Tổng quan luận án

Bài toán tìm một phần tử thuộc vào giao của một họ các tập con lồi đóng trong không gian Hilbert thực hoặc không gian Banach là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phi tuyến và tối ưu hóa, thường được gọi là bài toán chấp nhận lồi (convex feasibility problem). Các tập lồi đóng trong bài toán này có thể xuất hiện dưới nhiều dạng biểu diễn khác nhau:

  1. Dạng hình học tường minh như các hình cầu, không gian con hoặc nửa không gian;
  2. Dạng ẩn như tập các điểm bất động của một họ các ánh xạ không giãn hoặc ánh xạ giả co chặt;
  3. Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân liên kết với một toán tử đơn điệu;
  4. Tập nghiệm của bài toán cân bằng liên kết với một song hàm.

Về mặt ứng dụng thực tiễn được luận án dẫn chứng, bài toán chấp nhận lồi có vai trò căn bản trong lĩnh vực xử lý ảnh kỹ thuật số (phục chế và tái tạo ảnh dựa trên các dữ liệu trực tiếp hoặc gián tiếp liên quan đến vật thể cần dựng ảnh), đồng thời có các ứng dụng trong y học, công nghiệp, quân sự, thiên văn học và công nghệ sinh học.

Trong trường hợp họ tập lồi chỉ gồm hai không gian con $C_1, C_2$ của không gian Hilbert $H$, bài toán đã được J. von Neumann nghiên cứu từ sớm thông qua thuật toán phép chiếu luân phiên: xuất phát từ một điểm $x \in H$, xây dựng hai dãy lặp $y_0 = x$, $x_k = P_{C_1}(y_{k-1})$ và $y_k = P_{C_2}(x_k)$ ($k = 1, 2, \dots$), từ đó chứng minh cả hai dãy đều hội tụ mạnh đến hình chiếu metric $P_C(x)$ với $C = C_1 \cap C_2$. Khi số lượng tập lồi lớn hơn hoặc bằng hai và mỗi tập được xác định dưới dạng tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn $T_i$, bài toán trở thành tìm điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn ${T_i}$.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả luận án chỉ ra xuất phát từ hai hạn chế cốt lõi của các kết quả nghiên cứu trước đó:

  • Thứ nhất, hầu hết các sơ đồ lặp cổ điển thiết lập cho lớp ánh xạ không giãn và ánh xạ giả co chặt (chẳng hạn như thuật toán lặp Mann) thường chỉ đảm bảo tính hội tụ yếu của dãy lặp trong không gian vô hạn chiều. Để đạt được sự hội tụ mạnh, các nghiên cứu trước đó buộc phải bổ sung giả thiết compact rất ngặt trên miền xác định hoặc đòi hỏi toán tử phải thỏa mãn tính chất $d$-compact, điều này làm thu hẹp đáng kể phạm vi ứng dụng của lý thuyết.
  • Thứ hai, đối với bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, phương pháp nguyên lý bài toán phụ cổ điển chỉ hội tụ khi ánh xạ cơ sở có tính chất đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz; khi tính đơn điệu mạnh bị triệt tiêu (toán tử chỉ còn tính đơn điệu thông thường), các thuật toán lặp tiêu chuẩn không còn đảm bảo sự hội tụ đến nghiệm. Mặt khác, các phương pháp giải đồng thời bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ giả co chặt hoặc họ vô hạn ánh xạ không giãn vẫn còn nhiều hạn chế về mặt thuật toán và điều kiện tham số.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể như sau:

  1. Nghiên cứu và thiết lập phương pháp giải mới để tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert (chứa trường hợp riêng là họ các ánh xạ không giãn);
  2. Xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên chuỗi tổng vô hạn các ánh xạ để tìm điểm bất động chung của họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert;
  3. Vận dụng nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên ánh xạ loại $W$ để giải bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập điểm bất động chung của họ vô hạn ánh xạ không giãn hoặc họ vô hạn ánh xạ giả co chặt;
  4. Đề xuất một thuật toán lai ghép mới, kết hợp giữa phương pháp dốc nhất lai (Hybrid Steepest Descent - HSD) và phép lặp Krasnoselskij - Mann (thuật toán KM-HSD), nhằm giải bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:

  • Đối tượng nghiên cứu: Không gian Hilbert thực $H$; tập con lồi đóng khác rỗng $C \subset H$; họ các ánh xạ $\lambda$-giả co chặt ${T_i}$; họ các ánh xạ không giãn; ánh xạ đơn điệu, giả đơn điệu, ngược đơn điệu mạnh; bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán điểm bất động.
  • Phạm vi nghiên cứu: Luận án tập trung vào cấu trúc lý thuyết giải tích hàm và giải tích phi tuyến trong không gian Hilbert thực $H$, thiết lập các thuật toán lặp giải tích giải bài toán biến phân và bài toán xấp xỉ điểm bất động, đánh giá các điều kiện tham số nhằm xác lập sự hội tụ mạnh của các dãy nghiệm xấp xỉ.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tiến hành hệ thống hóa các hướng nghiên cứu tiền đề trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân và lý thuyết điểm bất động:

Hướng nghiên cứu Tác giả, công trình và năm trích dẫn Trọng tâm và kết quả đạt được theo văn bản
Bài toán chấp nhận lồi và phép chiếu xen kẽ Neumann J. Khảo sát bài toán với hai không gian con trong không gian Hilbert, chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp chiếu luân phiên về hình chiếu trên giao hai không gian con.
Điểm bất động chung cho họ ánh xạ Ceng L. Nghiên cứu bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ không giãn ${T_i}_{i \ge 2}$.
Bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều Stampacchia và Hartman (1966) Giới thiệu lần đầu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều, ứng dụng giải bài toán điều khiển tối ưu và bài toán biên phương trình đạo hàm riêng.
Phương pháp nguyên lý bài toán phụ Cohen G. (1980) Đề xuất phương pháp nguyên lý bài toán phụ giải bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển với toán tử đơn điệu mạnh.
Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh Baasansuren J. (2000) Kết hợp nguyên lý bài toán phụ với kỹ thuật hiệu chỉnh Browder - Tikhonov để xử lý trường hợp toán tử chỉ có tính đơn điệu, triệt tiêu đòi hỏi đơn điệu mạnh.
Sơ đồ lặp Mann cho ánh xạ không giãn và giả co Mann W. R. (1953); Browder F. E. và Petryshyn W. V. (1967); Liu Q. (2001) Thiết lập dãy lặp Mann cho ánh xạ không giãn (chứng minh hội tụ yếu); Browder - Petryshyn áp dụng cho ánh xạ giả co chặt; Liu Q. mở rộng các điều kiện tham số.
Sơ đồ lặp Ishikawa và Halpern Ishikawa S. (1974); Halpern B. (1967); Wittmann (1992); Shioji - Takahashi (1997); Xu H. K. (2002); Suzuki (2005) Ishikawa đề xuất sơ đồ lặp hai bước cho ánh xạ giả co Lipschitz trên tập compact; Halpern đề xuất phép lặp điểm mỏ neo; các tác giả sau hoàn thiện các họ điều kiện tham số cho hội tụ mạnh.
Phương pháp chiếu lai ghép (Hybrid Projection) Nakajo K. và Takahashi W. (2003); Marino G. và Xu H. K. (2006); Su Y. và Qin X. (2007) Nakajo - Takahashi đề xuất thuật toán lai ghép đạt hội tụ mạnh cho ánh xạ không giãn; Marino - Xu mở rộng cho ánh xạ giả co chặt; Su - Qin tiếp tục cải tiến thuật toán.
Bất đẳng thức biến phân kết hợp điểm bất động Iiduka H. và Takahashi W. (2005, 2006); Nadezhkina N. và Takahashi W. (2006) Kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường (Extragradient của Korpelevich, 1976) và thuật toán lặp giải bất đẳng thức biến phân với bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Phương pháp Hybrid Steepest Descent (HSD) Yamada I. (2001) Đề xuất sơ đồ HSD tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn hoặc một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn.
Thuật toán lặp cho họ vô hạn ánh xạ giả co Peng J. W. và các cộng sự (2008); Xu H. K. và Wang X. (2009) Nghiên cứu thuật toán xấp xỉ điểm bất động chung của họ vô hạn ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, kết hợp giải bất đẳng thức biến phân.

Vị trí của luận án: Kế thừa các kết quả về nguyên lý bài toán phụ của Cohen, phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov của Baasansuren, phương pháp HSD của Yamada và cấu trúc ánh xạ loại $W$, luận án định vị trọng tâm giải quyết hai khoảng trống kỹ thuật:

  • Mở rộng phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh từ bài toán một toán tử sang bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ $\lambda_i$-giả co chặt trong không gian Hilbert thông qua phép lập tổng vô hạn toán tử, đồng thời kết hợp cấu trúc ánh xạ $W_n$ để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ vô hạn toán tử.
  • Thiết lập sự dung hợp giữa sơ đồ gradient dốc nhất lai HSD của Yamada với sơ đồ lặp trung bình Krasnoselskij - Mann, tạo ra thuật toán KM-HSD có khả năng xử lý bài toán biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn mà không đòi hỏi các phép chiếu metric phức tạp lên các tập phụ trợ tại mỗi bước lặp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các hệ thống lý thuyết, khái niệm và công cụ giải tích toán học chuẩn mực:

  1. Không gian cấu trúc và toán tử:
  • Không gian Hilbert thực $H$ trang bị tích vô hướng $(\cdot, \cdot)$ và chuẩn tương ứng $|\cdot| = \sqrt{(\cdot, \cdot)}$; không gian Banach thực $E$ và không gian liên hợp $E^*$.
  • Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J: E \to 2^{E^}$ định bởi $J(x) = {f \in E^ : (x, f) = |x|^2 = |f|^2}$.
  • Phép chiếu metric $P_C$ từ không gian Hilbert $H$ lên tập con lồi đóng khác rỗng $C \subset H$: với mọi $x \in H$, tồn tại duy nhất phần tử $P_C(x) \in C$ sao cho $|x - P_C(x)| \le |x - y|$ với mọi $y \in C$. Ánh xạ $P_C$ có tính chất không giãn và thỏa mãn bất đẳng thức biến phân đặc trưng: $(x - P_C(x), y - P_C(x)) \le 0$ với mọi $y \in C$.
  1. Các lớp ánh xạ phi tuyến và tính chất đơn điệu:
  • Ánh xạ $F: C \to H$ được gọi là:
    • Đơn điệu nếu $(F(x) - F(y), x - y) \ge 0$ với mọi $x, y \in C$;
    • Giả đơn điệu nếu $(F(y), x - y) \ge 0 \implies (F(x), x - y) \ge 0$;
    • $a$-đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số $a > 0$ sao cho $(F(x) - F(y), x - y) \ge a |x - y|^2$ với mọi $x, y \in C$;
    • $\eta$-ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại $\eta > 0$ sao cho $(F(x) - F(y), x - y) \ge \eta |F(x) - F(y)|^2$ với mọi $x, y \in C$;
    • $h$-liên tục nếu $F(x + ty) \rightharpoonup F(x)$ khi $t \to 0^+$ với mọi $x, y \in C$;
    • $L$-liên tục Lipschitz nếu tồn tại $L > 0$ sao cho $|F(x) - F(y)| \le L |x - y|$ với mọi $x, y \in C$. Khi $L = 1$, $F$ là ánh xạ không giãn.
  • Ánh xạ giả co chặt:
    • Trong không gian Banach $E$, ánh xạ $T: C \to E$ được gọi là $k$-giả co chặt nếu tồn tại $k > 0$ và $j(x - y) \in J(x - y)$ sao cho $(T(x) - T(y), j(x - y)) \le |x - y|^2 - k |(x - y) - (T(x) - T(y))|^2$.
    • Trong không gian Hilbert $H$, ánh xạ $T: C \to H$ được gọi là $\lambda$-giả co chặt nếu tồn tại $\lambda \in [0, 1)$ sao cho: $$|T(x) - T(y)|^2 \le |x - y|^2 + \lambda |(I - T)(x) - (I - T)(y)|^2, \quad \forall x, y \in D(T)$$ Bất đẳng thức này tương đương với: $$((I - T)(x) - (I - T)(y), x - y) \ge \frac{1 - \lambda}{2} |(I - T)(x) - (I - T)(y)|^2$$ Điều này cho thấy toán tử $I - T$ có tính chất ngược đơn điệu mạnh với hệ số $(1 - \lambda)/2$. Khi $\lambda = 0$, $T$ trở thành ánh xạ không giãn thông thường.
  1. Phương pháp tiếp cận nghiên cứu:
  • Phương pháp nghiên cứu thuần túy là phương pháp giải tích toán học phi tuyến định lượng và lý thuyết toán giải tích:
    • Kỹ thuật giải tích hàm phi tuyến: Sử dụng cấu trúc hình học của không gian Hilbert (đẳng thức bình sai, tính lồi đều, tính chất hội tụ yếu và hội tụ mạnh, tính chất demi-closed của toán tử không giãn và giả co).
    • Kỹ thuật xấp xỉ liên tục và giải tích lặp rời rạc: Xây dựng các quỹ đạo nghiệm hiệu chỉnh liên tục $u_\alpha$ qua bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số hiệu chỉnh $\alpha$, khảo sát giới hạn tiệm cận khi $\alpha \to 0$, sau đó rời rạc hóa thành các dãy lặp ${z_n}$ và ${x_k}$.
    • Phương pháp đánh giá bất đẳng thức giải tích: Vận dụng các bổ đề giải tích chuỗi số để khống chế sai số, chứng minh dãy sai số triệt tiêu vô hạn và suy ra sự hội tụ mạnh về nghiệm tối ưu duy nhất.
  • Dữ liệu nghiên cứu: Toàn bộ công trình sử dụng dữ liệu trừu tượng thuần túy toán học, được thiết lập thông qua hệ thống định nghĩa, tiên đề, định lý giải tích và các giả thiết ràng buộc tham số thuật toán.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị

Chương 1 có cấu trúc gồm các nội dung nền tảng về bài toán bất đẳng thức biến phân và các phương pháp điểm bất động:

  1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert:
  • Định nghĩa bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển $VI(F, C)$: Cho $C$ là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực $H$, $F: C \to H$ là ánh xạ liên tục. Bài toán yêu cầu: $$\text{Tìm } x^* \in C \text{ sao cho } (F(x^), x - x^) \ge 0, \quad \forall x \in C$$
  • Luận án phân tích mối liên hệ mật thiết giữa $VI(F, C)$ với ba bài toán cơ bản khác:
    • Bài toán quy hoạch lồi: Tìm $x^* \in C$ sao cho $f(x^) = \min {f(x) \mid x \in C}$ với $f: C \to \mathbb{R}$ là phiếm hàm lồi khả vi Gâteaux. Theo Mệnh đề 1.1 (trích từ tài liệu [37]), $x^$ là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi khi và chỉ khi $x^*$ là nghiệm của $VI(f', C)$.
    • Bài toán bù phi tuyến: Khi $C$ là một nón lồi đóng, bài toán bù phi tuyến tìm $x^* \in C$ thỏa mãn $(F(x^), x^) = 0$ và $F(x^) \in C^$ tương đương hoàn toàn với $VI(F, C)$ (Mệnh đề 1.2).
    • Bài toán điểm bất động: Cho $T: C \to C$ là ánh xạ liên tục. Ánh xạ $F(x) = x - T(x)$ biến bài toán tìm điểm bất động $x^* = T(x^*)$ thành bài toán $VI(F, C)$ (Mệnh đề 1.3).
  • Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm:
    • Định lý 1.1 (tài liệu [37]): Nếu $C$ là tập lồi compact khác rỗng và $F$ liên tục thì $VI(F, C)$ có nghiệm.
    • Định lý 1.2 (tài liệu [38]): Nếu $C$ lồi đóng và tồn tại tập compact khác rỗng $U \subset C$ sao cho với mọi $u \in C \setminus U$, tồn tại $v \in U$ thỏa mãn $(F(u), u - v) > 0$, thì $VI(F, C)$ có nghiệm.
    • Điều kiện duy nhất nghiệm: Nếu $F$ thỏa mãn tính chất đơn điệu chặt: $(F(x') - F(x''), x' - x'') > 0$ với mọi $x' \ne x''$, thì bài toán $VI(F, C)$ có tối đa một nghiệm duy nhất.
  1. Các phương pháp cổ điển tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân:
  • Phương pháp điểm bất động: Dựa trên Mệnh đề 1.2 (tài liệu [41]), $x^* \in VI(F, C) \iff x^* = P_C(x^* - \lambda F(x^*))$ với mọi $\lambda > 0$. Dãy lặp xây dựng dạng $x_{n+1} = P_C(x_n - \lambda F(x_n))$ hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất khi $F$ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz.
  • Phương pháp đạo hàm tăng cường (Extragradient của Korpelevich, 1976): Cho phép giải bài toán khi $F$ chỉ đơn điệu và liên tục Lipschitz: $$y_n = P_C(x_n - \lambda F(x_n))$$ $$x_{n+1} = P_C(x_n - \lambda F(y_n))$$ với $\lambda \in (0, 1/L)$. Phương pháp này được Nadezhkina và Takahashi (2006) kết hợp với ánh xạ không giãn $T$ qua sơ đồ lặp: $x_{n+1} = \alpha_n x_0 + (1 - \alpha_n) T P_C(x_n - \lambda_n F(y_n))$ để tìm phần tử thuộc $Fix(T) \cap VI(F, C)$.
  • Phương pháp nguyên lý bài toán phụ (Cohen, 1980): Xét phiếm hàm lồi chính thường $\phi: H \to \mathbb{R}$ khả vi Gâteaux, tại bước lặp $n$, giải bài toán phụ: $$\min_{u \in C} \left{ \phi(u) + (s_n F(u_n) - \phi'(u_n), u) \right}$$ Định lý 1.6 (tài liệu [24]) khẳng định nếu $F$ là $a$-đơn điệu mạnh và $L$-Lipschitz, $\phi'$ là $b$-đơn điệu mạnh và $B$-Lipschitz, đồng thời tham số bước $s_n$ thỏa mãn $0 < s_n < 2ab/L^2$, thì dãy nghiệm của bài toán phụ hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của $VI(F, C)$.
  1. Các phương pháp lặp tìm điểm bất động cho họ ánh xạ không giãn và giả co chặt:
  • Khảo sát các sơ đồ lặp cổ điển:
    • Phép lặp Mann: $x_{n+1} = (1 - \alpha_n) x_n + \alpha_n T(x_n)$, hội tụ yếu tới điểm bất động của ánh xạ không giãn khi $\sum \alpha_n(1 - \alpha_n) = \infty$. Đối với ánh xạ $\lambda$-giả co chặt, Browder và Petryshyn chứng minh dãy hội tụ mạnh nếu bổ sung giả thiết $T$ là $d$-compact.
    • Phép lặp Ishikawa: Sử dụng hai bước lặp với hai dãy tham số ${\alpha_n}, {\beta_n}$ để đạt hội tụ mạnh khi tập xác định là compact.
    • Phép lặp Halpern: $x_{n+1} = \alpha_n u + (1 - \alpha_n) T(x_n)$ với $u$ là điểm mỏ neo cố định, đạt hội tụ mạnh dưới các điều kiện đối với ${\alpha_n}$ như $\lim \alpha_n = 0$, $\sum \alpha_n = \infty$, $\sum |\alpha_n - \alpha_{n+1}| < \infty$ hoặc $\lim \frac{\alpha_n - \alpha_{n+1}}{\alpha_{n+1}} = 0$.
    • Phương pháp lặp Hybrid Steepest Descent (HSD) của Yamada (2001): Giải $VI(F, Fix(T))$ với dãy lặp $x_{n+1} = T(x_n) - \lambda_{n+1} \mu F(T(x_n))$, mở rộng cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn qua tích hợp giao các tập điểm bất động.
    • Các phương pháp lai ghép của Nakajo - Takahashi (2003), Marino - Xu (2006), Su - Qin (2007), Peng và cộng sự (2008), Xu - Wang (2009) kết hợp phép lặp với hình chiếu trên các tập nửa không gian $C_n, Q_n$ tại mỗi bước để ép dãy lặp hội tụ mạnh.

Chương 2: Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu chính của tác giả đã được công bố trên Tạp chí Khoa học và Công nghệ - Đại học Thái Nguyên, International Journal of Mathematical Analysis, và Applied Mathematical Sciences. Nội dung chương tập trung vào hai cấu trúc thuật toán giải tích:

  1. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên chuỗi tổng vô hạn các ánh xạ:
  • Xét bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ $\lambda_i$-giả co chặt ${T_i}{i=1}^\infty$ xác định từ tập lồi đóng $C \subset H$ vào $H$, với giả thiết tập điểm bất động chung $\mathcal{F} = \bigcap{i=1}^\infty Fix(T_i) \ne \emptyset$.
  • Đặt $A_i = I - T_i$. Do $T_i$ là $\lambda_i$-giả co chặt nên $A_i$ là ngược đơn điệu mạnh với hệ số $\tilde{\lambda}i = \frac{1 - \lambda_i}{2}$. Tác giả xây dựng toán tử tổng vô hạn: $$A = \sum{i=1}^\infty \gamma_i A_i$$ trong đó chuỗi hệ số thực dương ${\gamma_i}$ thỏa mãn điều kiện: $$\sum_{i=1}^\infty \frac{\gamma_i}{\tilde{\lambda}_i} = \gamma < \infty$$
  • Xây dựng nghiệm hiệu chỉnh $u_\alpha \in C$ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng Browder - Tikhonov: $$\left( \sum_{i=1}^\infty \gamma_i A_i(u_\alpha) + \alpha u_\alpha, v - u_\alpha \right) \ge 0, \quad \forall v \in C$$ với $\alpha > 0$ là tham số hiệu chỉnh tiến dần về $0$. Luận án chứng minh rằng khi $\alpha \to 0$, dãy nghiệm hiệu chỉnh ${u_\alpha}$ hội tụ mạnh về một điểm $u^* \in \mathcal{F}$, và $u^*$ chính là hình chiếu metric của gốc tọa độ lên tập $\mathcal{F}$.
  • Thiết lập thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh: Cho phiếm hàm lồi chính thường $\phi: H \to \mathbb{R}$ khả vi Gâteaux, có đạo hàm $\phi'$ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Chọn tùy ý điểm ban đầu $z_0 \in C$ và các tham số $s_0, \alpha_0$. Tại bước thứ $n$, giải bài toán tối ưu lồi phụ: $$\min_{z \in C} \left{ \phi(z) + \left( s_n \left( \sum_{i=1}^\infty \gamma_i A_i(z_n) + \alpha_n z_n \right) - \phi'(z_n), z \right) \right}$$ Phần tử nghiệm của bài toán trên được đặt là $z_{n+1}$.
  • Luận án thiết lập và chứng minh định lý hội tụ mạnh: Giả sử các dãy tham số ${s_n}$ và ${\alpha_n}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện giải tích nghiêm ngặt: $$\text{(i) } 0 < s_n \le 1; \quad \text{(ii) } 0 < \alpha_{n+1} \le \alpha_n \le 1; \quad \text{(iii) } \lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0;$$ $$\text{(iv) } \sum_{n=0}^\infty s_n \alpha_n = \infty; \quad \text{(v) } \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha_n^3}{s_n} < \infty; \quad \text{(vi) } \sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha_n - \alpha_{n+1})^2}{s_n^2} < \infty$$ Khi đó, dãy lặp ${z_n}$ sinh bởi thuật toán hội tụ mạnh trong không gian Hilbert về điểm $u^* \in \bigcap_{i=1}^\infty Fix(T_i)$.
  1. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên ánh xạ loại $W$:
  • Luận án mở rộng phương pháp để giải bài toán tổng quát hơn: Tìm một phần tử vừa là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển $VI(F, C)$ với ánh xạ $F$ đơn điệu và liên tục Lipschitz, vừa là điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn ${T_i}_{i=1}^\infty$ (hoặc họ vô hạn ánh xạ giả co chặt).
  • Tác giả sử dụng cấu trúc ánh xạ loại $W_n$ sinh bởi họ hữu hạn ánh xạ không giãn $T_n, T_{n-1}, \dots, T_1$ kết hợp với các hệ số thực $\gamma_n, \gamma_{n-1}, \dots, \gamma_1 \in (0, 1)$. Ánh xạ $W_n$ kế thừa tính chất không giãn và có tập điểm bất động trùng với giao các tập điểm bất động của các ánh xạ thành phần: $Fix(W_n) = \bigcap_{i=1}^n Fix(T_i)$.
  • Kết hợp toán tử hiệu chỉnh Browder - Tikhonov và nguyên lý bài toán phụ của Cohen trên cấu trúc $W_n$, tác giả chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm xấp xỉ đến nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập $\bigcap_{i=1}^\infty Fix(T_i)$.

Chương 3: Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Chương 3 trình bày việc thiết lập và chứng minh sự hội tụ của thuật toán lai ghép mới mang tên phương pháp KM-HSD, giải bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển $VI(F, \mathcal{C})$ trên tập $\mathcal{C} = \bigcap_{i=1}^N Fix(T_i)$, trong đó ${T_i}_{i=1}^N$ là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert $H$:

  1. Thuật toán KM-HSD đề xuất:
  • Giả thiết $F: H \to H$ là ánh xạ $\eta$-đơn điệu mạnh và $L$-liên tục Lipschitz trên $H$. Hằng số $\mu$ được chọn thỏa mãn điều kiện $0 < \mu < \frac{2\eta}{L^2}$.
  • Với điểm khởi tạo tùy ý $x_0 \in H$, thuật toán KM-HSD xác định dãy lặp ${x_k}{k=0}^\infty$ thông qua chuỗi biến đổi lặp trung gian dạng Krasnoselskij - Mann kết hợp bước giảm gradient lai: $$\begin{cases} y_k^0 = x_k, \ y_k^i = (1 - \beta_k^i) y_k^{i-1} + \beta_k^i T_i(y_k^{i-1}), \quad i = 1, 2, \dots, N, \ x{k+1} = (1 - \beta_k^0) x_k + \beta_k^0 (I - \lambda_k \mu F)(y_k^N), \quad k \ge 0 \end{cases}$$
  1. Các điều kiện ràng buộc tham số:
  • Dãy bước lặp ${\lambda_k}$ và các dãy hệ số lặp ${\beta_k^i}$ ($i = 0, 1, \dots, N$) phải thỏa mãn đồng thời các giả thiết giải tích: $$\text{(i) } \lambda_k \in (0, 1), \quad \lim_{k \to \infty} \lambda_k = 0, \quad \sum_{k=0}^\infty \lambda_k = \infty;$$ $$\text{(ii) } \beta_k^i \in (\alpha, \beta) \subset (0, 1) \text{ với mọi } k \ge 0, \ i = 0, 1, \dots, N;$$ $$\text{(iii) } \lim_{k \to \infty} |\beta_{k+1}^i - \beta_k^i| = 0 \text{ với mọi } i = 0, 1, \dots, N.$$
  1. Kết quả hội tụ chính của chương:
  • Luận án chứng minh một cách tường minh rằng dãy lặp ${x_k}$ sinh bởi thuật toán KM-HSD hội tụ mạnh trong không gian Hilbert $H$ về điểm $u^* \in \bigcap_{i=1}^N Fix(T_i)$, trong đó $u^$ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển: $$(F(u^), x - u^*) \ge 0, \quad \forall x \in \bigcap_{i=1}^N Fix(T_i)$$
  • Sơ đồ này không đòi hỏi thực hiện phép chiếu metric lên các tập lồi phụ thuộc thời gian $C_n, Q_n$ tại mỗi bước lặp như các thuật toán lai ghép của Nakajo - Takahashi hay Marino - Xu, do đó cấu trúc tính toán tại mỗi bước chỉ thuần túy là các phép tổ hợp lồi giải tích và tác động toán tử.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp mới về mặt khoa học lý thuyết và định hướng ứng dụng thực tiễn như sau:

  1. Đóng góp mới về mặt lý luận toán học:
  • Xây dựng thành công thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên chuỗi tổng vô hạn các ánh xạ $\lambda_i$-giả co chặt trong không gian Hilbert thực. Luận án đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp về điểm bất động chung của họ vô hạn ánh xạ giả co chặt mà không cần bổ sung các điều kiện compact đối với toán tử hay tập xác định.
  • Mở rộng phạm vi áp dụng của phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh (kết hợp giữa nguyên lý bài toán phụ của Cohen và kỹ thuật hiệu chỉnh Browder - Tikhonov) sang bài toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn thông qua việc tích hợp cấu trúc ánh xạ loại $W_n$.
  • Thiết lập phương pháp lặp mới KM-HSD dung hợp giữa sơ đồ dốc nhất lai HSD của Yamada và sơ đồ trung bình Krasnoselskij - Mann cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn. Chứng minh trọn vẹn sự hội tụ mạnh của thuật toán dưới hệ điều kiện tham số tường minh.
  1. Định hướng ứng dụng và đề xuất giải pháp:
  • Luận án chỉ ra rằng các thuật toán lặp hội tụ mạnh được thiết lập cung cấp cơ sở giải tích để giải bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert vô hạn chiều.
  • Đề xuất khả năng ứng dụng các thuật toán giải tích này vào việc xây dựng các quy trình tính toán xử lý ảnh số, bao gồm bài toán phục chế và tái tạo ảnh từ các dữ liệu đo đạc trực tiếp hoặc gián tiếp trong y học, công nghiệp và viễn thông.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế và phạm vi mở rộng được luận án ghi nhận dựa trên nội dung nghiên cứu thực tế:

  • Phạm vi không gian nghiên cứu của toàn bộ luận án giới hạn trong không gian Hilbert thực $H$. Cấu trúc tích vô hướng đóng vai trò quyết định trong việc thiết lập các đẳng thức giải tích bình phương khoảng cách và tính chất ngược đơn điệu mạnh của toán tử $I - T$. Luận án chưa mở rộng các thuật toán sang không gian Banach tổng quát (như không gian Banach lồi đều hoặc trơn đều).
  • Thuật toán KM-HSD ở Chương 3 mới được khảo sát cho trường hợp một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn; chưa mở rộng trực tiếp cho họ vô hạn các ánh xạ hoặc lớp ánh xạ tổng quát hơn là ánh xạ giả co chặt.
  • Các điều kiện ràng buộc đối với hệ tham số bước lặp ${s_n}$ và ${\alpha_n}$ trong Chương 2 mang tính giải tích cao (đòi hỏi sự hội tụ đồng thời của các chuỗi phân thức $\sum \alpha_n^3 / s_n < \infty$ và $\sum (\alpha_n - \alpha_{n+1})^2 / s_n^2 < \infty$), gây khó khăn nhất định khi lựa chọn tham số tối ưu trong thực hành tính toán số trị.
  • Luận án tập trung chứng minh sự hội tụ định tính mà chưa đi sâu đánh giá tốc độ hội tụ định lượng (độ phức tạp tính toán) hay tiến hành các thực nghiệm tính toán số mô phỏng trên máy tính.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị chuyên môn đối với các nhóm đối tượng nghiên cứu:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán Giải tích, Toán Tối ưu và Giải tích hàm phi tuyến: Có thể tham khảo chi tiết kỹ thuật chứng minh giải tích trong việc kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov với nguyên lý bài toán phụ, kỹ thuật xử lý chuỗi toán tử tổng vô hạn và các đánh giá khử điều kiện compact.
  • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh kỹ thuật số và thị giác máy tính: Có thể tham khảo cấu trúc toán học của bài toán chấp nhận lồi và các sơ đồ lặp giải tích để thiết kế các thuật toán giải bài toán ngược (inverse problems) trong phục chế ảnh số.
  • Các phần đáng tham khảo nhất trong luận án gồm: Kỹ thuật xây dựng dãy nghiệm hiệu chỉnh liên tục $u_\alpha$ và hệ điều kiện tham số rời rạc tại Chương 2; sơ đồ thuật toán và kỹ thuật chứng minh hội tụ của thuật toán KM-HSD tại Chương 3.

Câu hỏi thường gặp

  1. Ánh xạ $\lambda$-giả co chặt trong không gian Hilbert được định nghĩa như thế nào trong luận án? Trong không gian Hilbert thực $H$, ánh xạ $T: C \to H$ được gọi là $\lambda$-giả co chặt nếu tồn tại hằng số $\lambda \in [0, 1)$ sao cho: $$|T(x) - T(y)|^2 \le |x - y|^2 + \lambda |(I - T)(x) - (I - T)(y)|^2, \quad \forall x, y \in D(T)$$ Khi $\lambda = 0$, ánh xạ $T$ trở thành ánh xạ không giãn thông thường. Ánh xạ $T$ là $\lambda$-giả co chặt tương đương với việc toán tử $I - T$ là ngược đơn điệu mạnh với hệ số $(1 - \lambda)/2$.

  2. Bản chất của phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh trong Chương 2 là gì? Phương pháp này là sự kết hợp giữa nguyên lý bài toán phụ do Cohen đề xuất năm 1980 và kỹ thuật hiệu chỉnh Browder - Tikhonov do Baasansuren đưa ra năm 2000. Khi bài toán biến phân hoặc bài toán điểm bất động chứa toán tử không có tính đơn điệu mạnh, kỹ thuật hiệu chỉnh cộng thêm số hạng $\alpha u_\alpha$ (với $\alpha > 0$) để tạo ra tính đơn điệu mạnh nhân tạo, sau đó áp dụng nguyên lý bài toán phụ để giải xấp xỉ qua một chuỗi các bài toán tối ưu lồi với phiếm hàm phụ trợ $\phi$.

  3. Cấu trúc lặp của thuật toán KM-HSD ở Chương 3 được thiết lập ra sao? Thuật toán KM-HSD xuất phát từ điểm $x_0 \in H$ tùy ý và thực hiện tính toán tại mỗi bước $k \ge 0$ theo hai giai đoạn:

  • Giai đoạn 1 (Lặp trung bình Krasnoselskij - Mann qua họ hữu hạn $N$ ánh xạ không giãn): $$y_k^0 = x_k; \quad y_k^i = (1 - \beta_k^i) y_k^{i-1} + \beta_k^i T_i(y_k^{i-1}), \quad i = 1, 2, \dots, N$$
  • Giai đoạn 2 (Hiệu chỉnh dốc nhất lai HSD): $$x_{k+1} = (1 - \beta_k^0) x_k + \beta_k^0 (I - \lambda_k \mu F)(y_k^N)$$
  1. Các dãy tham số trong phương pháp KM-HSD phải thỏa mãn những điều kiện gì để đảm bảo hội tụ mạnh? Các tham số phải thỏa mãn đồng thời:
  • $\lambda_k \in (0, 1)$, $\lim_{k \to \infty} \lambda_k = 0$ và chuỗi phân kỳ $\sum_{k=0}^\infty \lambda_k = \infty$;
  • Hằng số $\mu$ thỏa mãn $0 < \mu < \frac{2\eta}{L^2}$ (với $\eta$ là hằng số đơn điệu mạnh và $L$ là hằng số Lipschitz của $F$);
  • Các dãy hệ số $\beta_k^i \in (\alpha, \beta) \subset (0, 1)$ với mọi $i = 0, 1, \dots, N$;
  • Dãy hệ số có biến thiên tiệm cận triệt tiêu: $\lim_{k \to \infty} |\beta_{k+1}^i - \beta_k^i| = 0$ với mọi $i = 0, 1, \dots, N$.
  1. Các kết quả nghiên cứu chính của luận án đã được báo cáo tại những diễn đàn khoa học nào? Theo phần văn bản mở đầu của luận án, các kết quả nghiên cứu đã được báo cáo tại:
  • Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên;
  • Các hội nghị Nghiên cứu sinh của Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giai đoạn 2009 - 2012;
  • Hội thảo quốc gia lần thứ XV: "Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và Truyền thông" tổ chức tại Hà Nội, ngày 03 - 04/12/2012.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của tác giả Lâm Thùy Dương đã giải quyết bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ giả co chặt và ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực, kết hợp giải bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển. Công trình đã xây dựng thành công phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên chuỗi tổng vô hạn ánh xạ và cấu trúc ánh xạ loại $W_n$, đồng thời đề xuất thuật toán lai ghép mới KM-HSD kết hợp giữa phép lặp Krasnoselskij - Mann và phương pháp dốc nhất lai HSD. Tất cả các thuật toán đề xuất đều được chứng minh giải tích đạt sự hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất mà không đòi hỏi các giả thiết compact khắt khe, đóng góp cơ sở lý thuyết cho lớp bài toán chấp nhận lồi trong giải tích phi tuyến và tối ưu hóa.