I. Tổng quan các vấn đề nghiên cứu
Luận án nghiên cứu ba vấn đề xoay quanh sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và các chuỗi lũy thừa hình thức. Đầu tiên, định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều được trình bày. Định lý này khẳng định rằng nếu một dãy hàm hội tụ điểm trên một tập con không chứa trong bất kỳ siêu phẳng phức nào, thì dãy này cũng hội tụ đều trên các tập compact của miền xác định. Kết quả này cho thấy tầm quan trọng của tính bị chặn đều trong việc đảm bảo sự hội tụ đều. Thứ hai, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong không gian Cn được nghiên cứu, với các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự hội tụ tuyệt đối. Cuối cùng, sự hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn được phân tích, với các điều kiện cho sự hội tụ nhanh và hội tụ có trọng. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong giải tích phức.
1.1 Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều
Định lý Vitali khẳng định rằng nếu một dãy hàm chỉnh hình bị chặn đều và hội tụ điểm trên một tập con lớn, thì dãy này cũng hội tụ đều trên các tập compact. Kết quả này được mở rộng cho các trường hợp không cần tính bị chặn đều, nhờ vào các kết quả của Gonchar và Bloom. Gonchar đã chứng minh rằng nếu một dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh theo độ đo trên một tập mở, thì nó cũng hội tụ nhanh trên toàn miền. Điều này cho thấy rằng tốc độ hội tụ có thể thay thế cho tính bị chặn đều trong một số trường hợp nhất định. Kết quả này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ của các dãy hàm trong không gian phức.
1.2 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn
Nghiên cứu về chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn cho thấy rằng để một chuỗi hội tụ, cần có các điều kiện nhất định liên quan đến các đường thẳng phức đi qua điểm gốc. Kết quả của Molzon và Levenberg chỉ ra rằng nếu hạn chế của một hàm trên một số đường thẳng hội tụ, thì hàm đó sẽ biểu diễn một hàm chỉnh hình trong lân cận của điểm gốc. Kết quả này được mở rộng trong luận án, cho thấy rằng nếu một dãy chuỗi lũy thừa hội tụ trên các đường thẳng, thì nó cũng hội tụ trên một hình cầu trong Cn. Điều này không chỉ khẳng định tính chất của các hàm chỉnh hình mà còn cung cấp các công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến hội tụ trong không gian phức.
1.3 Hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn
Sự hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn được phân tích với các điều kiện cho sự hội tụ nhanh và hội tụ có trọng. Định lý cổ điển của Vitali cho thấy rằng nếu một dãy hàm hữu tỷ hội tụ điểm tới một hàm chỉnh hình trên một tập con không rỗng, thì dãy này cũng hội tụ đều trên các tập compact của miền xác định. Luận án mở rộng các kết quả này bằng cách thay thế sự hội tụ nhanh bằng sự hội tụ có trọng, cho thấy rằng các điều kiện này có thể được áp dụng trong nhiều trường hợp khác nhau. Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong giải tích phức.
II. Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều
Định lý hội tụ kiểu Vitali là một trong những kết quả quan trọng trong lý thuyết hội tụ của các hàm chỉnh hình. Định lý này khẳng định rằng nếu một dãy hàm hội tụ điểm trên một tập con lớn và bị chặn đều, thì dãy này cũng hội tụ đều trên các tập compact. Kết quả này được chứng minh bằng cách sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết đa thế vị, cho thấy rằng tính bị chặn đều là điều kiện cần thiết cho sự hội tụ đều. Tuy nhiên, nghiên cứu cũng chỉ ra rằng trong một số trường hợp, tốc độ hội tụ có thể thay thế cho tính bị chặn đều. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ của các dãy hàm trong không gian phức.
2.1 Một số kết quả bổ trợ
Các kết quả bổ trợ cho định lý hội tụ kiểu Vitali bao gồm các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ nhanh và hội tụ đều. Những kết quả này cho thấy rằng nếu một dãy hàm hội tụ nhanh theo độ đo trên một tập mở, thì nó cũng hội tụ nhanh trên toàn miền. Điều này cho thấy rằng tốc độ hội tụ có thể thay thế cho tính bị chặn đều trong một số trường hợp nhất định. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong giải tích phức.
2.2 Hội tụ nhanh của các hàm chỉnh hình và các hàm hữu tỉ
Hội tụ nhanh của các hàm chỉnh hình và các hàm hữu tỷ là một vấn đề quan trọng trong nghiên cứu hội tụ. Các kết quả cho thấy rằng nếu một dãy hàm hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con Borel không đa cực, thì dãy này cũng hội tụ nhanh trên toàn miền. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ của các dãy hàm trong không gian phức.
2.3 Một ví dụ về hội tụ nhanh của hàm hữu tỷ
Một ví dụ cụ thể về hội tụ nhanh của hàm hữu tỷ cho thấy rằng nếu một dãy hàm hội tụ điểm nhanh tới một hàm chỉnh hình bị chặn, thì dãy này cũng hội tụ nhanh trên các tập compact. Kết quả này không chỉ khẳng định tính chất của các hàm chỉnh hình mà còn cung cấp các công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến hội tụ trong không gian phức.
III. Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn
Nghiên cứu về chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn cho thấy rằng để một chuỗi hội tụ, cần có các điều kiện nhất định liên quan đến các đường thẳng phức đi qua điểm gốc. Kết quả của Molzon và Levenberg chỉ ra rằng nếu hạn chế của một hàm trên một số đường thẳng hội tụ, thì hàm đó sẽ biểu diễn một hàm chỉnh hình trong lân cận của điểm gốc. Kết quả này được mở rộng trong luận án, cho thấy rằng nếu một dãy chuỗi lũy thừa hội tụ trên các đường thẳng, thì nó cũng hội tụ trên một hình cầu trong Cn. Điều này không chỉ khẳng định tính chất của các hàm chỉnh hình mà còn cung cấp các công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến hội tụ trong không gian phức.
3.1 Một số kiến thức cơ sở
Các kiến thức cơ sở về chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn bao gồm các định nghĩa và tính chất cơ bản của các hàm chỉnh hình. Những kiến thức này là nền tảng cho việc nghiên cứu các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong giải tích phức.
3.2 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức
Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức là một vấn đề quan trọng trong nghiên cứu hội tụ. Các kết quả cho thấy rằng nếu một dãy chuỗi lũy thừa hội tụ trên các đường thẳng, thì nó cũng hội tụ trên một hình cầu trong Cn. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ của các dãy hàm trong không gian phức.
IV. Hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn
Sự hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn được phân tích với các điều kiện cho sự hội tụ nhanh và hội tụ có trọng. Định lý cổ điển của Vitali cho thấy rằng nếu một dãy hàm hữu tỷ hội tụ điểm tới một hàm chỉnh hình trên một tập con không rỗng, thì dãy này cũng hội tụ đều trên các tập compact của miền xác định. Luận án mở rộng các kết quả này bằng cách thay thế sự hội tụ nhanh bằng sự hội tụ có trọng, cho thấy rằng các điều kiện này có thể được áp dụng trong nhiều trường hợp khác nhau. Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong giải tích phức.
4.1 Một số kết quả bổ trợ
Các kết quả bổ trợ cho sự hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ bao gồm các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ nhanh và hội tụ đều. Những kết quả này cho thấy rằng nếu một dãy hàm hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con Borel không đa cực, thì dãy này cũng hội tụ nhanh trên toàn miền. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc tìm hiểu các điều kiện cần thiết cho sự hội tụ của các dãy hàm trong không gian phức.
4.2 Hội tụ có trọng của các hàm hữu tỷ
Hội tụ có trọng của hàm hữu tỷ là một vấn đề quan trọng trong nghiên cứu hội tụ. Các kết quả cho thấy rằng nếu một dãy hàm hội tụ có trọng tới một hàm chỉnh hình trên một tập con không rỗng, thì dãy này cũng hội tụ đều trên các tập compact của miền xác định. Kết quả này không chỉ khẳng định tính chất của các hàm chỉnh hình mà còn cung cấp các công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến hội tụ trong không gian phức.
