PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LIÊN TỤC CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU

Luận văn về phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều. Tìm hiểu lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và ứng dụng thực tế.

• Tác giả: Bùi Văn Hưng
• Người hướng dẫn: Gs. Trần Hữu Nghị
• Trường học: Trường Đại học Dân lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Đối Với Bài Toán Dầm Liên Tục Chịu Tải Trọng Phân Bố Đều
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sỹ kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Giải Dầm Liên Tục Bằng FEM 55 Ký Tự

Bài toán dầm liên tục là một vấn đề quan trọng trong kỹ thuật xây dựng, đặc biệt khi chịu tải phân bố đều. Việc giải quyết bài toán này đòi hỏi sự chính xác và hiệu quả để đảm bảo an toàn và độ bền của công trình. Các phương pháp truyền thống đôi khi gặp khó khăn khi xử lý các kết cấu phức tạp. Vì vậy, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) nổi lên như một giải pháp mạnh mẽ, cho phép mô hình hóa và phân tích chi tiết ứng xử của dầm dưới tác dụng của tải trọng. Luận văn này tập trung vào việc áp dụng FEM để giải quyết bài toán cụ thể này, sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và các công cụ phần mềm hiện đại như ANSYS, SAP2000, và ETABS. Mục tiêu là cung cấp một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu, từ lý thuyết cơ bản đến ứng dụng thực tế.

1.1. Giới thiệu về bài toán dầm liên tục chịu tải

Bài toán dầm liên tục là một trong những bài toán cơ bản của cơ học kết cấu, liên quan đến việc xác định ứng suất dầm, biến dạng dầm, mô men uốn, và lực cắt trong dầm. Dầm liên tục là dầm được đỡ bởi nhiều hơn hai gối tựa, làm cho việc tính toán trở nên phức tạp hơn so với dầm đơn giản. Khi dầm chịu tải phân bố đều, tải trọng tác dụng đều trên toàn bộ chiều dài dầm, tạo ra phân bố nội lực phức tạp. Các phương pháp giải truyền thống như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị đôi khi gặp khó khăn khi áp dụng cho dầm liên tục với số lượng gối tựa lớn hoặc hình dạng phức tạp.

1.2. Ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp số mạnh mẽ để giải quyết các bài toán kỹ thuật, bao gồm cả bài toán dầm liên tục. FEM chia kết cấu thành các phần tử nhỏ hơn, sau đó giải các phương trình cân bằng cho từng phần tử và kết hợp chúng lại để có được giải pháp cho toàn bộ kết cấu. Ưu điểm của FEM là khả năng xử lý các hình dạng phức tạp, vật liệu không đồng nhất và các điều kiện biên khác nhau. Ngoài ra, FEM còn cho phép tính toán chi tiết ứng suất, biến dạng, và nội lực trong kết cấu.

II. Vấn Đề Khó Khăn Khi Giải Dầm Liên Tục 58 Ký Tự

Việc giải bài toán dầm liên tục chịu tải phân bố đều bằng các phương pháp truyền thống thường gặp nhiều khó khăn. Các phương pháp này đòi hỏi nhiều thời gian tính toán và dễ mắc lỗi, đặc biệt khi số lượng gối tựa tăng lên. Hơn nữa, việc áp dụng các phương pháp này cho các dầm có hình dạng phức tạp hoặc điều kiện biên đặc biệt trở nên rất khó khăn. Sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) đã giải quyết đáng kể những hạn chế này. FEM cho phép mô hình hóa và phân tích dầm liên tục một cách chính xác và hiệu quả hơn. Tuy nhiên, việc áp dụng FEM đòi hỏi kiến thức chuyên sâu về lý thuyết và kỹ năng sử dụng các phần mềm chuyên dụng như ANSYS, SAP2000, và ETABS.

2.1. Giới hạn của phương pháp lực và phương pháp chuyển vị

Phương pháp lực và phương pháp chuyển vị là hai phương pháp truyền thống để giải bài toán kết cấu. Tuy nhiên, cả hai phương pháp này đều có những hạn chế nhất định khi áp dụng cho dầm liên tục. Phương pháp lực đòi hỏi việc lựa chọn hệ cơ bản, số lượng ẩn số tăng lên khi số lượng liên kết thừa tăng. Phương pháp chuyển vị đòi hỏi việc thiết lập các phương trình chuyển vị, số lượng ẩn số tăng lên khi số lượng nút tăng. Do đó, khi số lượng gối tựa hoặc số lượng nút lớn, việc giải hệ phương trình trở nên phức tạp và tốn thời gian.

2.2. Sai số trong các phương pháp gần đúng truyền thống

Các phương pháp gần đúng truyền thống như phương pháp gần đúng của Timoshenko thường được sử dụng để đơn giản hóa bài toán dầm liên tục. Tuy nhiên, các phương pháp này có thể gây ra sai số đáng kể, đặc biệt khi dầm có hình dạng phức tạp hoặc điều kiện biên đặc biệt. Sai số này có thể ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính toán ứng suất và biến dạng, dẫn đến những quyết định sai lầm trong thiết kế.

III. Cách Giải Dầm Liên Tục Bằng FEM Hướng Dẫn Chi Tiết 59

Để giải bài toán dầm liên tục chịu tải phân bố đều bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), cần thực hiện theo các bước sau: Đầu tiên, mô hình hóa dầm bằng cách chia thành các phần tử nhỏ hơn. Thứ hai, chọn hàm nội suy phù hợp để mô tả biến dạng của từng phần tử. Thứ ba, thiết lập ma trận độ cứng cho từng phần tử và sau đó lắp ráp thành ma trận độ cứng tổng thể của toàn bộ dầm. Thứ tư, áp dụng các điều kiện biên và tải trọng lên dầm. Cuối cùng, giải hệ phương trình tuyến tính để tìm chuyển vị và ứng suất tại các nút. Kết quả thu được sẽ cho phép đánh giá chính xác trạng thái chịu lực của dầm.

3.1. Mô hình hóa dầm và chia lưới phần tử

Bước đầu tiên trong việc giải bài toán dầm liên tục bằng FEM là mô hình hóa dầm. Quá trình này bao gồm việc xác định hình dạng, kích thước, và vật liệu của dầm. Sau đó, dầm được chia thành các phần tử nhỏ hơn bằng kỹ thuật chia lưới. Kích thước và hình dạng của các phần tử có thể ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả. Lưới mịn hơn thường cho kết quả chính xác hơn, nhưng đồng thời cũng đòi hỏi nhiều thời gian tính toán hơn.

3.2. Thiết lập ma trận độ cứng và áp dụng điều kiện biên

Sau khi chia lưới, bước tiếp theo là thiết lập ma trận độ cứng cho từng phần tử và lắp ráp thành ma trận độ cứng tổng thể của toàn bộ dầm. Ma trận độ cứng mô tả mối quan hệ giữa lực tác dụng và chuyển vị của phần tử. Sau đó, các điều kiện biên như gối tựa và liên kết được áp dụng vào ma trận độ cứng tổng thể. Việc áp dụng điều kiện biên chính xác là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

3.3. Giải hệ phương trình và phân tích kết quả FEM

Khi ma trận độ cứng và các điều kiện biên đã được thiết lập, hệ phương trình tuyến tính có thể được giải để tìm chuyển vị và ứng suất tại các nút. Các phần mềm FEM như ANSYS, SAP2000, và ETABS cung cấp các công cụ mạnh mẽ để giải hệ phương trình này. Sau khi giải, kết quả cần được phân tích và đánh giá để đảm bảo tính chính xác và hợp lý.

IV. Phần Mềm FEM Giải Dầm Liên Tục So Sánh Ứng Dụng 58

Nhiều phần mềm FEM có sẵn trên thị trường, mỗi phần mềm có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Các phần mềm phổ biến như ANSYS, SAP2000, và ETABS đều cung cấp các công cụ mạnh mẽ để giải bài toán dầm liên tục. Việc lựa chọn phần mềm phù hợp phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán, kinh nghiệm của người dùng, và ngân sách. Trong luận văn, tác giả sử dụng chương trình Matlab để giải các bài toán, cho thấy tính linh hoạt của FEM. Quan trọng là hiểu rõ lý thuyết FEM và các chức năng của phần mềm để đảm bảo kết quả chính xác và đáng tin cậy.

4.1. So sánh ANSYS SAP2000 và ETABS cho bài toán dầm

ANSYS là một phần mềm FEM đa năng, có khả năng giải quyết nhiều loại bài toán khác nhau, từ cơ học kết cấu đến nhiệt động lực học. SAP2000 là một phần mềm chuyên dụng cho phân tích kết cấu, đặc biệt là các công trình xây dựng. ETABS là một phần mềm được thiết kế đặc biệt cho phân tích nhà cao tầng. Mỗi phần mềm có những ưu điểm riêng, ví dụ, ANSYS có khả năng mô hình hóa vật liệu phức tạp, SAP2000 dễ sử dụng và có nhiều tính năng chuyên dụng cho kết cấu xây dựng, ETABS tối ưu cho nhà cao tầng.

4.2. Ứng dụng Matlab trong giải FEM dầm liên tục

Matlab là một môi trường lập trình mạnh mẽ, có thể được sử dụng để giải các bài toán FEM. Việc sử dụng Matlab cho phép người dùng tùy chỉnh các thuật toán và kiểm soát quá trình giải một cách chi tiết. Trong luận văn này, tác giả sử dụng Matlab để giải bài toán dầm liên tục, cho thấy tính linh hoạt của FEM và khả năng áp dụng nó trong các môi trường lập trình khác nhau. Chương trình Matlab cũng giúp người dùng hiểu rõ hơn về các bước tính toán trong FEM.

V. Ứng Dụng Thực Tế Kết Quả Nghiên Cứu FEM Dầm 56 Ký Tự

Kết quả của việc giải bài toán dầm liên tục bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) có thể được sử dụng trong nhiều ứng dụng thực tế. Ví dụ, kết quả này có thể được sử dụng để kiểm tra độ bền và độ cứng của dầm, hoặc để tối ưu hóa thiết kế dầm. Nghiên cứu của Bùi Văn Hưng (2017) đã chỉ ra rằng FEM có thể cung cấp kết quả chính xác và đáng tin cậy cho bài toán dầm liên tục, đặc biệt khi so sánh với các phương pháp truyền thống. Ngoài ra, kết quả nghiên cứu còn có thể được sử dụng để đào tạo và giảng dạy về FEM.

5.1. Kiểm tra độ bền và độ cứng dầm bằng kết quả FEM

Kết quả FEM có thể được sử dụng để kiểm tra độ bền và độ cứng của dầm bằng cách so sánh ứng suất và biến dạng tính toán được với các giới hạn cho phép. Nếu ứng suất hoặc biến dạng vượt quá giới hạn cho phép, cần phải điều chỉnh thiết kế dầm để đảm bảo an toàn. Ví dụ, có thể tăng kích thước dầm, sử dụng vật liệu có cường độ cao hơn, hoặc thay đổi bố trí gối tựa.

5.2. Tối ưu hóa thiết kế dầm liên tục sử dụng FEM

FEM có thể được sử dụng để tối ưu hóa thiết kế dầm liên tục bằng cách tìm ra hình dạng và kích thước dầm sao cho đạt được độ bền và độ cứng mong muốn với chi phí thấp nhất. Quá trình tối ưu hóa có thể bao gồm việc thay đổi kích thước, hình dạng, và vật liệu của dầm, cũng như vị trí của các gối tựa. Các phần mềm FEM thường cung cấp các công cụ tối ưu hóa tích hợp.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển FEM Dầm Liên Tục 54 Ký Tự

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ để giải bài toán dầm liên tục chịu tải phân bố đều. FEM cho phép mô hình hóa và phân tích dầm một cách chính xác và hiệu quả hơn so với các phương pháp truyền thống. Kết quả FEM có thể được sử dụng trong nhiều ứng dụng thực tế, từ kiểm tra độ bền đến tối ưu hóa thiết kế. Trong tương lai, FEM có thể được phát triển để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, chẳng hạn như dầm liên tục chịu tải động hoặc dầm liên tục làm từ vật liệu composite. Theo Bùi Văn Hưng (2017) FEM cần tiếp tục được nghiên cứu, hoàn thiện để đáp ứng các bài toán kỹ thuật ngày càng phức tạp.

6.1. Tổng kết ưu điểm của FEM trong giải bài toán dầm

FEM có nhiều ưu điểm so với các phương pháp truyền thống trong việc giải bài toán dầm liên tục. FEM có khả năng xử lý các hình dạng phức tạp, vật liệu không đồng nhất, và các điều kiện biên khác nhau. FEM cho phép tính toán chi tiết ứng suất, biến dạng, và nội lực trong dầm. FEM có thể được sử dụng để mô phỏng các hiện tượng phi tuyến, chẳng hạn như vật liệu dẻo hoặc biến dạng lớn.

6.2. Hướng nghiên cứu và phát triển FEM cho dầm liên tục

Trong tương lai, FEM có thể được phát triển để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về dầm liên tục. Các hướng nghiên cứu tiềm năng bao gồm: Phát triển các phần tử có độ chính xác cao hơn; Xây dựng mô hình vật liệu tiên tiến hơn (ví dụ, vật liệu composite); Phát triển các thuật toán giải nhanh và hiệu quả hơn; Tích hợp FEM với các công nghệ khác, chẳng hạn như trí tuệ nhân tạo và học máy.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG ----------------------------- BÙI VĂN HƯNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LIÊN TỤC CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TRẦN HỮU NGHỊ Hải Phòng, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Bùi Văn Hưng ii LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với GS. Trần Hữu Nghịđã hướng dẫn và tận tình giúp đỡ và cho nhiều chỉ dẫn khoa học có giá trị cũng như thường xuyên động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các chuyên gia trong và ngoài trường Đại học Dân lập Hải phòng đã tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các cán bộ, giáo viên của Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học và Sau đại học- trường Đại học Dân lập Hải phòng, và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả luận văn Bùi Văn Hưng iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN . iii MỤC LỤC . iv MỞ ĐẦU .BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀCÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI . Phép tính biến phân - Các định nghĩa cơ bản và phương trình Euler . Cực trị của phiếm hàm, phương trình Euler. Bài toán cực trị có điều kiện - phương pháp thừa số Lagrange . Phương pháp trực tiếp trong bài toán biến phân - phương pháp sai phân hữu hạn [ 13] . Bài toán cơ học kết cấu . Các phương pháp giải hiện nay . Phương pháp lực . Phương pháp chuyển vị . Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp . Phương pháp sai phân hữu hạn . Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân .PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠNĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN . PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN . Hàm nội suy của phần tử. Ma trận độ cứng của phần tử. Ma trận độ cứng tổng thể . Xét điều kiện ngoại lực . Xác định nội lực .PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN. Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng . Dầm chịu uốn ngang phẳng .Giải bài toán dầm liên tục bằng phương pháp phần tử hữu hạn .Tính toán dầm liên tục . 31 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . 58 Danh mục tài liệu tham khảo . 59 v MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây dựng theo bốn đường lối đó là: Xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng dựa trên ý tưởng rời rạc hóa công trình thành những phần tử nhỏ. Các phần tử nhỏ được nối lại với nhau thông qua các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục. Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này theoba mô hình gồm:Mô hình chuyển vị, xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử; Mô hình cân bằng,hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử và mô hình hỗn hợp, coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạntheo mô hình chuyển vị để xây dựng và giải bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng tĩnhphân bố đều. Mục đích nghiên cứu của đề tài "Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều" 1 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn đối với dầm chịu uốn 3. Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, và áp dụng Phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầmliên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnhphân bố đều. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này, trước tiên trình bày các vấn đề về phép tính biến phân, ở đây chỉ trình bày các khái niệm cơ bản; phương trình EuLer và bài toán cực trị có ràng buộc (phương pháp thừa số lagrange). Đây là những vấn đề cần thiết đối với các bài toán cơ học. Sau đó giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Phép tính biến phân - Các định nghĩa cơ bản và phương trình Euler 1.Các định nghĩa  Biến phân y của hàm y(x) của biến độc lập x là một hàm của x được xác định tại mỗi giá trị của x và bằng hiệu của một hàm mới Y(x) và hàm đã có y(x):  y  Y ( x)  y ( x) . y gây ra sự thay đổi quan hệ hàm giữa y và x và không được nhầm lẫn với số gia y khi có số gia x.  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),. yn ( x); x  thì số gia của hàm đó khi có các biến phân  yi của các hàm yi được viết như sau: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.2) dx dx  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),. y, n ( x); x  thì gia số của nó tương ứng với các biến phân  yi là: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.3) 3  Nếu hàm F có đạo hàm riêng liên tục bậc 2 thì số gia của nó được xác định theo (1.3) có thể viết dưới dạng chuỗi Tay-lo như sau: n F F ' 1 n n  2 F 2 F 2 F F    yi   yi    yi yk   y  y '   yi' yk  R   2  i 1 yi y 'i 2 i 1 k 1 yi yk yi yk yi yk ' i k ' (1.4) R   2  là đại lượng vô cùng bé bậc cao với    y12   y '12   y22   y '22  .5) Tổng đầu tiên trong (1.4) tương ứng với bậc một của  yi và  y 'i được gọi là biến phân bậc một của hàm F có ký hiệu F, tổng thứ hai tương ứng với tích của chúng và bằng một nửa biến phân bậc hai  2 F của F. Cực trị của phiếm hàm, phương trình Euler. Phiếm hàm I có cực tiểu (địa phương ) đối với hàm y(x) hoặc hệ hàm yi(x) nếu như tồn tại số dương  để số gia Z.7) x1 x1 Đối với tất cả các biến phân  y hoặc tất cả hệ biến phân  yi thỏa mãn điều kiện 0   yi2   y 'i2   hoặc 0   y12   y '12   y22   y '22  . 4 Cực đại (địa phương) của Z khi Z < 0. Có hai phương pháp để tìm cực trị của(1.6): Giải trực tiếp trên phiếm hàm hoặc đưa phiếm hàm về phương trình vi phân. Khi đưa phiếm hàm (1.6a) về phương trình vi phân thì từ (1.4) ta có điều kiện cần để phiếm hàm có cực trị là: x2  I    F ( y, y ', x)dx  0 (a) x1 Với  I là biến phân bậc nhất xác định theo (1.4): x2  F F   I     y   y '  dx  0 (b) x 1  y y '  Tích phân từng phần biểu thức (b) ta sẽ có: x F 2 x2 F d  F  I  y      ydx  0 (c) y ' x1 x1 y dx  y '  Khi các điểm biên là cố định thì số hạng thứ nhất của (c) bằng không x2 F y 0 y x1 Và do  y tùy ý cho nên từ (c) suy ra điều kiện cần để phiếm hàm (1.6a) đạt cực trị là: F d  F    0 (1.8) y dx  y '  Phương trình (1.8) được gọi là phương trình Euler của phiếm hàm (1. Trong một số tài liệu, phương trình Euler thường được suy ra từ bổ đề sau: Bổ đề: Cho phiếm hàm tuyến tính trong không gian D1 (Gồm các hàm xác định được trên đoạn [x1,x2] liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của nó). x2 Nếu  a  x   y( x)  b( x) y '( x)  dx  0 x1 5 Với mọi hàm  y  D1 sao cho  y( x1 )   y( x2 )  0 thì b(x) vi phân được và a(x) - b’(x)=0 Như vậy, bài toán tìm cực trị của phiếm hàm(1.6a) dẫn về giải phương trình (1.8) với các điều kiện biên đã cho. Khi phiếm hàm (1.6b) có hệ hàm yi(i=1.n) cần tìm thì ứng với mỗi yi sẽ có một phương trình Euler dạng (1. Trong trường hợp giá trị của hàm y tại x1 hoặc x2 hoặc tại cả hai cận x1 và x2không xác định (trường hợp các biên di động) thì ứng với mỗi trường hợp như vậy, ngoài phương trình Euler (1.8) còn phải xét thêm các điều kiện biên. Trong trường hợp hàm F dưới dấu tích phân chứa các đạo hàm cấp cao x2 I   F  y1 , y2 ,.9) x1 thì sử dụng biến phân bậc nhất của F:  F F F   F  i 1   yi   yi '  yi '' .