I. Giới thiệu
Nghiên cứu về đa thức cực tiểu của hàm cos 2π trên n đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Đặc biệt, hàm cos 2π/n là nghiệm của một đa thức chia đường tròn, do đó nó là một số đại số. Việc tìm đa thức cực tiểu Ψn(x) của cos 2π/n là một câu hỏi tự nhiên. Nghiên cứu đầu tiên về vấn đề này được thực hiện bởi D. Lehmer vào năm 1933, người đã đưa ra phương pháp xây dựng các đa thức Ψn(x) từ các đa thức chia đường tròn. Các nghiên cứu tiếp theo, như của Zeitlin và McCombs, đã mở rộng và chứng minh lại các kết quả này bằng những phương pháp khác nhau. Đặc biệt, De Angelis đã đưa ra công thức cho đa thức cực tiểu của cos 2π/p với p là số nguyên tố. Các nghiên cứu gần đây đã tập trung vào việc tìm công thức tính trực tiếp các hệ số của đa thức cực tiểu Ψn(x). Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Ψn(x) của cos 2π/n với các đa thức Chebyshev.
II. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về đa thức Chebyshev và đa thức chia đường tròn. Đa thức Chebyshev được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết gần đúng. Các đa thức Chebyshev loại I và loại II được định nghĩa bằng quy nạp và có những tính chất đặc trưng. Một trong những tính chất quan trọng là Tn(cos α) = cos(nα), cho thấy mối liên hệ giữa đa thức Chebyshev và hàm cos. Ngoài ra, chương này cũng nhấn mạnh rằng mọi đa thức chia đường tròn đều có hệ số nguyên và có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các đa thức Chebyshev. Kết quả này sẽ được sử dụng trong các chương sau để phân tích mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Ψn(x) và các đa thức Chebyshev.
III. Đa thức cực tiểu của cos 2π n
Trong phần này, khái niệm về đa thức cực tiểu Ψn(x) của cos 2π/n được trình bày. Đa thức cực tiểu là đa thức có bậc nhỏ nhất nhận một phần tử đại số làm nghiệm. Với mỗi số nguyên dương n, cos 2π/n là một số đại số, do đó tồn tại duy nhất một đa thức cực tiểu Ψn(x). Các trường hợp cụ thể cho n = 1, 2, 3, 4, và 6 cho thấy rằng cos 2π/n là các số hữu tỉ, và các đa thức cực tiểu tương ứng là các đa thức bậc nhất. Việc tìm các đa thức cực tiểu Ψn(x) cho các giá trị n lớn hơn là một thách thức, và phương pháp tìm kiếm sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo. Mối liên hệ giữa Ψn(x) và các đa thức Chebyshev sẽ được khai thác để tìm ra các hệ số của đa thức cực tiểu này.
IV. Kết luận
Nghiên cứu về đa thức cực tiểu của hàm cos 2π/n không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực của toán học. Các kết quả từ nghiên cứu này có thể được áp dụng trong lý thuyết số, đại số và phân tích. Việc tìm hiểu mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu và các đa thức Chebyshev mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo. Những kết quả này không chỉ giúp củng cố kiến thức hiện có mà còn tạo ra những công cụ mới cho các nhà toán học trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
