CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày ngắn gọn các khái niệm về toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên bị chặn, các tính chất của toán tử ngẫu nhiên, kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, các định nghĩa về tích phan Riemann, tích phân ngẫu nhiên Ito, khái niệm về không gian xác suất Banach. Ngoài ra, một số dạng hội tụ của toán tử ngẫu nhiên cũng được trình bày.1 Toán tử ngẫu nhiên trên không gian Banach khả li 1.1 Toán tử ngẫu nhiên Trong chương này, ta xét (0, ¥, P) là không gian xác suất đầy đủ, (X, || - ||) là không gian Banach khả li trên trường số K (với K là trường số thực R hoặc trường số phức C), Ñ là tập các số nguyên dương, Lo(Q, X) là không gian vecto gồm các lớp tương đương của các biến ngẫu nhiên X-giá trị .Z-đo được đối với các phép nhân với vô hướng và phép cộng thông thường giữa các lớp tương đương. Dé thấy, Lo(Q) = Lo(Q,R) được sắp thứ tự từng phan theo nghĩa € <1 khi và chỉ khi €°(w) < 0 (ð) P —h.c trong đó £? và 7° lá các phần tử được chọn tùy ý trong các lớp tương đương € và r thuộc Lo(Q) tương ứng. 10 Hon nữa, từ [22] ta nhận thấy Lo(Q) là một dan (lattice) đầy đủ theo nghĩa: với mọi tập con H bị chặn trên (hoặc bi chặn dưới) đều có cận trên đúng (hoặc cận dưới đúng) mà ta ký hiệu là \/ H (hoặc A A tương ứng).
Giả sử € và 7 là các phần tử thuộc Lo(Q) ta nói € < ? nếu £ <n và € # ïJ. Hơn nữa, với A € ¥ ta nói € > 7 trên A nếu €°(w) > 7°(w) P—h.c trên A trong đó €° và 7° tương ứng là các phan tử đại diện tùy ý của các lớp tương đương € và ?. Đặc biệt, ta ký hiệu Lp (Q) = {€ € Lo(Q, R)|g > 0 trên OQ}. Cuối cùng, ta lưu ý rằng, sự hội tụ trong Lo(O, X) được hiểu là sự hội tụ theo xác suất, va ta viết p- lim €, = € nếu dãy {£„} C Lo(O, X) hội tụ về € trong Tì—>O®O Lo(@, X).
Cho X,Y là các không gian Banach khả li. Một ánh xạ tuyến tính liên tục A từ X vào LY (Q) được gọi là todn tử ngẫu nhiên từ X vào Y. Ta ký hiệu tập các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y là Lo(Q, X,Y). Toán tử ngẫu nhiên A: X — L} (O) được gọi là bi chan nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên thực k(w) sao cho với mỗi z € X ta có || Ax(w)|| < k(¿)||z|| h.1) Chú ý rằng miền xác định h.1) phụ thuộc vào x.
Nếu X = R";Y = RTM là các không gian hữu hạn chiều thì mọi toán tử ngẫu nhiên A: X > 1} (Q) bị chặn và khi đó, nó chính là ma trận ngẫu nhiên cỡ n xm. Trong trường hợp tổng quát, một toán tử có thể không bị chặn. Ví dụ về các toán tử không bị chặn được chỉ ra trong [62] cùng với kết quả sau: Dinh lý 1. Một toán tử ngẫu nhiên A: X + LX (Q) bị chặn nếu va chỉ nếu tồn tại ánh va TA : © —> L(X,Y) sao cho Az(u) = TAẠ(u)+ h.2) 11 Dé thấy rằng ánh xạ Ty xác định duy nhất theo nghĩa: nếu 7, T1 thỏa mãn (1.
Cho A là một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, trong [62] đã xác định một mở rộng của toán tử A thành ánh xạ tuyến tính liên tục 4: LX(Q) > LY (Q) bởi thuật toán sau đây: se Nếu wu là biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị u(w) = >", g,z;() (với {E;}"_, € F và rời nhau) thì Au = $3”¡ 1p,Az;. e Nếu u € L¿, lay dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị {ua;n > 1} va p— im Un = u. Khi đó p— im Au, tồn tai và giới han này không phụ thuộc vào việc chọn dãy xấp xỉ {u„;m > 1}, nó được ký hiệu là Au. Từ đây, dé đơn giản ta viết Au thay cho Au và Au được gọi là tác động của A lên biến ngẫu nhiên X-giá trị u.
Từ trên ta thu được kết quả là bổ đề sau. Khi đó, uới moi u € Li(Q) ta có Định lý 1. Cho V là không gian định chuẩn va A: V -> X là một ánh va tuyến tính. Khi đó i) A liên tục khi va chỉ khí A bị chan theo xác suất.
it) Nói chung, nếu A liên tục thà không suy ra được A bi chặn. i) Giả sử A bị chặn xác suất. Ta cần chứng minh: A liên tục tại 0. Thật vậy: Cho z„ € V,limz„ = Ø0.
Khi đó, với c > 0, và mỗi € > 0, do A bị chặn xác suất nên tồn tại t > 0 sao cho P(\|Az|| >t)<e Vze 12 Đặt: r = c/t. Khi đó, tồn tại np sao cho với n > no, ||#„|| < r. Với n > nọ và ||z„|| A 0, đặt yn = z„/||za|| suy ra yn € Ö. Ngược lai, giả sử A liên tục.
Với £ > 1/r ta có ||z/f||< 1/t<r Vze€ B suy ra P(\|Az|| > t) = P(IA(đœ/®)|[>1)<c với mọi re B. Vì vay A bị chặn xác suất. ii) Ta xét ví dụ minh họa sau đây. Cho H là không gian Hilbert, V = H,X = Ld (Q) và (€,) là dãy Gauss chuẩn (0,1).
Với mỗi x € H ta có chuỗi > £„(#,„)e„ hội tụ n=1 hầu chắc chắn trong HH. Xét ánh xạ A: V > X xác định như sau At = So &x(2, Cn )€n- n=1 Ta có thé chứng minh A tuyến tinh. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh A liên tục. Thật vậy, E||Az||’ = E (>: din) = |le|? n=1 13 đo „ P(|Az|l>e)< Ble Š ? _ el? >0 khi |lz||—> 0: C c2 Tuy nhiên, do sup ||Aen|| = sup |§u| = 00, n n nén A khong bi chan.
Trong trường hợp với toán tử ngẫu nhiên, ta định nghĩa các khái niệm hội tụ như sau. Cho X,Y là các không gian Banach thực kha li. Giả sử A, A, (t > 0) là các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y.c i) Ay được gọi là hội tụ hau chắc chắn tới A và việt Ay —3 A khi t > oö ⁄ neu h.c Ayx —> Ax khit > o với moi «EX ii) A; được gọi là hội tu tới A theo trung bình cấp p > 0 (hay ngắn gon là hội tu theo Lạ) khi t + oo và ta viết A; *8 A khi £ 3 oo nếu: lim E||LA,z — Ax||? =0 với mọi « € X too 1.2 Ki vọng có điều kiện Cho không gian xác suất đầy đủ (Q,.Z, P) và không gian Banach khả li thực X,u:© — X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach X (gọi tắt là biến ngẫu nhiên X-giá trị). Kì vong của biến ngẫu nhiên u được định nghĩa là tích phan Bochner của œ (nếu tồn tại) và được kí hiệu là E(u) hoặc Eu.
Cho u: Q > X là biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích Bochner và G là một ø-đại số con của ¥. Kì vong có điều kiện của biến ngẫu nhiên u đối với ø-đại số G là biến ngẫu nhiên X-giá trị, ký hiệu là E(u|G) và thỏa mãn 2 điều kiện: 14 (i) E(u|đ) là biến ngẫu nhiên đ-đo được, (ii) E(E(u|đ)1(A)) = E(ul(A)) với mọi A € G. Sự tồn tại kì vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X-giá tri được chỉ ra trong mệnh đề sau. Cho u: © —> X là biến ngẫu nhiên X -giá trị khả tích Bochner va Ở là một o-dai số con của #.
Khi đó ki vong có điều kiện B(u|đ) ton tại. Chú ý rằng biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích Bochner khi và chỉ khi Ellul| < oo. Vì thế, nếu El|lul| < œ thì tồn tại kì vọng có điều kiện E(u|đ) với mọi ø-đại số G C ¥. Các tính chất về kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X-giá trị có thể xem trong các tài liệu [24] và [49].
Cho B là toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ không gian Banach khả li X vao không gian Banach khả l Y, Bx = Tpx h.c uới mỗi z € X, vaG là ơ-đại số con của. Khi đó, uới mỗi e > 0, ta có P(E(||Bull|G) > ©) < P(E(I7s|llul|l6) > e/r) + P(||ul|| > z). Cho A là toán tử ngẫu nhiên bị chặn, G là o-dai số con của F va E(Az|G) = 0 vdi mọi x € X. Khi đó, uới moi biến ngẫu nhiên G-do được u, ta có E(Au|G) = 0.
e Nếu w là biến ngẫu nhiên X- giá trị, với u(w) = Ð3}—¡ 1p, vi(w), suy ra Au = SL, Le, Avi, khi đó: E(Au|G) = À E(s,Az;|g) = À ` 1p,E(Az;|đ) = 0. i=1 i=1 se Nếu u € LX (Q), tồn tại một dãy {u„,w > 1} của biến ngẫu nhiên X-giá trị sao cho p— lim up, = u. Cho A là toán tử ngẫu nhiên bi chặn từ không gian Banach kha li X vào không gian Banach khả li Y, ¥(A) = ơ(Az,z € X). Cho họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn {44;,£ > 0} từ không gian Banach khả li X vào không gian Banach khả li Y.
Họ {A;,t > 0} được gọi là một martingale nêu E(A;2|¥,) = A;# với mọi z€ X,t > s> 0.3 Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym Định nghĩa 1. Cho pw: ¥ —> X là một hàm tập X -giá trị ơ-cộng tính. e được gọi là có biến phân bi chặn nêu biên phân toàn phần V„ = sup{Ð ll„(4¿)|[: An € F,Q =U2—¡4;, {Ax}j—¡ là rời nhau} k=1 là hữu han. e / được gọi là liên tục tuyệt đối uới P nêu với mỗi A € F, (4) = 0 mỗi khi P(A) = 0.
Không gian Banach X gọi là có tính chất Radon- Nikodym(R-N), nếu mọi ham tập / là ø-cộng tính, nhận giá trị trong X và có biến phan bị chặn (tức là, V;,(Q) = sup{) (4¿) : Ay € F, A¿ đôi một rời nhau} < k=1 16 +œ) liên tục tuyệt đối theo P đều có một biểu diễn tích phân, nói cách khác, tồn tại f € Li‘ (Q) sao cho u(4) = | ƒ(s)P(4(s)) với mọi Ae F. Có những không gian Banach X không có tính chất Radon- Nikodym(R-N), chang hạn không gian Co. Cho (Q,F,P) là không gian xác suất, với Q = [0,1] và P là độ do Lebesgue. Xét po: F — Co sao cho u(4) = (/ snesdo, [sin 2d, [ sin3de,.-) A A A Bởi bổ đề Riemann-Lebesgue, (4) € co với mọi A € F.
Mặt khác lu(4)l< P(A) với moi A € 7. Nhung rõ rang không có dao ham Radon-Nikodym với độ do P.