I. Giới thiệu và tổng quan
Luận án tiến sĩ toán học của Nguyễn Hoàng Lực tập trung vào bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville. Luận án được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Huy Tuấn tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. HCM. Nghiên cứu này nhằm giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình vi phân cấp không nguyên, đặc biệt là trong lĩnh vực giải tích và lý thuyết toán học.
1.1 Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân - đạo hàm riêng cấp không nguyên (FPDEs) là một lĩnh vực nghiên cứu mới và có nhiều tiềm năng. Phương trình đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các hiện tượng vật lý như khuếch tán bất quy tắc và trạng thái của các chất lưu. Đây là lý do chính để tác giả chọn hướng nghiên cứu này.
1.2 Đối tượng nghiên cứu
Luận án tập trung vào bài toán Cauchy cho phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến với đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville. Các bài toán này được nghiên cứu trong cả trường hợp hàm nguồn Lipschitz toàn cục và địa phương.
II. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp giải tích hiện đại như phép phân tích phổ, nguyên lý điểm bất động Banach, và không gian hàm thích hợp để giải quyết các bài toán. Các công cụ này giúp thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục và nghiên cứu tính chất của nghiệm nhẹ.
2.1 Phép phân tích phổ
Phép phân tích phổ được sử dụng để biểu diễn nghiệm dưới dạng chuỗi trong không gian Hilbert, giúp đơn giản hóa việc nghiên cứu tính chất của nghiệm.
2.2 Nguyên lý điểm bất động
Nguyên lý điểm bất động Banach được áp dụng để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong các không gian hàm phù hợp.
III. Kết quả chính
Luận án đạt được nhiều kết quả mới trong việc nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville. Các kết quả này được công bố trên các tạp chí uy tín như Mathematical Methods in the Applied Sciences và Journal of Fixed Point Theory and Applications.
3.1 Nghiệm chỉnh toàn cục
Luận án thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục cho phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến trong cả trường hợp hàm nguồn Lipschitz toàn cục và địa phương.
3.2 Tính bùng nổ của nghiệm
Nghiên cứu chứng minh được sự tồn tại toàn cục của nghiệm nhẹ và tính bùng nổ của nghiệm trong một số trường hợp cụ thể.
IV. Ứng dụng và hướng nghiên cứu tương lai
Luận án không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có tiềm năng ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt trong lĩnh vực mô hình hóa các hiện tượng vật lý. Các hướng nghiên cứu tương lai bao gồm việc mở rộng nghiên cứu về phương trình vi phân ngẫu nhiên và phát triển các phương pháp số cho các bài toán liên quan.
4.1 Ứng dụng thực tiễn
Các kết quả của luận án có thể được áp dụng để mô hình hóa các hiện tượng khuếch tán bất quy tắc và trạng thái của các chất lưu trong tự nhiên.
4.2 Hướng nghiên cứu tương lai
Các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm việc khảo sát sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm cho các bài toán với đạo hàm cấp không nguyên, cũng như phát triển các phương pháp số để giải quyết các bài toán này.
