I. Giới thiệu và cơ sở lý thuyết
Luận văn 'Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet' tập trung vào việc nghiên cứu các điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong không gian Fréchet. Các khái niệm cơ bản như không gian Fréchet, hàm chỉnh hình, và tôpô chặn đóng được trình bày chi tiết. Luận văn cũng đề cập đến giá trị Fréchet và các ứng dụng của nó trong phân tích toán học.
1.1. Không gian Fréchet và đối ngẫu
Không gian Fréchet là một không gian lồi địa phương đầy đủ, được định nghĩa thông qua một dãy các nửa chuẩn. Đối ngẫu của không gian Fréchet được nghiên cứu để hiểu rõ hơn về cấu trúc tôpô và tính chất hội tụ. Các khái niệm như tôpô yếu và polar được sử dụng để phân tích các tập hợp trong không gian này.
1.2. Tôpô chặn đóng liên kết
Tôpô chặn đóng liên kết với các không gian định chuẩn được sử dụng để nghiên cứu tính chất hội tụ của các ánh xạ tuyến tính. Các ánh xạ bị chặn địa phương và liên tục được phân tích để xác định điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong không gian Fréchet.
II. Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu chuỗi lũy thừa hình thức với giá trị vô hướng. Các khái niệm như tập đa cực xạ ảnh và sự hội tụ của chuỗi lũy thừa được trình bày chi tiết. Luận văn cũng đề cập đến các kết quả cổ điển của Hartogs và Lelong về tính hội tụ của chuỗi lũy thừa trong không gian phức.
2.1. Tập đa cực xạ ảnh
Tập đa cực xạ ảnh là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức. Các đặc trưng của tập này được phân tích để xác định điều kiện hội tụ của chuỗi lũy thừa trong không gian phức. Các kết quả của Lelong và Sathaye được sử dụng để chứng minh tính chất của tập hội tụ.
2.2. Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức
Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức được nghiên cứu thông qua các bổ đề và định lý cổ điển. Các điều kiện hội tụ được xác định dựa trên tính chất của tập đa cực xạ ảnh và các hàm đa điều hòa dưới. Kết quả của Alexander và Levenberg được sử dụng để chứng minh tính hội tụ đều của chuỗi lũy thừa.
III. Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu chuỗi lũy thừa hình thức với giá trị Fréchet. Các kết quả chính bao gồm bổ đề Hartogs cho hàm đa điều hòa dưới trong không gian vô hạn chiều và sự hội tụ của chuỗi lũy thừa trong không gian Fréchet. Luận văn cũng đề cập đến các ứng dụng của chuỗi lũy thừa hình thức trong nghiên cứu toán học.
3.1. Bổ đề Hartogs cho hàm đa điều hòa dưới
Bổ đề Hartogs là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong không gian vô hạn chiều. Bổ đề này được sử dụng để chứng minh tính hội tụ của chuỗi lũy thừa dựa trên tính chất của các hàm đa điều hòa dưới. Các kết quả của Ma và Neelon được sử dụng để mở rộng bổ đề này trong không gian phức.
3.2. Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet
Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức với giá trị Fréchet được nghiên cứu thông qua các điều kiện hội tụ dựa trên tính chất của không gian Fréchet. Các kết quả của Long và Hưng được sử dụng để chứng minh tính hội tụ đều của chuỗi lũy thừa trong không gian Fréchet. Luận văn cũng đề cập đến các ứng dụng của chuỗi lũy thừa hình thức trong lý thuyết tổ hợp và giải tích thực.
