I. Bài toán Fermat và Giả thuyết Euler
Chương này trình bày lịch sử chứng minh một số trường hợp của Định lý Fermat, kết quả của Euler và Giả thuyết Euler. Định lý cuối cùng của Fermat, phát biểu rằng phương trình xn + yn = zn không có nghiệm nguyên không tầm thường với n ≥ 3, đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học. Năm 1769, Euler đã phát biểu giả thuyết rằng phương trình tương tự không có nghiệm không tầm thường nếu số bậc lớn hơn hoặc bằng số ẩn. Elkies, nghiên cứu sinh của Đại học Harvard, đã đưa ra phản ví dụ cho giả thuyết này với phương trình bậc 4 gồm 4 ẩn. Công trình của Elkies đã mở ra một hướng nghiên cứu mới, liên quan đến việc xét nghiệm của phương trình x4 + y4 + z4 = u4 và các đường cong Elliptic. Mục đích của luận văn là trình bày lịch sử của bài toán Fermat và Giả thuyết Euler, cùng với công trình của Elkies và các kết quả liên quan đến nghiệm nguyên của phương trình Euler.
1.1 Những trường hợp đặc biệt của bài toán Fermat
Nghiên cứu đã chỉ ra rằng phương trình x4 + y4 + z4 + t4 = w2 chỉ có ba nghiệm phụ thuộc tham số. Một số kết quả về phương trình này cho thấy có thể nhận được nhiều vô hạn nghiệm phụ thuộc tham số bằng cách tìm các điểm trên đường cong Elliptic. Jacobi và Madden đã chứng minh sự tồn tại của vô số nghiệm nguyên cho phương trình x4 + y4 + z4 + t4 = (x + y + z + t)4. Elkies đã tìm thấy một tập hợp vô hạn nghiệm nguyên khi t = 0. Nghiệm phụ thuộc tham số đầu tiên được biết là không tầm thường nhưng rất sơ cấp. Các nghiên cứu tiếp theo đã chỉ ra rằng nếu 2 và chỉ 2 trong số x, y, z, t là số không, thì các phương trình không có nghiệm không tầm thường. Các nghiệm phụ thuộc tham số này đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực số học và hình học đại số.
1.2 Giả thuyết Euler
Giả thuyết Euler đã đặt ra một câu hỏi thú vị về tổng của ba luỹ thừa bậc 4. Mặc dù người ta đã chứng minh rằng tổng và hiệu của hai luỹ thừa bậc 4 không thể là một số chính phương, nhưng việc tìm kiếm các nghiệm cho phương trình A4 + B4 = C4 + D4 vẫn là một thách thức. Bốn con số nhỏ nhất thoả mãn yêu cầu này đã được tìm thấy, cho thấy rằng tổng của ba luỹ thừa bậc 4 có thể là một luỹ thừa bậc 4. Điều này mở ra nhiều khả năng nghiên cứu mới trong lý thuyết số và hình học đại số, đồng thời khẳng định rằng các giả thuyết trong toán học thường cần được kiểm chứng qua các ví dụ cụ thể.
II. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Euler
Chương này trình bày kết quả của Elkies và các kết quả liên quan đến nghiệm nguyên của phương trình kiểu Fermat bằng cách đánh giá khoảng trống giữa tổng các căn bậc hai. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng tồn tại vô số nghiệm phụ thuộc tham số cho phương trình x4 + y4 + z4 + t4 = (x2 + y2 + z2 − t2)2. Các nghiệm này được tìm thấy thông qua việc nghiên cứu các đường cong Elliptic trên trường Q(m). Việc áp dụng các phương pháp hình học đại số đã giúp xác định được nhiều nghiệm mới, mở rộng hiểu biết về mối quan hệ giữa các phương trình số học và hình học. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như mã hóa và lý thuyết số.
2.1 Elkies và Giả thuyết Euler
Elkies đã đưa ra phản ví dụ cho Giả thuyết Euler, mở ra một hướng nghiên cứu mới trong việc tìm kiếm nghiệm cho các phương trình bậc cao. Công trình của ông đã chỉ ra rằng có thể tồn tại các nghiệm nguyên cho phương trình bậc 4, điều này đã làm thay đổi cách nhìn nhận về Giả thuyết Euler. Nghiên cứu của Elkies đã khẳng định rằng việc tìm kiếm nghiệm cho các phương trình kiểu Fermat không chỉ đơn thuần là một bài toán lý thuyết mà còn có thể dẫn đến những khám phá mới trong hình học đại số. Các kết quả của Elkies đã được áp dụng để phát triển các phương pháp mới trong việc giải quyết các bài toán số học phức tạp.
2.2 Khoảng trống giữa tổng các căn bậc hai
Nghiên cứu về khoảng trống giữa tổng các căn bậc hai đã chỉ ra rằng có thể tồn tại nhiều nghiệm phụ thuộc tham số cho phương trình x4 + y4 + z4 + t4 = (x2 + y2 + z2 − t2)2. Việc đánh giá khoảng trống này không chỉ giúp xác định các nghiệm mới mà còn mở rộng hiểu biết về mối quan hệ giữa các phương trình số học và hình học. Các kết quả này đã được chứng minh thông qua các phương pháp hình học đại số, cho thấy rằng việc nghiên cứu các đường cong Elliptic có thể dẫn đến những khám phá quan trọng trong lý thuyết số. Điều này khẳng định rằng các phương trình số học không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
