Chương 1, các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng nói chung và các phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor nói riêng đã và đang được nghiên cứu sâu rộng bởi các nhà khoa học trong và ngoài nước với nhiều kết quả đạt được liên quan đến sự tổn tại nghiệm và các tính chất thú vị của nghiệm. Luận án này trình bày những kết quả của chúng tôi trong việc nghiên cứu một số bài toán biên cho phương trình và hệ phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Balakrishnan-Taylor. Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan về những nội dung có trong luận án. Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng Balakrishnan-Taylor trong miền một chiều tụ — AM — ấy [pe (x tata (at), a(t) ee) 12) s] + [sit — $)Uxx(s)ds (2.2) hoặc điều kiện biên Robin-Dirichlet thuần nhất ux(0,t) — hu(0,t) = u(1,t) =0, (2.3) va diéu kién dau u(x,0) = fio(x), w;(x,0) = (x), (2.4) trong đó /, f, 8, io, ñ là các hàm cho trước; A > 0,h > 0 là các hằng số cho trước và a(-,-) là một dang song tuyến tính đối xứng trên H! x HỶ được xác định bởi “1 2 a(u,v) = [ ux(x)0x(x)dz + hu(0)ø(0), ||u(f)||§ = a(u,u), Vu, o € HÌ.5) 1 Phuong trinh chứa các số hạng dang Kirchhoff ||ux(£) ||? = | u2(x,t)dx va Carrier 0 \ju(t) |? = | u*(x,t)dx nên được gọi là phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier.
Hon 0 nữa, số hạng (ux(t),Uxt(t)) = [sứ t)ux¡(x,t)dx xuất hiện ở dang song tuyến tính a (u(f),;(£)) chứa trong các hàm phi tuyến „ ƒ được gọi là số hang Balakrishnan- Taylor [2]. Phuong trinh có thể được coi là một dang tổng quát của các phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng tắt dần Balakrishnan-Taylor. Trong một số trường hợp đơn giản hơn, nó được đưa về các phương trình sóng phi tuyến đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Chẳng hạn, một trong những kết quả cổ điển nhất được nghiên cứu bởi DAIembert, xuất phát từ việc khảo sát các dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu có định, tác giả đã thiết lập mô hình toán học như sau Ou s0 u O° ax’ (2.6) trong đó c? là một hang số dương, u(x,t) là độ lệch của sợi dây so với vi trí cân bằng tại điểm x và ở thời điểm t.
Một phương trình khác dưới đây tổng quát hơn đã được thiết lập bởi Kirchhoff [59] vào năm 1876 OU O`“ t tx) ox2’ 8) 2 (2.7) 2 au Eh rL 3H ou 2L Jo ox trong đó u là độ lệch của sợi dây so với vị tri cân bằng, L là chiều đài sợi dây, h điện tích thiết diện, E là module Young của vật liệu cấu tạo sợi dây, ø là khối lượng riêng, và Po là lực căng ban đầu. Phương trình này là nới rộng của phương trình sóng cổ điển DAlembert mà có xem xét đến ảnh hưởng của sự biến đổi chiều dài của sợi dây trong quá trình đao động. Năm 1945, khi mô tả dao động của một sợi dây đàn hồi có kể đến lực căng có thay đổi nhỏ, Carrier thiết lập phương trình dạng 3*u L 3*u Mô hình mở rộng phương trình sóng kiểu Carrier được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác nhau, chẳng han trong các công trình [40], [55]-[54]. Trong [40], Larkin đã xem xét sự tồn tại nghiệm toàn cục, chính quy hoá nghiệm và sử dụng bat đẳng thức Nakao 5 chứng minh tinh tắt dan mũ của nghiệm đối với phương trình dang un — M (x, t, || (ĐI) Au +g(x,t,u) =f (x,t), (x,t)eQOxR,, @9) với O C RN là miền bị chặn có biên đủ trơn và điều kiện biên Dirichlet.
Tiếp nối các kết quả cổ điển trên, cho đến nay các bài toán liên quan đến phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier liên kết với các điều kiện biên và điều kiện đầu khác nhau vẫn được nghiên cứu rất rộng rãi bởi nhiều nhà toán học khác nhau. Các bài toán biên này xuất hiện trong các mô hình mô tả các hiện tượng trong Cơ học, Vật lý như: mô tả đao động của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bể mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn hồi nhớt, hoặc mô tả sự lan truyền của sóng điện từ cao tần số trong môi trường điện môi phi tuyến. Một số kết quả nghiên cứu liên quan có thể được sơ lượt như sau. Khi A = 0 va không có số hạng Balakrishnan-Taylor (x(£),„;(f)), phương trình cũng là một phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier.
Chúng ta có thể tìm thấy nhiều công trình nghiên cứu, chẳng hạn như [8]-[12], [16], [20], [28]-[29], [35], [38], [44], [48]- [50], [52], [55], [58], [61], [63], [65], [68], [72]-174J, [771 [81]- [83], [90]-[91], [94] và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong các công trình này, nhiều kết quả liên quan đến sự ton tại nghiệm địa phương, ton tại nghiệm toàn cục, khai triển tiệm cận nghiệm, dáng điệu tiệm cận của nghiệm, tính tắt dần của nghiệm, tính bùng nổ của nghiệm đã được nghiên cứu. Chúng ta có thể nêu ra một số công trình tiêu biểu như sau. Các tác giả chứng minh sự tổn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán mà không cần giả sử dữ kiện đầu đủ nhỏ.
Hơn nữa, tuỳ theo điều kiện thích hợp của hàm g, tính chất tắt dan mũ hoặc tắt dan đa thức của nghiệm cũng được thiết lập. Nhờ phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, Kim và Jung đã thiết lập sự tổn tại toàn cục và tính duy nhất nghiệm của một phương trình kiểu Kirchhoff phi tuyến tie — A(x)B (lu( \°) Uxx + Ku + Aup + uxt = 0, (x,t) € (0,1) x (0,7), a(0)ux (0,t) —hou(0,t) = a(1)uy (1,t) + hyu(1,t) = 0, t € (0,T), (2.11) u(x,0) = uo(x), ;(x,0) = uy (x), x € (0,1), trong đó K, 7, ho và hy là các hằng số không âm; A và T là các hằng số dương cho trước; Uo, Uy, a(x) và B, là các hàm cho trước. Hơn nữa, năng lượng tắt dần của các nghiệm và một số mô phỏng số cũng đã được nghiên cứu. Năm 2011, Triết và các cộng sự đã xét phương trình kiểu Kirchhoff-Carrier sau Ute — 2 B(x, t,u, \|20||7, ex |? )ue| = ƒ(x,t,m,ux,u;), <x<1,t>0, (2.12) trong đó B, ƒ là các hàm cho trước.
Với điều kiện biên Robin và các dữ kiện đầu phù hợp, các tác giả đã chứng minh sự tổn tại và duy nhất nghiệm địa phương. Hơn nữa, việc khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo nhiều tham số bé của nghiệm yếu cũng được khảo sát. Trong [90], Yang và Gong đã xem xét phương trình sóng dạng Kirchhoff có chứa số hạng đàn hồi nhớt t un — M (IY+I?) Au +Í g(t—s)Au(s)ds + u = |u|?2 u, trongQx Ry, (2.13) với O là miễn bị chặn trong RN, M (s) =a + bs?,a,b > 0,7 > 1,p > 2. Các tác giả đã xem xét sự tổn tại nghiệm và thiết lập các điều kiện đủ để chứng minh nghiệm của bài toán bùng nổ ở thời gian hữu hạn với năng lượng ban đầu dương tuỳ ý.
Đối với các mô hình bài toán biên liên quan đến phương trình sóng dạng Kirchhoff có số hạng tắt dần mạnh Au; cũng là chủ dé nghiên cứu dành được nhiều sự quan tâm.14) với O là miền bị chặn trong RN, + > 0,ø > 1. Tổng quát hơn mô hình (2.15) M (Jo |Vu)? dx) 2u Tay 3) = g trêIọ du oO (5 n x (0, +00), u(0) = uo, ;(0) = uy trong O, trong đó M € Cl(R,), M(s) > Ap > 0, Vs > 0; ƒ, @, Uo, Uy là các ham cho trước, © là mở bị chan của RN có biên T = Tạ UT}. Năm 2013, Lin và Li đã sử dụng phương pháp giếng thế để chứng minh bài toán có nghiệm toàn cục và thiết lập tính chất tat dan mũ của nghiệm bài toán biên cho phương trình dạng ur — Au; — M (IYsIf) Au = |u|P? u, trong © x (0,+00), (2.16) với O là miền mở bị chặn cua RN, M(s) = a+bs?, y > 1, B > 2. Nam 2020, Araruna và các cộng su [1] đã chứng minh được sự tôn tai duy nhất nghiệm, và tinh tắt dan của nghiệm của bài toán biên cho phương trình urn — MĨ (IYsI?) Au — Au; + h (u) = ƒ, trong O x (0,-+©), (2.17) trong đó, nghiệm tat dan đa thức khi M (-) > 0, và tat dan mũ khi M (-) > mo > 0.
Ngoài ra, bai toán biên cho phương trình sóng Kirchhoff chứa số hạng dan hồi nhớt có dạng t use — Aur — M (|| Vu”) Au + | g(t—s)Au(s)ds = f(u), xeOQ,t>0, u =0, (x,t) € 9Ö x [0,0), (2.18) u(x,0) = uo (x), up (x,0) = uy (x), x EO, Wu va Tsai đã chứng minh được sự tổn tại nghiệm toàn cục, tat dan, va bùng nổ trong điều kiện dit kiện đầu thích hợp. Các tác giả đã thu được tính bùng nổ của nghiệm địa phương với năng lượng đầu dương đủ bé. Với kết quả tat dan, các tác giả giả sử rang tồn tại một hang số £ > 0: 9’ (t) < —Gg(t), Vt > 0. Khi phuong trinh chứa số hang tat dan Balakrishnan-Taylor (Vu(t), Vur(t)), phương trình gốc của nó ban đầu được dé nghị bởi Balakrishnan va Taylor [2] vào năm 1989.
Họ đã thiết lập một mô hình mới với giảm xóc phi tuyến và phi địa phương trong trường hợp một chiều L 2(N+r) L (2.19) [ UyUypdXx i UxyUxytdX | Uxy =O, J0 0 với u = u(x,t) đại điện cho độ võng ngang của thanh có chiều dài 2L > 0 ở vị trí cân bằng, ọ > 0 là khối lượng riêng, E là mô đun Young, I là mô men quán tính mặt cắt ngang, H là lực dọc trục (lực kéo hoặc độ nén), A là diện tích mặt cắt ngang,c > Ola hệ số giảm chan nhớt, t > 0 là hệ số tat dần Balakrishnan-Taylor, 0 < t<1,0<9 <4 và N € Ñ. Phương trình cũng liên quan đến phương trình dao động của bản và bài toán lan toả được Bass và Zes [3] nghiên cứu. Trong những năm gần đây, việc mở rộng mô hình toán của nó được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn như Boulaaras [4]-[5], Choucha [13]-[15], Feng [22]-[23], Gharabli [26], Gheraibia [27], Ha [30]-{51], Hao [33]-[34], Kang [37], Lee [41]-[42], Liu [46], Mu [57], Park [67], Tatar [Ƒ8]-[7Ø], Tavares [80], Wu [88]-[89],- - -.