Giải SBT Toán 8 Chương 2: Đa Giác và Diện Tích

Đa giác là một trong những khái niệm cơ bản trong hình học, đặc biệt là trong chương trình Toán 8. 91 trang · Trường Trung Học Cơ Sở · 2023.

• Trường học: Trường Trung Học Cơ Sở
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Giải SBT Toán 8: Đa Giác và Diện Tích
• Loại tài liệu: sách bài tập
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng quan về Đa Giác và Diện Tích trong Toán 8

Đa giác là một trong những khái niệm cơ bản trong hình học, đặc biệt là trong chương trình Toán 8. Đa giác được định nghĩa là hình phẳng được tạo thành từ một chuỗi các đoạn thẳng nối tiếp nhau, tạo thành một vòng khép kín. Trong chương trình học, việc tìm hiểu về đa giác và diện tích của chúng không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Bài viết này sẽ đi sâu vào các khái niệm, công thức và ứng dụng thực tiễn của đa giác và diện tích trong toán học.

1.1. Định nghĩa và phân loại Đa Giác

Đa giác được chia thành nhiều loại khác nhau như đa giác lồi, đa giác lõm, và đa giác đều. Mỗi loại có những đặc điểm riêng biệt. Đa giác lồi là đa giác mà mọi góc trong đều nhỏ hơn 180 độ, trong khi đa giác lõm có ít nhất một góc lớn hơn 180 độ. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và góc bằng nhau.

1.2. Tầm quan trọng của Diện Tích trong Đa Giác

Diện tích của đa giác là một trong những yếu tố quan trọng trong hình học. Việc tính diện tích giúp học sinh hiểu rõ hơn về không gian và kích thước của các hình. Công thức tính diện tích đa giác thường dựa trên số cạnh và các đặc điểm hình học của nó.

II. Vấn đề và Thách thức trong Giải SBT Toán 8 về Đa Giác

Trong quá trình học tập, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài tập liên quan đến đa giác và diện tích. Một số vấn đề phổ biến bao gồm việc xác định loại đa giác, tính diện tích chính xác và áp dụng công thức một cách linh hoạt. Những thách thức này không chỉ đến từ lý thuyết mà còn từ việc áp dụng vào thực tiễn.

2.1. Khó khăn trong việc nhận diện Đa Giác

Học sinh thường gặp khó khăn trong việc phân biệt giữa các loại đa giác. Việc nhận diện đúng loại đa giác là rất quan trọng để áp dụng công thức tính diện tích chính xác.

2.2. Thách thức trong việc tính Diện Tích

Tính diện tích của đa giác không phải lúc nào cũng đơn giản. Học sinh cần nắm vững các công thức và cách áp dụng chúng trong các trường hợp khác nhau, từ đó giúp họ giải quyết bài tập một cách hiệu quả.

III. Phương pháp Giải SBT Toán 8 về Đa Giác và Diện Tích

Để giải quyết các bài tập về đa giác và diện tích, học sinh cần áp dụng một số phương pháp hiệu quả. Những phương pháp này không chỉ giúp học sinh giải bài tập mà còn phát triển tư duy logic và khả năng phân tích.

3.1. Sử dụng Công Thức Tính Diện Tích

Công thức tính diện tích của đa giác là một trong những công cụ quan trọng. Học sinh cần nắm vững công thức này để áp dụng vào các bài tập cụ thể. Ví dụ, diện tích của một hình tứ giác có thể được tính bằng công thức S = a * b, trong đó a và b là chiều dài và chiều rộng.

3.2. Vẽ Hình và Phân Tích Bài Tập

Vẽ hình là một bước quan trọng trong việc giải bài tập về đa giác. Học sinh nên vẽ hình để dễ dàng hình dung và phân tích bài tập, từ đó tìm ra cách giải phù hợp.

IV. Ứng dụng thực tiễn của Đa Giác và Diện Tích

Đa giác và diện tích không chỉ là những khái niệm lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống. Từ kiến trúc, thiết kế đến các lĩnh vực khoa học, việc hiểu rõ về đa giác và diện tích giúp con người giải quyết nhiều vấn đề trong thực tế.

4.1. Ứng dụng trong Kiến Trúc và Thiết Kế

Trong kiến trúc, việc tính diện tích của các đa giác giúp kiến trúc sư thiết kế các công trình một cách hợp lý và hiệu quả. Họ cần tính toán diện tích để đảm bảo rằng không gian được sử dụng tối ưu.

4.2. Ứng dụng trong Khoa Học và Công Nghệ

Trong các lĩnh vực khoa học, việc tính diện tích của các đa giác giúp các nhà nghiên cứu thực hiện các thí nghiệm và phân tích dữ liệu một cách chính xác. Điều này rất quan trọng trong việc phát triển công nghệ mới.

V. Kết luận và Tương lai của Đa Giác trong Toán Học

Đa giác và diện tích là những khái niệm cơ bản nhưng rất quan trọng trong toán học. Việc nắm vững kiến thức về đa giác không chỉ giúp học sinh giải quyết bài tập mà còn phát triển tư duy logic. Tương lai của việc nghiên cứu về đa giác hứa hẹn sẽ mang lại nhiều điều thú vị và hữu ích trong các lĩnh vực khác nhau.

5.1. Tầm quan trọng của Đa Giác trong Giáo Dục

Đa giác sẽ tiếp tục là một phần quan trọng trong chương trình giáo dục toán học. Việc hiểu rõ về đa giác sẽ giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề.

5.2. Xu hướng Nghiên cứu về Đa Giác

Nghiên cứu về đa giác sẽ tiếp tục phát triển, đặc biệt trong các lĩnh vực như hình học không gian và ứng dụng công nghệ. Điều này sẽ mở ra nhiều cơ hội mới cho học sinh và các nhà nghiên cứu.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Tài liệu "Giải SBT Toán 8: Đa Giác và Diện Tích" (thuộc phần Hình học, Sách bài tập Toán 8 Tập 1) là một đơn vị tri thức nền tảng trong chương trình hình học phẳng sơ cấp. Về vị trí đào tạo, nội dung chuyên đề đóng vai trò cầu nối chuyển tiếp từ việc nghiên cứu các hình phẳng riêng lẻ (tam giác, tứ giác đặc biệt) sang lý thuyết tổng quát về đa giác lồi, đa giác đều và lý thuyết đo lường diện tích phẳng.

Mục tiêu học tập cốt lõi của tài liệu bao gồm:

• Định nghĩa, phân loại và chứng minh các tính chất hình học của đa giác lồi, đa giác đều cùng hệ thống góc trong, góc ngoài và đường chéo.
• Thiết lập, giải thích và vận dụng chuẩn xác các công thức tính diện tích các hình đa giác cơ bản: hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang và hình bình hành.
• Xây dựng tư duy phân tích hình học thông qua phương pháp phân cắt, tái cấu trúc diện tích (dissection) và thiết lập quan hệ hàm số giữa diện tích với các đại lượng hình học liên quan.

Tài liệu được cấu trúc theo phương pháp quy nạp từ trực quan đến trừu tượng: bắt đầu từ các định nghĩa hình học cơ sở, phát triển các công thức tính toán tổng quát cho hình $n$-giác, sau đó triển khai hệ thống tiên đề diện tích từ hình chữ nhật sang tam giác, hình thang và hình bình hành. Điểm đặc sắc của tài liệu là sự kết hợp chặt chẽ giữa hệ thống bài tập chuẩn tắc trong chương trình và các bài tập bổ sung mang tính giải tích, thực nghiệm cắt ghép và đại số hóa hình học.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung tài liệu được phân chia thành 4 chủ đề bài học chính cùng hệ thống bài tập bổ sung tương ứng:

1. Chủ đề 1: Đa giác - Đa giác đều (Bài 1 đến Bài 11, Bài tập bổ sung 1.1 đến 1.3 - Trang 155, 156, 157):

   • Khái niệm cơ bản: Khái niệm đa giác, định nghĩa đa giác lồi (đa giác luôn nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác); nhận diện các đa giác đều điển hình (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều).
   • Công thức tổng quát: Chứng minh định lý tổng số đo các góc trong của $n$-giác lồi bằng $(n - 2) \cdot 180^\circ$; công thức tính số đo mỗi góc của $n$-giác đều là $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$; công thức xác định số đường chéo của $n$-giác là $\frac{n(n - 3)}{2}$.
   • Tính chất góc ngoài và góc nhọn: Chứng minh tổng các góc ngoài của đa giác lồi luôn bằng $360^\circ$; chứng minh một đa giác lồi có nhiều nhất 3 góc nhọn; xác định số cạnh của đa giác đều khi biết tổng số đo các góc ngoài và một góc trong.
   • Hình học dựng hình và đối xứng: Chứng minh tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều mới tạo bởi các trung điểm cạnh của đa giác đều ban đầu; chứng minh hình vuông tạo thành từ việc kéo dài các cạnh trên tia đối.

2. Chủ đề 2: Diện tích hình chữ nhật (Bài 12 đến Bài 24, Bài tập bổ sung 2.1 đến 2.3 - Trang 157, 158, 159):

   • Công thức và mối quan hệ tỉ lệ: Vận dụng công thức $S = a \cdot b$; khảo sát sự biến thiên của diện tích khi thay đổi kích thước các cạnh; mô hình hóa mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng qua hàm số $y = \frac{20}{x}$ trên mặt phẳng tọa độ $xOy$.
   • Bài toán diện tích và chu vi: Phân chia hình chữ nhật thành hai hình chữ nhật bằng nhau; tính toán cạnh khi biết tỉ số kích thước và diện tích ($S = 144\text{ cm}^2$, tỉ số $\frac{4}{9}$).
   • Tính chất đẳng diện tích: Chứng minh hai đường chéo chia hình chữ nhật thành bốn tam giác có diện tích bằng nhau ($S_{OAB} = S_{OBC} = S_{OCD} = S_{ODA}$); chứng minh tính bằng nhau về diện tích giữa các đa giác ghép trong hình bình hành.
   • Phương pháp giải tích diện tích: Chứng minh các hằng đẳng thức $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ và $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ bằng mô hình diện tích; chứng minh quan hệ diện tích tam giác vuông cân tương đương định lý Pythagoras mà không dùng định lý trực tiếp.

3. Chủ đề 3: Diện tích tam giác (Bài 25 đến Bài 31, Bài tập bổ sung 3.1 đến 3.3 - Trang 159, 160, 161):

   • Công thức và tính bất biến: Thiết lập công thức $S = \frac{1}{2} a \cdot h$; chứng minh tính bất biến của diện tích tam giác khi đỉnh di chuyển trên đường thẳng song song với đáy cố định; khảo sát đồ thị hàm số diện tích theo chiều cao $y = 2x$.
   • Đánh giá và giới hạn diện tích: Xác định miền giá trị khả dĩ của diện tích khi biết độ dài hai cạnh ($S \le \frac{1}{2}ab \le 15\text{ cm}^2$); thiết lập tỉ lệ nghịch giữa chiều cao và độ dài đáy tương ứng ($\frac{BH}{CK} = \frac{AC}{AB}$).
   • Phân chia diện tích và điểm bất biến: Kỹ thuật chia tam giác thành 2 và 4 phần có diện tích bằng nhau bằng trung tuyến; chứng minh định lý về tổng khoảng cách từ điểm bất kỳ trong tam giác đều đến ba cạnh ($MH + MK + MT = h$); chứng minh hệ thức tỉ số khoảng cách $\frac{MH}{AD} + \frac{MK}{BE} + \frac{MT}{CF} = 1$.

4. Chủ đề 4: Diện tích hình thang và hình bình hành (Bài 32 đến Bài 41, Bài tập bổ sung 4.1 - Trang 161, 162):

   • Công thức tính: Vận dụng công thức diện tích hình thang $S = \frac{(a + b)h}{2}$, hình thang vuông, hình thang cân và diện tích hình bình hành $S = a \cdot h$.
   • Tính chất đối xứng và chia đôi: Chứng minh mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang đều chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
   • Hình bình hành và các yếu tố đường cao: Xác định chu vi hình bình hành từ khoảng cách giữa giao điểm hai đường chéo đến các cạnh; tính toán góc nhọn của hình bình hành khi biết diện tích bằng nửa diện tích hình chữ nhật cùng kích thước cạnh ($30^\circ$); chứng minh diện tích hình chữ nhật luôn lớn hơn diện tích hình bình hành có cùng độ dài cạnh.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

• Hệ thống tiên đề diện tích: Xây dựng trên ba nguyên lý nền tảng: diện tích là một đại lượng không âm; hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau; nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích các đa giác thành phần.
• Lý thuyết hình học phẳng Euclid: Khái niệm nửa mặt phẳng, tính lồi của tập hợp điểm, quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, tính chất đường trung bình trong tam giác và hình thang.
• Liên kết hình học - giải tích: Biểu diễn các đại lượng hình học dưới dạng phương trình, hệ phương trình, hàm số và đồ thị tọa độ $xOy$.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng tính toán kỹ thuật: Biến đổi đại số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai để tìm kích thước cạnh, đường cao, chu vi và diện tích; tính toán góc của đa giác đều từ $n = 3$ đến $n = 12$.
• Kỹ năng phân tích và chứng minh: Phân tách đa giác phức hợp thành các hình cơ bản; suy luận logic chứng minh tính bằng nhau về diện tích; đánh giá bất đẳng thức hình học.
• Kỹ năng thực hành không gian: Phân cắt và ghép hình (dissection puzzles), dựng hình theo điều kiện đối xứng, vẽ và đọc đồ thị biểu diễn hàm số diện tích.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Tài liệu áp dụng phương pháp tiếp cận sư phạm đi từ trực quan, thực nghiệm đến khái quát hóa lý thuyết:

• Tiếp cận diễn dịch kết hợp quy nạp: Các công thức tổng quát cho hình $n$-giác (tổng góc trong, số đường chéo, góc ngoài) được hình thành từ việc chia đa giác thành $(n - 2)$ tam giác bằng các đường chéo xuất phát từ một đỉnh.
• Cấu trúc bài tập đa tầng:
  • Bài tập nhận biết và kiểm tra khái niệm: Sử dụng các câu hỏi đúng/sai (Bài 1.1 trang 156) nhằm phân biệt chính xác định nghĩa đa giác lồi và đa giác không lồi.
  • Bài tập tính toán đại số: Tìm ẩn số $x$, xác định độ dài cạnh, đường cao (Bài 16, 17, 32, 40).
  • Bài tập chứng minh đẳng diện tích: Khai thác tính chất tam giác bằng nhau và đường trung bình (Bài 21, 22, 23, 25, 37).
  • Bài tập cắt ghép hình học: Rèn luyện tư duy biến đổi hình học qua bài toán dùng kéo cắt 1 lần hoặc 2 lần để chuyển đổi hình chữ nhật sang tam giác vuông/tam giác thường (Bài 2.3 trang 159, Bài 3.1 trang 160).
  • Bài tập ứng dụng thực tiễn: Tính toán số lượng gạch lát nền kích thước $33,33\text{ cm}$ cho phòng học $4\text{m} \times 6\text{m}$ và gạch $25\text{ cm}$ cho mảnh sân đa giác (Bài 2.1 trang 159).
• Phương pháp đánh giá và tự học: Người học được kiểm tra năng lực thông qua việc giải thích bản chất hình học, biểu diễn hàm số trên đồ thị, và khả năng giải các bài toán có nhiều trường hợp (như Bài 40 trang 162 có 2 đáp số cho đường cao hình bình hành).

---

Điểm nổi bật và cập nhật

• Cấu trúc bài tập chuẩn hóa và phân cấp rõ ràng: Phân tách mạch lạc giữa các bài tập chuẩn theo chương trình (Bài 1 đến 41) và các bài tập bổ sung mở rộng (Bài 1.1 đến 4.1), đáp ứng yêu cầu từ củng cố kiến thức đến đào sâu chuyên đề.
• Tích hợp liên môn giữa Hình học và Đại số: Sử dụng mô hình hình học để chứng minh trực quan các đẳng thức đại số (hằng đẳng thức bậc hai trong Bài 2.2); sử dụng phương pháp tọa độ và hàm số để khảo sát diện tích (Bài 13, Bài 27).
• Trực quan hóa các định lý hình học nâng cao: Giới thiệu các bài toán mang tính chất định lý cổ điển như định lý Viviani (tổng khoảng cách từ một điểm trong tam giác đều đến 3 cạnh bằng đường cao - Bài 3.2) và định lý tỉ số khoảng cách trong tam giác bất kỳ (Bài 3.3).
• Gắn kết thực tiễn kỹ thuật: Lồng ghép bài toán tính toán vật liệu xây dựng, phân chia diện tích đất đai và xác định diện tích mảnh sân phức hợp dựa trên phương pháp phân rã hình học.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

• Sinh viên ngành Sư phạm Toán học, Giáo dục Tiểu học và THCS: Sử dụng làm tài liệu nghiên cứu phương pháp giảng dạy hình học phẳng sơ cấp, phân tích cấu trúc bài tập và thiết kế giáo án giảng dạy chuyên đề diện tích.
• Điều kiện tiên quyết (Prerequisites): Người học cần nắm vững lý thuyết tam giác bằng nhau, các trường hợp đồng dạng cơ bản, định lý Pythagoras, tính chất các tứ giác đặc biệt (hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) và các phép biến đổi đại số cơ bản.
• Giảng viên và giáo viên bộ môn Toán: Sử dụng làm ngân hàng dữ liệu bài tập chuẩn mực, tài liệu tham khảo để biên soạn đề kiểm tra, bài giảng chuyên đề và tài liệu bồi dưỡng năng khiếu hình học.
• Người tự học và nghiên cứu hình học sơ cấp: Dùng làm tài liệu tra cứu các công thức đa giác tổng quát, tham khảo phương pháp lập luận chứng minh hình học và rèn luyện kỹ năng phân cắt diện tích.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với đối tượng người học nào?
   Tài liệu phù hợp cho sinh viên sư phạm toán, giáo viên trung học cơ sở và người học cần tài liệu chuẩn hóa về phương pháp giải toán hình học phẳng sơ cấp chuyên đề đa giác và diện tích.

2. Cần trang bị những kiến thức nền tảng nào trước khi tiếp cận tài liệu?
   Người học cần có kiến thức cơ bản về các định nghĩa và tính chất của tứ giác đặc biệt, quan hệ song song - vuông góc, định lý Pythagoras và kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình đại số.

3. Điểm khác biệt của tài liệu so với các tài liệu hình học thông thường là gì?
   Tài liệu không chỉ cung cấp công thức tính toán đơn thuần mà chú trọng chứng minh bản chất toán học của công thức $n$-giác, tích hợp phương pháp chứng minh hằng đẳng thức đại số bằng diện tích và các bài toán phân cắt hình học thực nghiệm.

4. Làm sao để tự học và nghiên cứu tài liệu đạt hiệu quả cao?
   Người học nên tự vẽ lại hình phẳng trên giấy ô vuông, thực hiện các bước chứng minh tổng quát cho hình $n$-giác trước khi áp dụng vào các trường hợp cụ thể ($n = 5, 6, 8, 10, 12$), và chủ động giải quyết các bài toán phân chia diện tích trước khi đối chiếu lời giải.

5. Tài liệu có cung cấp các dạng bài tập thực hành và mở rộng không?
   Có. Tài liệu cung cấp đầy đủ hệ thống bài tập bổ sung có đánh số riêng biệt sau mỗi bài học, bao gồm câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết, bài toán cắt dán hình học, bài toán ứng dụng lát nền thực tế và các bài toán chứng minh hệ thức khoảng cách nâng cao.

---

Kết luận

Tài liệu "Giải SBT Toán 8: Đa Giác và Diện Tích" cung cấp hệ thống lý thuyết và phương pháp giải toán hoàn chỉnh về đa giác lồi, đa giác đều cùng các quy tắc tính toán diện tích hình học phẳng cơ bản.

Lộ trình học tập đề xuất:

1. Nắm vững định nghĩa đa giác lồi, đa giác đều và các công thức tổng quát về góc và đường chéo của $n$-giác.
2. Vận dụng công thức diện tích hình chữ nhật, tam giác, hình thang, hình bình hành và thực hành phương pháp phân rã diện tích.
3. Nghiên cứu các bài toán biểu diễn hàm số diện tích trên hệ tọa độ và các bài toán bổ sung về hằng đẳng thức hình học.
4. Thực hành các bài toán định lý bất biến khoảng cách và bài toán phân cắt hình học nâng cao.

Tài liệu có thể kết hợp hiệu quả với các phần mềm hình học động (như GeoGebra) và hệ thống bài tập hình học phẳng giải tích để tối ưu hóa quá trình giảng dạy và nghiên cứu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Đa giác đều Bài 1 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Trong các hình dưới đây hình nào là đa giác lồi? Vì sao? Lời giải: Các hình c, e, g là các đa giác lồi vì đa giác nằm trên một nửa mặt phẳng với bờ chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác. Bài 2 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Hình vẽ bên. Hãy vẽ một đa giác lồi mà các đỉnh là một trong các điểm đã cho trong hình. Lời giải: Bài 3 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Em hãy kể tên một số đa giác đều mà em biết.

Lời giải: Ví dụ về các đa giác đều là: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều,… Bài 4 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng số đo của một hình n-giác (n − 2). n Lời giải: Vẽ một n-giác lồi, kẻ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n-giác lồi thì chia đa giác đó thành (n - 2) tam giác. Tổng số đo 3 góc của 1 tam giác là 1800 nên tổng các góc của n-giác lồi bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác bằng (n - 2).1800 Hình n-gíác đều có n góc bằng nhau nên số đo mỗi góc bằng:. n Bài 5 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Tính số đo của hình 8 cạnh đều, 10 cạnh đều, 12 cạnh đều.1800 Theo bài 4, công thức tính số đo mỗi góc của đa giác đều có n cạnh: n - Đa giác đều 8 cạnh ⇒ n = 8, số đo mỗi góc là: (8 − 2).

8 - Đa giác đều 10 cạnh ⇒ n = 10, số đo mỗi góc là: (10 − 2).1800 = 1440 10 - Đa giác đều 12 cạnh ⇒ n = 12, số đo mỗi góc là: (12 − 2).1800 = 1500 12 Bài 6 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: a) Vẽ hình và tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác. n(n − 3) b) Chứng minh rằng hình n-giác có tất cả đường chéo. 2 Lời giải: a) Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được 2 đường chéo. Ngũ giác có 5 đỉnh ta kẻ được 5.2 = 10 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần.

Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo. Từ mỗi đỉnh của lục giác vẽ được 3 đường chéo. Lục giác có 6 đỉnh ta kẻ được 6.3 = 18 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả 9 đường chéo.

b) Từ mỗi đỉnh của n-giác nối với các đỉnh còn lại ta được n – 1 đoạn thẳng, trong đó có 2 đoạn thẳng là cạnh của hình n-giác (hai đoạn thẳng nối với hai đỉnh kề nhau). Vậy qua mỗi đỉnh n-giác vẽ được n – 3 đường chéo. Hình n-giác có n đỉnh kẻ được n(n – 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. n(n − 3) Vậy hình n-giác có tất cả đường chéo.

2 Bài 7 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm số đường chéo của hình 8 cạnh, 10 cạnh, 12 cạnh. Lời giải: Áp dụng công thức tính ở bài 6 chương này. 8(8 − 3) Đa giác có 8 cạnh, số đường chéo là: = 20 đường chéo; 2 10(10 − 3) Đa giác có 10 cạnh, số đường chéo là: = 35 đường chéo; 2 12(12 − 3) Đa giác có 12 cạnh, số đường chéo là: = 54 đường chéo. 2 Bài 8 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác (lồi) có số đo bằng 360o.

Lời giải: Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n-giác bằng 180o. Hình n-giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và góc ngoài của đa giác bằng n. Mặt khác, ta biết tổng các góc trong của hình n-giác bằng (n – 2). Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n-giác là: n.180o = 360o Bài 9 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Đa giác nào có tổng số đo các góc trong bằng tổng số đo các góc ngoài? Lời giải: Hình n-giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng (n – 2).180o và tổng các góc ngoài bằng 360o (theo bài 8).

Để đa giác lồi có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài thì: ⇒ (n – 2). Vậy tứ giác lồi có tổng các góc trong và góc ngoài bằng nhau. Bài 10 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Một đa giác (lồi) có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn? Lời giải: Ta có: nếu góc của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù. Nếu đa giác lồi có 4 góc đều nhọn thì các góc ngoài tương ứng đều là góc tù nên tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 4.

Vậy đa giác lồi có nhiều nhất là 3 góc nhọn. Bài 11 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của đa giác đó bằng 468°. Hỏi đa giác đều đó có mấy cạnh? Lời giải: Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng 360°. Số đo một góc trong của đa giác đều là 468° – 360° = 108° Gọi n là số cạnh của đa giác đều.1800 Ta có số đo mỗi góc của đa giác đều bằng .n n ⇒ 72n = 360 ⇒ n = 5 Vậy đa giác đều cần tìm có 5 cạnh.

Bài tập bổ sung Bài 1.1 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Mỗi câu sau đây đúng hay sai ? a) Tam giác và tứ giác không phải là đa giác. b) Hình gồm n đoạn thẳng đôi một có một điểm chung được gọi là đa giác (với n là số tự nhiên lớn hơn 2). c) Hình gồm n đoạn thẳng (n là số tự nhiên lớn hơn 2) trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng được gọi là đa giác. d) Hình tạo bởi nhiều hình tam giác được gọi là đa giác.

e) Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng cho trước được gọi là đa giác lồi. f) Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh của nó được gọi là đa giác lồi. g) Hình gồm hai đa giác lồi cho trước là một đa giác lồi. Lời giải: a) Sai vì tam giác và tứ giác cũng là đa giác.

d) Sai e) Sai; f) Sai; g) Sai Bài 1.2 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: a) Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh MNP là tam giác đều. b) Cho hình vuông ABCD.

Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông (tứ giác đều). c) Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB.

Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều. Lời giải: a) Ta có: M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC Nên MN là đường trung bình của Δ ABC 1 ⇒ MN = AB 2 Ta có: P là trung điểm của AB; M là trung điểm BC nên MP là đường trung bình của Δ ABC 1 ⇒ MP = AC 2 1 Tương tự, NP là đường trung bình của Δ ABC ⇒ NP = BC. 2 Mà AB = BC = AC (vì tam giác ABC đều) Do đó MN = MP = NP. Vậy Δ MNP đều.

b) Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC = CN = ND = DP = PA Xét Δ APQ và Δ BQM: AQ = BM A = B = 90o AP = BQ Do đó: Δ APQ = Δ BQM (c.c) ⇒ PQ = QM (1) Xét Δ BQM và Δ CMN: BM = CN B = C = 90o BQ = CM Do đó: Δ BQM = Δ CMN (c.c) ⇒ QM = MN (2) Xét Δ CMN và Δ DNP: CN = DP C = D = 90o CM = DN Do đó: Δ CMN = Δ DNP (c.c) ⇒ MN = NP (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM. Suy ra: tứ giác MNPQ là hình thoi Vì AP = AQ nên Δ APQ vuông cân tại A BQ = BM nên Δ BMQ vuông cân tại B Do đó: AQP = BQM = 45o Lại có: AQP + PQM + BQM = 180o (kề bù) ( ⇒ PQM = 1800 − AQP + BQM ) = 180o - (45o + 45o) = 90o Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông. c) Xét Δ ABC và Δ BCD: AB = BC (vì ABCDE là ngũ giác đều) B = C (vì ABCDE là ngũ giác đều) BC = CD ( vì ABCDE là ngũ giác đều). Do đó: Δ ABC = Δ BCD (c.c) ⇒ AC = BD (1) Tương tự, xét Δ BCD và Δ CDE: BC = CD C=D CD = DE Do đó: Δ BCD = Δ CDE (c.c) ⇒ BD = CE (2) Xét Δ CDE và Δ DEA: CD = DE D=E DE = EA Do đó: Δ CDE = Δ DEA (c.c) ⇒ CE = DA (3) Xét Δ DEA và Δ EAB: DE = EA E=A EA = AB Do đó: Δ DEA = Δ EAB (c.

2 Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình 1 ⇒ MN = BD (tính chất đường trung bình của tam giác) 2 Trong Δ CDE ta có NP là đường trung bình 1 ⇒ NP = CE (tính chất đường trung bình của tam giác) 2 Trong Δ DEA ta có PQ là đường trung bình 1 ⇒ PQ = DA (tính chất đường trung bình của tam giác) 2 Trong Δ EAB ta có QR là đường trung bình 1 ⇒ QR = EB (tính chất đường trung bình của tam giác) 2 Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM (5 − 2).