MỞ ĐẦU Kết quả của luận án này được tổng hợp từ các bài báo [A1], [A2], [A3], [A4] đã được công bồ trên các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Prob- lems, Asymptotic Analysis, Stochastics and Dynamics, Bulletin des Sciences Mathématiques. ® Bài báo [A1] khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với nhiễu trắng. Kết quả chính của bài báo này bao gồm: chỉ ra tính không ổn định của nghiệm, dẫn đến tính không chỉnh của bài toán; xây dựng nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. Kết quả chính của bài báo này bao gồm: thiết lập tính tồn tại nghiệm cho từng bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính không chỉnh của mỗi bài toán; xây dựng nghiệm chỉnh hóa và chứng minh nghiệm chỉnh hóa hội tụ về nghiệm chính xác.
Kết quả chính của bài báo này bao gồm: khảo sát tính chỉnh của các bài toán trong trường hợp 8 € (0,1], chỉ ra tính không chỉnh và đưa ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán trong trường hợp ổ > 1. Kết quả chính của bài báo này bao gồm: thiết lập tính tồn tại, duy nhất, và chính quy hóa của nghiệm cho các bài toán với dữ liệu đủ trơn; chỉ ra tính không chỉnh và đưa ra kết quả chỉnh hóa cho từng bài toán. Luận án này chứa nhiều kết quả mới, được công bố trên các tạp chí khoa học uy tín. Luận án khảo sát các phương trình khuếch tán có sự xuất hiện của các yêu tố ngẫu nhiên bao gồm nhiễu ở dạng Brown thông thường và nhiễu ở dang Brown phân thứ.
Đối với loại nhiễu thứ hai (đặc biệt trong trường hợp h € (0, 3)), theo chúng tôi được biết, các kết quả còn hạn chế do sự khó khăn trong quá trình xử lý nghiệm, xuất phát từ độ phức tạp của công thức nghiệm và sự xuất hiện của nhiều nhân kỳ dị trong quá trình đánh giá nghiệm. Một phần các kết quả này đã được báo cáo tại các hội nghị: ¢ Hội nghị Toán học Miễn Trung - Tây Nguyên lần thứ 4, Trường Dai học Su Phạm, Đại học Huế, Thành phố Huế, tỉnh Thừa Thiên Huế, tháng 8 năm 2022. ¢ Hội nghị Khoa học lần thứ 12, Trường Dai học Khoa học Tự nhién, DHQG- HCM, Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2020. ¢ Hội nghị Toán học Miễn Trung - Tây Nguyên lần thứ 3, Trường Dai học Tây Nguyên, Thành phố Buôn Ma Thuột, tháng 8 năm 2019.
¢ Hội nghị Khoa học lần thứ 11, Trường Đại học Khoa học Tự nhién, DHQG- HCM, Thành phó Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2018.1 Lý do chọn dé tài Đề tài luận án thuộc lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên. Đây là hướng nghiên cứu mới mẻ, được quan tâm nghiên cứu nhiều trong các thập ky gan đây, và có tiém năng để phát triển trong tương lai. Lý do tôi chọn đề tài "Một số phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên" chủ yếu xuất phát từ định hướng của Thầy hướng dẫn Nguyễn Huy Tuấn, Thầy Nguyễn Minh Quân và các kết quả khả quan ban đầu về hướng nghiên cứu này.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài hướng đến việc nghiên cứu một số bài toán cho các phương trình khuếch tán có yếu tố ngẫu nhiên. Mục tiêu của luận án bao gồm hai hướng chính.
Thứ nhất, thiết lập tính tồn tại, duy nhất và chính quy hóa nghiệm cho bài toán với dữ liệu đủ trơn. Thứ hai, chỉ ra tính không chỉnh và xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho từng bài toán. 13 Đối tượng nghiên cứu Đề tài xem xét các bài toán ngược thời gian cho các phương trình sau: Phương trình nhiệt với nhiễu trắng. Phương trình bi-parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ (với he (3,1)).
* Phuong trình giả parabolic với nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ (với he(0,3)U,1))- Phương trình khuếch tán phản ứng phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên và nhiễu ngẫu nhiên (ở dạng nhiễu trắng và nhiễu Brown phân 3 thứ). 14 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên, trong đó nhiễu ngẫu nhiên ở dạng nhiễu trắng và nhiễu Brown phân thứ.5 Phương pháp nghiên cứu Luận án có sử dụng các kiến thức về giải tích hàm, giải tích ngẫu nhiên, giải tích không nguyên, dùng các phương pháp chỉnh hóa như phương pháp lọc, phương pháp chặt cụt để chỉnh hóa các bài toán.6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của dé tài Kết quả nghiên cứu của dé tài góp phan giải quyết các bài toán cho các phương trình khuếch tán. Đây là các mô hình có ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, khoa học công nghệ, thủy văn, xử lý ảnh, động lực học,. Đề tài góp phần nâng cao phong trào nghiên cứu, thứ hạng và uy tín khoa học của trường, có thể xem như tài liệu tham khảo để sử dụng trong giảng dạy, học tập, nghiên cứu.
Đồng thời, các kết quả đạt được sẽ được thảo luận trong nhóm cũng như các hội thảo, hội nghị, từ đó mở rộng hơn để thu được nhiều kết quả mới trong tương lai. Chương 2 TỔNG QUAN Đề tài luận án thuộc lĩnh vực bài toán ngược và phương trình dao hàm riêng ngẫu nhiên. Đây là lĩnh vực có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc mô phỏng các hiện tượng khuếch tán, quá trình truyền nhiệt, xử lý ảnh, khoa học vật liệu, động lực học, thủy văn,. Từ những năm 60 của thé kỷ trước, các bài todn ngugc cho các phương trình đạo hàm riêng được quan tâm nghiên cứu nhiều bởi các nhà toán học trong và ngoài nước, trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học nói chung và Giải tích Toán học nói riêng.
Một số kết quả đầu tiên về lĩnh vực này là các nghiên cứu về bài toán ngược cho phương trình khuếch tán cổ điển thuần nhất của các tác giả Lavrentiev |, Lattes và Lions Bì, Miller 6|, Payne 4, Showalter BI, Alekseeva và Yurchuk [6], Huang và Zheng (7, we Trong các hiện tượng vat lý, ta có thể gặp phải các ngoại lực phát sinh từ các nguồn khác nhau. Trong trường hợp ngoại lực phát sinh từ các nguồn kiểm soát được, việc mô hình hóa các hiện tượng này dẫn đến các phương trình đạo hàm riêng ở dạng tắt định. Đối với trường hợp có thêm sự xuất hiện của ngoại lực phát sinh từ các nguồn không kiểm soát được, việc thêm vào phương trình các nhiễu ngẫu nhiên là cần thiết. Do đó, trong những thập kỷ gần đây, phương trình ngẫu nhiên phát triển mạnh mẽ với số lượng công bồ tăng lên đáng kể, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học, ví dụ như Chen [8], Kovacs, Larsson va Saedpanah (9) Du, Toniazzi va Zhou [20], Jin và Zhou {1Ì „ Foondun, Liu và Nane [12/13], Lit va Zhang (14H16], Nualart, Binotto, Nourdin, Tindel, Duncan va Saussereau fl 7H22], Garrido-Atienza, Lu và Schmalfuss [23125], Tomas Caraballo, Boudaoui va Ouahab [26}28],.
Mặc dù lượng công bồ về các bài toán ngược cho các phương trình khuếch tán ở dạng tat định là rất nhiều, theo chúng tôi được biết, các kết quả về trường hợp ngẫu nhiên vẫn còn rất hạn ché. Chính vì lý do đó, ở luận án này, chúng tôi khảo sát một số bài toán ngược thời gian cho các phương trình khuếch tán với sự xuất hiện của các yếu tố ngẫu nhiên.1 Tình hình nghiên cứu trên thé giới Trong những năm kể từ thập niên 60 của thé kỷ trước trở lại đây, các bài toán ngược cho các phương trình khuếch tán đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thé giới. Trong đó có thể kể đến các công bố đầu tiên về việc chỉnh hóa các bài toán ngược cho phương trình nhiệt thuần nhất là các kết quả của các nhà toán học Lavrentiev (i. Lattes va Lions J2], Miller 6|, Payne 4Ì, Showalter [5], Alekseeva và Yurchuk [6], Huang và Zheng lý trong việc xấp xi bài toán bằng phương pháp Q-R (quasi-reversibility method).
Tiếp theo đó, các tác giả Showalter [29], Clark và Oppenheimer [30], Denche và Bessila (31), Melnikova đã chỉnh hóa bài toán thuần nhất bằng phương pháp tựa biên. Ngoài ra, có thể kể đến các kết quả trong trường hợp không thuần nhất của Hapuarachchi và Xu [33], Klibanov va Yagola [34]. Bén canh đó, các bài toán ngược cho các phương trình khuếch tán phi cổ điển cũng thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm khảo sát, ví dụ như các nghiên cứu về bài toán ngược cho phương trình bi-parabolic của Lakhdari 65], Besma 36] va Zhang [37], hay các kết quả của các tác giả Hossein Jafari, Zakia Hammouch về bài toán ngược cho phương trình giả parabolic (38). Trong các thập ky gan đây, phương trình nsẫu nhiên ngày càng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Trong đó, có thể kể đến các kết quả vẻ xấp xỉ nghiệm của Kovacs, Larsson và Saedpanah 9|, kết quả về phương pháp số của Jin và Zhou (11), hay các kết quả về các tính chất của nghiệm (tính tổn tại, duy nhất, liên tục, chính quy hóa, .) của các tác giả Chen (8), Foondun, Liu va Nane |, Du, Toniazzi va Zhou [10], Lit va Zhang [14}{16 , Nualart, Binotto, Nourdin, Tindel, Duncan va Saussereau Z2I, Garrido-Atienza, Lu và Schmalfuss 23:25], Tomas Caraballo, Boudaoui và Ouahab [26128],. Về bài toán ngược cho phương trình dao ham riêng ngẫu nhiên, theo chúng tôi được biết, các kết quả vẫn còn rất hạn chế. Trong đó, có thể kể đến các kết quả gần đây của Bao, Chow và Zhou B9], Ibragimov và Khas minskii [40], Li và Zhang (4J16|41], Yuan (42). Tuy nhiên, ở các kết quả này, tính không chỉnh của nghiệm và kết quả chỉnh hóa vẫn chưa được khảo sát.2 Tình hình nghiên cứu trong nước Những năm gần đây, bài toán ngược cho các phương trình đạo hàm riêng cũng được các nhà toán học trong nước quan tâm khảo sát.
Trong đó, có thể kể đến các kết quả tiếp nối về bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt trong trường hợp thuần nhất của các tác giả Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức 2|44]. Với trường hợp tuyến tính không thuần nhất, theo chúng tôi được biết, có thể kể đến các kết quả của nhóm tác giả Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân và Nguyễn Huy Tuấn (45]49]. Năm 2018, các tác giả Nguyễn Dang Minh, Tô Đức Khánh, Nguyễn Huy Tuan và Dang Đức Trọng đã khảo sát bài toán tuyến tính hai chiều với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc. Đối với trường hợp phi tuyến, có thể đến các kết quả của nhóm tác giả Nguyễn Thành Long và Alain Pham Ngoc Dinh E1], Dang Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Nguyễn Huy Tuần và Trần Vũ Khanh [52157], Dinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức và Nguyễn Văn Thắng [58].