) = \sum_{|\alpha|=0}^d X_0^{d-|\alpha|} G_\alpha X^\alpha$.
  4. Chuẩn ma trận: Sử dụng chuẩn toán tử $|A|p = \max{|x|_p=1} |Ax|_p$ với $p = 1, 2, \infty$, trong đó $|A|_2$ là chuẩn phổ.

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp đại số và lý thuyết toán tử: Kỹ thuật quy đổi bài toán giá trị riêng đa thức về dạng dạng toàn phương vô hướng $u^* P(z) u = 0$ thông qua vectơ đơn vị $u \in \mathbb{C}^t$, biến đổi đại số ma trận, chéo hóa hữu tỉ trên vành đa thức.
  • Phương pháp hình học đại số thực: Sử dụng cấu trúc nón lồi, bao đóng đại số của môđun bậc hai, thuần nhất hóa biến phụ $X_0$, áp dụng nguyên lý tách và giải tích lồi.
  • Phương pháp tính toán thực nghiệm: Áp dụng công cụ phần mềm tính toán MATLAB 7.x để kiểm chứng số học các ma trận cụ thể, tính toán phổ thực tế và so sánh độ hẹp của các miền chặn lý thuyết.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số kết quả chuẩn bị

Chương này trình bày hệ thống khái niệm nền tảng và các kết quả bổ trợ được sử dụng xuyên suốt luận án:

  • Phân bố nghiệm đa thức vô hướng một biến: Giới thiệu định lý Eneström-Kakeya (nếu $a_d \ge a_{d-1} \ge \dots \ge a_0 \ge 0$ và $a_d > 0$ thì mọi nghiệm $z \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $\frac{a_0}{2a_d} \le |z| \le 1$), định lý Cauchy ($|z| \le 1 + \max_{0 \le j \le d-1} \frac{|a_j|}{|a_d|}$), các hệ quả của Joyal-Labelle-Rahman, Datt-Govil và các chặn theo chuẩn $l_p, l_q$.
  • Bài toán thứ 17 của Hilbert và các định lý biểu diễn dương: Trình bày định lý Artin, cấu trúc đa thức Motzkin, đa thức Choi-Lam; các định lý biểu diễn dương của Krivine-Stengle, Schmüdgen, Handelman, Putinar (với điều kiện $M_G$ Archimedes), Schweighofer (trên tập không compact với tập giá trị tiệm cận hữu hạn $R_\infty(f, K_G) \subset \mathbb{R}^+$), Pólya, Reznick, Putinar-Vasilescu và Dickinson-Povh.
  • Tối ưu hóa đa thức và bài toán mômen: Mô tả quá trình nới lỏng nón SOS chuyển bài toán tìm $f^* = \inf_{x \in K_G} f(x)$ thành bài toán quy hoạch nửa xác định $f_k^{sos, G}$, thỏa mãn $f_k^{sos, G} \le f_{k+1}^{sos, G} \le f^{sos, G} \le f^*$ và $\lim_{k \to \infty} f_k^{sos, G} = f^{sos, G}$; định lý Haviland về điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại độ đo Borel dương.
  • Hình học đại số thực cho đa thức ma trận: Nêu cấu trúc môđun bậc hai $M_G$, tiền thứ tự $T_G$, bổ đề chéo hóa đa thức ma trận của Schmüdgen ($b^2 A = X_+ D X_+^T$ với $D$ là ma trận đường chéo trong $M_t(\mathbb{R}[X])$), các dạng ma trận đã biết của định lý Artin, Krivine-Stengle, Schweighofer, Schmüdgen và Scherer-Hol.
  • Tính xác định dương và thuần nhất hóa: Thiết lập các mệnh đề liên hệ: Đa thức ma trận thuần nhất hóa $\tilde{F} \succ 0$ trên $K_{\tilde{G}} \setminus {0}$ khi và chỉ khi $F \succ 0$ trên $K_G$ và thành phần thuần nhất bậc cao nhất $F_{2d} \succ 0$ trên $(K_G)_{2d'} \setminus {0}$.
Bảng 1: So sánh các định lý biểu diễn dương cho đa thức vô hướng và đa thức ma trận
Tác giả Không gian áp dụng Điều kiện tập xác định Dạng biểu diễn
Artin (1927) Đa thức vô hướng $f \in \mathbb{R}[X]$ Toàn không gian $\mathbb{R}^n$, $f \ge 0$ Tổng bình phương phân thức hữu tỉ trong $\mathbb{R}(X)^2$
Krivine - Stengle (1964, 1974) Đa thức vô hướng $f \in \mathbb{R}[X]$ Tập nửa đại số cơ bản $K_G$, $f \ge 0$ Biểu diễn có mẫu thức qua tiền thứ tự $T_G$: $pf = f^{2m} + q$
Schmüdgen (1991) Đa thức vô hướng $f \in \mathbb{R}[X]$ Tập nửa đại số $K_G$ compact, $f > 0$ Thuộc tiền thứ tự không mẫu thức: $f \in T_G$
Putinar (1993) Đa thức vô hướng $f \in \mathbb{R}[X]$ Môđun $M_G$ Archimedes, $f > 0$ Thuộc môđun bậc hai: $f \in M_G$
Scherer - Hol (2006) Đa thức ma trận $F \in S_t(\mathbb{R}[X])$ Đơn hình $\Delta_n$, $F \succ 0$ Dạng ma trận định lý Pólya và Putinar trên $\Delta_n$
Lê Công Trình (2011) Đa thức ma trận $F \in S_t(\mathbb{R}[X])$ Tập $K_G$ không compact, $F \succ 0$ Dạng ma trận cho định lý Krivine-Stengle và Schweighofer

Chương 2: Sự phân bố giá trị riêng của đa thức ma trận

Chương này trình bày các định lý mới thiết lập miền chặn cho phổ $\sigma(P(z))$ của đa thức ma trận $P(z) = A_d z^d + \dots + A_1 z + A_0$:

  1. Chặn cho đa thức ma trận có hệ số trội chuẩn:
    • Giả sử $|A_d| > |A_i|$ với mọi $i = 0, 1, \dots, d-1$. Khi đó mọi giá trị riêng $\lambda \in \sigma(P(z))$ thỏa mãn: $$|\lambda| < 1 + |A_d| |A_d^{-1}|$$
  2. Dạng ma trận thứ nhất của định lý Eneström-Kakeya:
    • Giả sử $A_d \prec A_{d-1} \prec \dots \prec A_0 \prec 0$ và $A_d \succ 0$. Khi đó mọi giá trị riêng $\lambda \in \sigma(P(z))$ thỏa mãn: $$\frac{\lambda_{\min}(A_0)}{2\lambda_{\max}(A_d)} \le |\lambda| \le 1$$ trong đó $\lambda_{\min}(A_0)$ là giá trị riêng nhỏ nhất của $A_0$ và $\lambda_{\max}(A_d)$ là giá trị riêng lớn nhất của $A_d$.
    • Đối ngẫu: Nếu $A_0 \prec A_1 \prec \dots \prec A_d \succ 0$ thì mọi giá trị riêng thỏa mãn $|\lambda| \ge 1$.
  3. Dạng ma trận thứ hai của định lý Eneström-Kakeya:
    • Giả sử tất cả các ma trận hệ số $A_i \in M_t(\mathbb{C})$ đều xác định dương ($A_i \succ 0, \forall i = 0, \dots, d$). Khi đó mọi giá trị riêng $\lambda \in \sigma(P(z))$ thỏa mãn: $$\min_{0 \le i \le d-1} \frac{\lambda_{\min}(A_i)}{\lambda_{\max}(A_{i+1})} \le |\lambda| \le \max_{0 \le i \le d-1} \frac{\lambda_{\max}(A_i)}{\lambda_{\min}(A_{i+1})}$$
  4. Các định lý dạng Cauchy cho đa thức ma trận: Thiết lập các chặn phụ thuộc vào chuẩn của $A_d^{-1} A_i$.
  5. Thực nghiệm tính toán và so sánh số liệu:
    • Khảo sát ví dụ đa thức ma trận bậc hai $P(z) = A_2 z^2 + A_1 z + A_0$ với: $$A_0 = \begin{pmatrix} 2 & -i \ i & 1 \end{pmatrix}, \quad A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 2-i \ 2+i & 6 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 7 & 6-4i \ 6+4i & 13 \end{pmatrix}$$
    • Sử dụng MATLAB 7.x kiểm tra quan hệ thứ tự $A_2 \prec A_1 \prec A_0 \succ 0$, tính được các giá trị riêng chính xác và kiểm chứng miền chặn lý thuyết $\frac{\lambda_{\min}(A_0)}{2\lambda_{\max}(A_2)} \le |\lambda| \le 1$. Kết quả cho thấy các chặn mới mang lại độ chính xác cao và tối ưu hơn so với các chặn tổng quát của Higham và Tisseur.

Chương 3: Các định lý biểu diễn dương cho đa thức ma trận

Chương này tập trung giải quyết trọn vẹn Bài toán 2, thiết lập các dạng ma trận mở rộng cho các định lý Positivstellensatz:

  • Dạng ma trận của định lý Putinar-Vasilescu và Reznick: Mở rộng biểu diễn tổng bình phương ma trận cho các đa thức ma trận thuần nhất và không thuần nhất xác định dương trên các tập nửa đại số đóng cơ bản.
  • Dạng ma trận của định lý Dickinson-Povh: Kết hợp tính chất của đa thức ma trận xác định dương trên phần giao của tập nửa đại số đóng cơ bản với nón dương $\mathbb{R}_+^n$.
  • Dạng ma trận của định lý Handelman:
    • Thiết lập biểu diễn cho đa thức ma trận xác định dương trên $n$-đơn hình chuẩn $\Delta_n$.
    • Mở rộng biểu diễn dương cho đa thức ma trận đối xứng trên đa diện lồi compact $P = {x \in \mathbb{R}^n \mid \lambda_i(x) \ge 0, i=1,\dots,m}$.
  • Thuật toán tìm biểu diễn dương: Xây dựng quy trình thuật toán cụ thể để tìm biểu diễn ma trận dương cho đa thức ma trận đối xứng $F(X) \succ 0$ trên đa diện lồi compact thông qua giải các bài toán quy hoạch nửa xác định (SDP).

Kết quả và những đóng góp mới

  1. Mở rộng các định lý phân bố phổ sang đa thức ma trận: Thiết lập thành công các dạng ma trận của định lý Eneström-Kakeya và các định lý dạng Cauchy, cung cấp công thức tường minh tính chặn trên và chặn dưới cho môđun các giá trị riêng của đa thức ma trận một biến thông qua giá trị riêng cực trị và chuẩn của ma trận hệ số.
  2. Xây dựng các định lý Positivstellensatz dạng ma trận: Mở rộng thành công các định lý biểu diễn dương vô hướng nổi tiếng (Putinar-Vasilescu, Dickinson-Povh, Reznick, Handelman) sang vành các đa thức ma trận đối xứng $S_t(\mathbb{R}[X])$.
  3. Thiết lập mối liên hệ giữa đa thức ma trận và thuần nhất hóa: Chứng minh tường minh điều kiện cần và đủ để đa thức ma trận thuần nhất hóa $\tilde{F}$ xác định dương trên nón nới rộng thông qua tính xác định dương của $F$ và thành phần bậc cao nhất $F_{2d}$.
  4. Xây dựng thuật toán tính toán: Đề xuất thuật toán tìm biểu diễn dương cho đa thức ma trận trên đa diện lồi compact, hỗ trợ giải các bài toán tối ưu hóa đa thức ma trận và bài toán điều khiển tuyến tính (LMI).

Các kết quả của luận án đã được công bố trong các bài báo khoa học, tiền ấn phẩm và được báo cáo tại các diễn đàn học thuật:

  • Hội thảo Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần I (Trường Đại học Quy Nhơn, 2015).
  • Hội thảo quốc tế The 6th International Conference on Matrix Analysis and Applications (ICMAA) (Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, 2017).
  • Hội thảo quốc tế String-Math 2018 (Trường Đại học Tohoku, Sendai, Nhật Bản, 2018).
  • Hội thảo quốc tế The 7th International Conference on Matrix Analysis and Applications (ICMAA 2018) (Trường Đại học Shinshu, Nagano, Nhật Bản, 2018).
  • Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Nha Trang, 2018).
  • Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế: Các chặn giá trị riêng trong Chương 2 đòi hỏi các điều kiện đặc biệt trên hệ số như tính xác định dương hoặc tính thứ tự ma trận ($A_d \prec \dots \prec A_0$), chưa bao quát toàn bộ các lớp đa thức ma trận suy biến hoặc ma trận hệ số bất kỳ. Biểu diễn dương trong Chương 3 chủ yếu áp dụng trên tập compact hoặc đa diện lồi, với bậc biểu diễn có thể tăng cao khi chuyển thành bài toán quy hoạch nửa xác định.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Tiếp tục nghiên cứu mở rộng chặn phổ cho các lớp đa thức ma trận tổng quát hơn với điều kiện suy biến.
    • Tối ưu hóa bậc và độ phức tạp tính toán của thuật toán tìm biểu diễn dương trên đa diện lồi compact.
    • Nghiên cứu sâu hơn ứng dụng của Positivstellensatz ma trận trong lý thuyết điều khiển bền vững và bài toán mômen toán tử.

Giá trị tham khảo

  • Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Đại số, Giải tích và Toán ứng dụng: Tài liệu tham khảo hữu ích về kỹ thuật đại số thực, biểu diễn tổng bình phương ma trận và lý thuyết phổ của đa thức ma trận.
  • Đối với giảng viên và nhà nghiên cứu giải tích ma trận / tối ưu hóa: Cung cấp công cụ giải tích hữu hiệu để ước lượng phổ trong các bài toán dao động, phương trình vi phân và thiết kế thuật toán xấp xỉ SDP cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

Câu hỏi thường gặp

1. Phổ của đa thức ma trận được định nghĩa như thế nào trong luận án?

Theo luận án, phổ $\sigma(P(z))$ của đa thức ma trận $P(z) = A_d z^d + \dots + A_1 z + A_0$ ($A_i \in M_t(\mathbb{C})$) là tập hợp tất cả các số phức $\lambda \in \mathbb{C}$ sao cho tồn tại vectơ khác không $x \in \mathbb{C}^t$ thỏa mãn $P(\lambda)x = 0$. Mỗi giá trị riêng $\lambda$ chính là một nghiệm của đa thức đặc trưng vô hướng $\det(P(z)) = 0$.

2. Định lý Eneström-Kakeya dạng ma trận cho lớp hệ số giảm xác định chặn giá trị riêng ra sao?

Khi các hệ số ma trận thỏa mãn $A_d \prec A_{d-1} \prec \dots \prec A_0 \prec 0$ và $A_d \succ 0$, mọi giá trị riêng $\lambda \in \sigma(P(z))$ đều nằm trong hình vành khăn xác định bởi: $$\frac{\lambda_{\min}(A_0)}{2\lambda_{\max}(A_d)} \le |\lambda| \le 1$$ trong đó $\lambda_{\min}(A_0)$ là giá trị riêng nhỏ nhất của $A_0$ và $\lambda_{\max}(A_d)$ là giá trị riêng lớn nhất của $A_d$.

3. Điều kiện để đa thức ma trận thuần nhất hóa $\tilde{F}$ xác định dương là gì?

Đa thức ma trận thuần nhất hóa $\tilde{F}$ xác định dương trên $K_{\tilde{G}} \setminus {0}$ khi và chỉ khi đa thức ma trận ban đầu $F$ xác định dương trên $K_G$ ($F \succ 0$ trên $K_G$) và thành phần thuần nhất bậc cao nhất $F_{2d}$ xác định dương trên tập $(K_G)_{2d'} \setminus {0}$.

4. Thuật toán trong Chương 3 giải quyết bài toán gì?

Thuật toán trong Chương 3 đưa ra quy trình từng bước nhằm tìm biểu diễn dương cho một đa thức ma trận đối xứng xác định dương trên một đa diện lồi compact $P \subset \mathbb{R}^n$ dựa trên dạng ma trận của định lý Handelman, quy bài toán về việc giải các bài toán quy hoạch nửa xác định (SDP) liên tiếp.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Dư Thị Hoa Bình đã giải quyết có hệ thống hai bài toán lý thuyết quan trọng về phân bố giá trị riêng của đa thức ma trận một biến và các định lý biểu diễn dương (Positivstellensatz) cho đa thức ma trận nhiều biến. Các kết quả mới đạt được bao gồm các chặn phổ tường minh mở rộng từ định lý Cauchy và Eneström-Kakeya, cùng các biểu diễn dương dạng ma trận mở rộng từ các định lý Putinar-Vasilescu, Dickinson-Povh và Handelman. Công trình có đóng góp khoa học rõ ràng cho chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, đồng thời mở ra khả năng ứng dụng trong tối ưu hóa đa thức ma trận và lý thuyết điều khiển.