I. Mở đầu
Luận án này nghiên cứu sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Hilbert. Luật số lớn là một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết xác suất. Nó khẳng định rằng trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ hầu chắc chắn về kỳ vọng của các biến đó. Tuy nhiên, trong thực tế, các biến ngẫu nhiên thường phụ thuộc lẫn nhau. Do đó, việc nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau là cần thiết. Các ứng dụng của sự hội tụ này rất phong phú, từ thống kê đến toán tài chính. Nghiên cứu này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn trong nhiều lĩnh vực.
1.1. Lý do chọn đề tài
Lý do chọn đề tài này xuất phát từ tầm quan trọng của luật số lớn trong lý thuyết xác suất. Các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế thường không độc lập, mà có sự phụ thuộc lẫn nhau. Việc nghiên cứu sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc trong không gian Hilbert sẽ giúp mở rộng các kết quả đã có và cung cấp những công cụ mới cho các bài toán ứng dụng. Các kết quả này có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, khoa học máy tính và điều khiển tối ưu.
II. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và liên kết âm trong không gian Hilbert. Các khái niệm này là nền tảng cho việc nghiên cứu các định lý giới hạn và sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên. Các bất đẳng thức cực đại như bất đẳng thức Hajek-Renyi và Rademacher-Menshov được chứng minh và sử dụng để thiết lập luật số lớn. Những kết quả này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển lý thuyết về sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên.
2.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
Biến ngẫu nhiên được gọi là phụ thuộc âm nếu xác suất của chúng không vượt quá tích xác suất của từng biến. Điều này có thể được phát biểu qua nhiều cách khác nhau. Khái niệm này đã được nghiên cứu từ lâu và có nhiều ứng dụng trong thống kê. Các biến ngẫu nhiên liên kết âm cũng được xem xét, với nhiều tính chất quan trọng được chứng minh. Những khái niệm này sẽ được áp dụng trong các chương tiếp theo để thiết lập các định lý giới hạn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên.
III. Kết quả nghiên cứu
Luận án đã thiết lập các điều kiện cho sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc trong không gian Hilbert. Các kết quả về luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn được trình bày chi tiết. Những kết quả này không chỉ mở rộng lý thuyết hiện có mà còn cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể. Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số cũng được nghiên cứu, với các ứng dụng trong mô hình hồi quy phi tham số. Những kết quả này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ thống kê đến toán tài chính.
3.1. Luật mạnh số lớn
Luật mạnh số lớn được thiết lập cho dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm trong không gian Hilbert. Các điều kiện cần thiết và đủ để đạt được sự hội tụ được chỉ ra rõ ràng. Những kết quả này cho thấy rằng, mặc dù các phần tử ngẫu nhiên có thể không độc lập, nhưng vẫn có thể đạt được sự hội tụ mạnh mẽ. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các mô hình phụ thuộc trong lý thuyết xác suất.
