Luận án tiến sĩ về sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Hilbert

• Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Hiền
• Người hướng dẫn: PGS. Lê Văn Thành
• Trường học: Trường Đại học Vinh
• Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
• Đề tài: Sự Hội Tụ Của Tổng Các Phần Tử Ngẫu Nhiên Phụ Thuộc Nhận Giá Trị Trong Không Gian Hilbert
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Nghệ An

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm. Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm
• 1.2. Hàm biến đổi chậm. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert
• 1.3. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ. Luật yếu số lớn. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert
• 2. CHƯƠNG 2
• 2.1. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert
• 2.2. Luật yếu số lớn của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert
• 3. CHƯƠNG 3
• 3.1. Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số và luật mạnh số lớn của dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert
• 3.2. Luật yếu số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert
• MỞ ĐẦU
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Mở đầu

Luận án này nghiên cứu sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Hilbert. Luật số lớn là một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết xác suất. Nó khẳng định rằng trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ hầu chắc chắn về kỳ vọng của các biến đó. Tuy nhiên, trong thực tế, các biến ngẫu nhiên thường phụ thuộc lẫn nhau. Do đó, việc nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau là cần thiết. Các ứng dụng của sự hội tụ này rất phong phú, từ thống kê đến toán tài chính. Nghiên cứu này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn trong nhiều lĩnh vực.

1.1. Lý do chọn đề tài

Lý do chọn đề tài này xuất phát từ tầm quan trọng của luật số lớn trong lý thuyết xác suất. Các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế thường không độc lập, mà có sự phụ thuộc lẫn nhau. Việc nghiên cứu sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc trong không gian Hilbert sẽ giúp mở rộng các kết quả đã có và cung cấp những công cụ mới cho các bài toán ứng dụng. Các kết quả này có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, khoa học máy tính và điều khiển tối ưu.

II. Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và liên kết âm trong không gian Hilbert. Các khái niệm này là nền tảng cho việc nghiên cứu các định lý giới hạn và sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên. Các bất đẳng thức cực đại như bất đẳng thức Hajek-Renyi và Rademacher-Menshov được chứng minh và sử dụng để thiết lập luật số lớn. Những kết quả này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết về sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên.

2.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm

Biến ngẫu nhiên được gọi là phụ thuộc âm nếu xác suất của chúng không vượt quá tích xác suất của từng biến. Điều này có thể được phát biểu qua nhiều cách khác nhau. Khái niệm này đã được nghiên cứu từ lâu và có nhiều ứng dụng trong thống kê. Các biến ngẫu nhiên liên kết âm cũng được xem xét, với nhiều tính chất quan trọng được chứng minh. Những khái niệm này sẽ được áp dụng trong các chương tiếp theo để thiết lập các định lý giới hạn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên.

III. Kết quả nghiên cứu

Luận án đã thiết lập các điều kiện cho sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc trong không gian Hilbert. Các kết quả về luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn được trình bày chi tiết. Những kết quả này không chỉ mở rộng lý thuyết hiện có mà còn cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể. Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số cũng được nghiên cứu, với các ứng dụng trong mô hình hồi quy phi tham số. Những kết quả này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ thống kê đến toán tài chính.

3.1. Luật mạnh số lớn

Luật mạnh số lớn được thiết lập cho dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm trong không gian Hilbert. Các điều kiện cần thiết và đủ để đạt được sự hội tụ được chỉ ra rõ ràng. Những kết quả này cho thấy rằng, mặc dù các phần tử ngẫu nhiên có thể không độc lập, nhưng vẫn có thể đạt được sự hội tụ mạnh mẽ. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các mô hình phụ thuộc trong lý thuyết xác suất.