Luận án tiến sĩ: Môđun Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương

Môđun Cohen-Macaulay là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đại số giao hoán. Được định nghĩa cho các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương, môđun này có tính chất đặc biệt liên quan đến độ sâu và chiều của nó. Cụ thể, nếu một môđun M có chiều Krull dim M = d và độ sâu depth M = d, thì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay. Khái niệm này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như hình học đại số và lý thuyết bất biến. Nghiên cứu về môđun Cohen-Macaulay đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là trong việc mở rộng các lớp môđun này. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, nơi mà các điều kiện về hệ tham số được mở rộng để bao gồm nhiều trường hợp hơn.

Quỹ tích không Cohen-Macaulay của một môđun M, ký hiệu là nCM(M), được định nghĩa là tập hợp các iđêan nguyên tố p trong Spec(R) sao cho Mp không phải là môđun Cohen-Macaulay. Tính chất của quỹ tích này rất quan trọng trong việc phân tích cấu trúc của môđun. Trong trường hợp R là thương của một vành Gorenstein địa phương, quỹ tích nCM(M) có thể được mô tả chi tiết hơn. Đặc biệt, nếu M là môđun Cohen-Macaulay, thì nCM(M) sẽ rỗng. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chất Cohen-Macaulay và cấu trúc của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Nghiên cứu về quỹ tích không Cohen-Macaulay không chỉ giúp hiểu rõ hơn về các môđun mà còn mở ra hướng đi mới trong việc phát triển lý thuyết đại số giao hoán.

Môđun chính tắc KM của một môđun M có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các quỹ tích không Cohen-Macaulay. Mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không Cohen-Macaulay của M được thể hiện qua các định lý cấu trúc. Cụ thể, nếu nCM(KM) ⊆ nCM(M), thì hai quỹ tích này thường độc lập với nhau. Điều này có nghĩa là, mặc dù có mối liên hệ bao hàm, nhưng các quỹ tích này có thể có cấu trúc khác nhau. Nghiên cứu này không chỉ làm rõ mối quan hệ giữa các môđun mà còn cung cấp các công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s, từ đó mở rộng khả năng ứng dụng trong các bài toán thực tiễn.

Nghiên cứu về môđun Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương có nhiều ứng dụng thực tiễn trong toán học. Các kết quả thu được từ nghiên cứu này có thể được áp dụng trong lý thuyết hình học đại số, nơi mà các môđun này xuất hiện trong việc phân tích các cấu trúc hình học phức tạp. Hơn nữa, việc hiểu rõ các tính chất của môđun Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay giúp các nhà toán học phát triển các lý thuyết mới và giải quyết các bài toán mở trong lĩnh vực đại số giao hoán. Từ đó, nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn trong việc phát triển các ứng dụng trong khoa học và công nghệ.