I. Hàm số giá trị tuyệt đối và bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Phần này tập trung vào định nghĩa và đặc điểm cơ bản của hàm số giá trị tuyệt đối. Hàm số giá trị tuyệt đối được định nghĩa là y = |f(x)|, trong đó f(x) là một hàm số. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này thường xuất hiện trong các đề thi, đặc biệt là ở mức độ vận dụng cao. Khó khăn chính nằm ở việc xác định miền giá trị của hàm số, do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối. Việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) đòi hỏi việc phân tích hàm f(x) bên trong dấu giá trị tuyệt đối, sau đó xét các trường hợp khác nhau để tìm cực trị của hàm y = |f(x)|. Phương pháp chung là tìm GTLN và GTNN của f(x) trên miền xác định, sau đó suy ra GTLN và GTNN của |f(x)|. Một số bài toán phức tạp hơn sẽ yêu cầu sự kết hợp giữa kỹ thuật khảo sát hàm số và bất đẳng thức để giải quyết. Ví dụ, tìm giá trị lớn nhất của hàm y = |x² - 2x + m| trên đoạn [-1, 2] liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai x² - 2x + m trên đoạn [-1, 2], rồi suy ra giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối.
1.1 Tìm giá trị lớn nhất hàm số
Để tìm giá trị lớn nhất hàm số dạng y = |f(x)|, ta cần xác định GTLN của |f(x)|. Điều này có thể thực hiện bằng cách khảo sát sự biến thiên của hàm f(x) hoặc sử dụng các bất đẳng thức. Nếu f(x) đạt GTLN tại x₀, và f(x₀) ≥ 0, thì GTLN của |f(x)| cũng là f(x₀). Ngược lại, nếu f(x₀) < 0, thì GTLN của |f(x)| là |f(x₀)| = -f(x₀). Nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất trong một miền xác định. Phương pháp phổ biến là khảo sát sự biến thiên của hàm số trên miền đó. Tìm GTLN của hàm số trên một đoạn thường liên quan đến việc so sánh giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị. Các bài toán phức tạp hơn có thể liên quan đến tham số, yêu cầu giải bất phương trình hoặc phương trình để tìm điều kiện của tham số đảm bảo giá trị lớn nhất đạt được.
1.2 Tìm giá trị nhỏ nhất hàm số
Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất hàm số y = |f(x)|, ta cần xác định GTNN của |f(x)|. Vì |f(x)| ≥ 0 với mọi x, nên GTNN của |f(x)| luôn là 0, nếu f(x) = 0 có nghiệm trong miền xác định. Nếu f(x) không có nghiệm bằng 0 trong miền xác định, thì GTNN của |f(x)| là GTNN của |f(x)| trên miền đó. Việc tìm GTNN của |f(x)| cũng có thể đòi hỏi việc khảo sát hàm f(x) và xét dấu của f(x). Tìm GTNN của một hàm số trên một đoạn tương tự như việc tìm GTLN, cần so sánh giá trị hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị. Các bài toán với tham số sẽ đòi hỏi kỹ năng giải bất phương trình hoặc phương trình để tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt GTNN.
II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối
Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho hàm số giá trị tuyệt đối. Một trong những phương pháp cơ bản là khảo sát hàm số. Bằng cách vẽ đồ thị hoặc tìm đạo hàm, ta có thể xác định được các điểm cực trị của hàm số, từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Phương pháp khác là sử dụng bất đẳng thức. Bất đẳng thức tam giác |a + b| ≤ |a| + |b| rất hữu ích trong việc đánh giá giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ngoài ra, việc sử dụng các kỹ thuật biến đổi đại số và bất đẳng thức để đơn giản hóa biểu thức hàm số cũng là một phương pháp hiệu quả. Tùy vào từng bài toán cụ thể, ta có thể lựa chọn phương pháp phù hợp nhất. Một số bài toán phức tạp có thể cần kết hợp nhiều phương pháp để giải quyết.
2.1 Ứng dụng bất đẳng thức
Ứng dụng bất đẳng thức là một phương pháp quan trọng trong việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức tam giác, và nhiều bất đẳng thức khác có thể được sử dụng để đánh giá giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối. Việc khéo léo sử dụng các bất đẳng thức có thể giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra đáp án nhanh chóng. Tuy nhiên, việc lựa chọn bất đẳng thức phù hợp là rất quan trọng. Thường thì ta cần phân tích kỹ biểu thức để xác định bất đẳng thức nào áp dụng được hiệu quả nhất. Một số bài toán đòi hỏi việc chứng minh hoặc biến đổi bất đẳng thức để phù hợp với bài toán.
2.2 Khảo sát hàm số
Khảo sát hàm số là một phương pháp hiệu quả để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối. Việc khảo sát hàm số bao gồm tìm tập xác định, tìm đạo hàm, tìm các điểm cực trị, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Từ bảng biến thiên, ta có thể xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định. Đối với hàm số giá trị tuyệt đối, việc khảo sát cần chú ý đến các điểm mà hàm số bên trong dấu giá trị tuyệt đối đổi dấu. Tại các điểm này, hàm số có thể không có đạo hàm, và ta cần xét riêng từng trường hợp. Phương pháp này đặc biệt hữu ích khi hàm số phức tạp và khó áp dụng các bất đẳng thức.
III. Bài tập và ví dụ minh họa
Phần này trình bày một số bài tập và ví dụ minh họa để giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách áp dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số giá trị tuyệt đối. Các ví dụ được lựa chọn từ các đề thi đại học và các cuộc thi toán học. Mỗi ví dụ đều được giải chi tiết, trình bày rõ ràng từng bước giải và lý luận. Việc giải các bài tập sẽ giúp củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán. Ngoài ra, người đọc có thể tự đặt ra các bài tập tương tự để luyện tập thêm.
3.1 Ví dụ về tìm GTLN
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = |x² - 4x + 3| trên đoạn [0, 3]. Giải: Đầu tiên, khảo sát hàm số f(x) = x² - 4x + 3. Ta tìm được đỉnh của parabol là (2, -1). Trên đoạn [0, 3], f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 0, f(0) = 3 và giá trị nhỏ nhất tại x = 2, f(2) = -1. Do đó, giá trị lớn nhất của |f(x)| trên [0, 3] là |f(0)| = 3.
3.2 Ví dụ về tìm GTNN
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x² - 4x + 5| trên đoạn [0, 4]. Giải: Khảo sát hàm số f(x) = x² - 4x + 5 = (x - 2)² + 1. Ta thấy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2, f(2) = 1. Vì f(x) > 0 với mọi x, nên giá trị nhỏ nhất của |f(x)| trên đoạn [0, 4] là |f(2)| = 1.
