I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu
Luận án tiến sĩ với chủ đề 'Phương trình khuếch tán ngẫu nhiên' tập trung vào việc nghiên cứu các phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên, đặc biệt là các phương trình nhiệt, bi-parabolic, giả parabolic, và phương trình khuếch tán phản ứng phi tuyến. Các phương trình này được xem xét trong bối cảnh có sự xuất hiện của nhiễu ngẫu nhiên, bao gồm nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ. Luận án được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. HCM, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Huy Tuấn và TS. Nguyễn Minh Quân.
1.1. Lý do chọn đề tài
Đề tài được chọn dựa trên sự phát triển mạnh mẽ của lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên trong những thập kỷ gần đây. Các phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý, thủy văn, và xử lý ảnh. Việc nghiên cứu các bài toán ngược thời gian cho các phương trình này đặt ra nhiều thách thức, đặc biệt là khi xét đến các loại nhiễu ngẫu nhiên phức tạp như nhiễu Brown phân thứ.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận án là thiết lập tính tồn tại, duy nhất, và chính quy hóa nghiệm cho các bài toán với dữ liệu đủ trơn. Đồng thời, luận án cũng hướng đến việc chỉ ra tính không chỉnh của các bài toán và xây dựng các nghiệm chỉnh hóa để giải quyết vấn đề này.
II. Phương pháp nghiên cứu và kết quả chính
Luận án sử dụng các phương pháp từ giải tích hàm, giải tích ngẫu nhiên, và giải tích không nguyên để nghiên cứu các bài toán. Các phương pháp chỉnh hóa như phương pháp lọc và phương pháp chặt cụt được áp dụng để xử lý tính không chỉnh của các bài toán. Kết quả chính của luận án bao gồm việc chỉ ra tính không ổn định của nghiệm, xây dựng nghiệm chỉnh hóa, và đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.
2.1. Phương trình nhiệt với nhiễu trắng
Luận án nghiên cứu bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với nhiễu trắng. Kết quả chính bao gồm việc chỉ ra tính không chỉnh của bài toán và xây dựng nghiệm chỉnh hóa để giải quyết vấn đề này. Công thức nghiệm nhẹ được thiết lập và đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.
2.2. Phương trình bi parabolic với nhiễu Brown phân thứ
Luận án cũng xem xét bài toán ngược thời gian cho phương trình bi-parabolic với nhiễu Brown phân thứ. Kết quả chính bao gồm việc thiết lập tính tồn tại nghiệm, chỉ ra tính không chỉnh, và xây dựng nghiệm chỉnh hóa hội tụ về nghiệm chính xác.
III. Đóng góp và ứng dụng thực tiễn
Luận án đóng góp nhiều kết quả mới trong lĩnh vực phương trình khuếch tán ngẫu nhiên, đặc biệt là việc nghiên cứu các bài toán ngược thời gian với nhiễu Brown phân thứ. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có tiềm năng ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, thủy văn, và xử lý ảnh.
3.1. Đóng góp khoa học
Luận án đã công bố các kết quả nghiên cứu trên các tạp chí khoa học uy tín như Journal of Inverse and Ill-posed Problems và Asymptotic Analysis. Các kết quả này góp phần làm phong phú thêm lý thuyết về phương trình khuếch tán ngẫu nhiên và mở ra hướng nghiên cứu mới trong tương lai.
3.2. Ứng dụng thực tiễn
Các kết quả của luận án có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như xử lý ảnh, động lực học, và thủy văn. Việc nghiên cứu các bài toán ngược thời gian với nhiễu ngẫu nhiên giúp cải thiện độ chính xác của các mô hình dự đoán trong thực tế.
