I. Mở đầu
Luận văn này trình bày về giải tích phân thứ và phương trình vi phân bậc phân số trong bối cảnh không gian Sobolev. Nghiên cứu này không chỉ mở rộng các khái niệm về đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville mà còn cung cấp một cái nhìn tổng quát về các ứng dụng của lý thuyết này trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý, và tài chính. Theo đó, phương trình vi phân bậc phân số được sử dụng để mô tả các hiện tượng mà trạng thái của chúng phụ thuộc vào toàn bộ lịch sử trước đó. Sự phát triển của lý thuyết này trong 30 năm qua đã dẫn đến nhiều ứng dụng thực tiễn, từ việc giải quyết các bài toán trong khoa học đến các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.
1.1 Tình hình nghiên cứu
Trong những năm gần đây, có hàng ngàn bài báo nghiên cứu về phương trình vi phân bậc phân số. Các công trình này tập trung vào sự tồn tại, tính duy nhất, và các phương pháp giải gần đúng cho các bài toán thực tế. Một số nhóm nghiên cứu tiêu biểu đã đạt được những kết quả quan trọng trong việc phát triển lý thuyết này, như nhóm của Giáo sư A. Kochubei và Giáo sư L. H. Những nghiên cứu này không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học ứng dụng.
II. Kiến thức chuẩn bị
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian Lp và các bất đẳng thức liên quan. Không gian Sobolev-Slobodeckij cũng được trình bày, cùng với các hàm Gamma và Beta, và hàm Mittag-Leffler. Những kiến thức này là nền tảng cho việc hiểu và áp dụng các khái niệm trong giải tích phân thứ và phương trình vi phân bậc phân số. Đặc biệt, không gian Sobolev đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm và toán tử trong bối cảnh này.
2.1 Không gian Lp và các bất đẳng thức
Không gian Lp được định nghĩa cho các hàm đo được trên một tập mở trong Rn. Các bất đẳng thức Hölder và Young là những công cụ quan trọng trong việc phân tích các hàm trong không gian này. Định nghĩa và tính chất của không gian L∞ cũng được đề cập, giúp người đọc hiểu rõ hơn về các khái niệm cơ bản trong lý thuyết hàm. Những kiến thức này sẽ được áp dụng trong các chương tiếp theo để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân bậc phân số.
III. Định nghĩa của đạo hàm bậc phân số
Chương này mở rộng khái niệm về đạo hàm bậc phân số trong bối cảnh không gian Sobolev. Định nghĩa của đạo hàm bậc phân số được xây dựng dựa trên các toán tử tích phân Riemann-Liouville. Các tính chất cơ bản của đạo hàm bậc phân số cũng được trình bày, bao gồm sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm. Việc xây dựng các đạo hàm bậc phân số của hàm Mittag-Leffler là một trong những điểm nhấn của chương này, cho thấy sự liên kết giữa lý thuyết và ứng dụng thực tiễn.
3.1 Giới thiệu về các không gian hàm và toán tử
Các toán tử tích phân Riemann-Liouville được định nghĩa và phân tích trong không gian L2. Sự mở rộng của đạo hàm bậc phân số được thực hiện thông qua việc xác định các toán tử đẳng cấu giữa các không gian hàm. Điều này không chỉ giúp làm rõ các khái niệm lý thuyết mà còn tạo điều kiện cho việc áp dụng trong các bài toán thực tế. Các kết quả thu được từ chương này sẽ là cơ sở cho việc giải quyết các bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân bậc phân số.
