Nghiên Cứu Điểm Bất Động Của Ánh Xạ Tăng Trong Không Gian Có Thứ Tự

• Người hướng dẫn: TS. 1
• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Chuyên Ngành
• Đề tài: Nghiên Cứu Điểm Bất Động Của Ánh Xạ Tăng Trong Không Gian Có Thứ Tự
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ

• PHẦN MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
• 1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
• 1.2. Một số kết quả liên quan
• 2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH
• 2.1. Định lý và các tính chất
• 2.2. Chứng minh và ứng dụng
• 3. CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
• 3.1. Không gian vector hữu hạn chiều
• 3.2. Không gian các hàm khả vi liên tục C1 (Ω)
• 4. CHƯƠNG 4: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ NHÓM
• 4.1. Định nghĩa nhóm và các tính chất
• 4.2. Nhóm con, nhóm chuẩn tắc và nhóm thương
• 4.3. Nhóm abel, nhóm xiclíc và các loại nhóm đặc biệt
• 4.4. Nhóm đối xứng và nhóm thay phiên
• 4.5. Độ giao hoán của nhóm
• 5. CHƯƠNG 5: NHÓM NHỊ DIỆN
• 5.1. Định nghĩa và tính chất nhóm nhị diện
• 5.2. Các mệnh đề và định lý liên quan

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Điểm Bất Động và Ánh Xạ Tăng

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự là một lĩnh vực quan trọng trong giải tích hàm và toán học ứng dụng. Các kết quả trong lĩnh vực này có nhiều ứng dụng trong việc giải các phương trình, bất đẳng thức, và các bài toán tối ưu hóa. Bài toán tìm điểm bất động cho một ánh xạ là tìm một điểm mà khi ánh xạ tác động lên điểm đó, nó không thay đổi. Trong không gian có thứ tự, việc nghiên cứu ánh xạ tăng (ánh xạ bảo toàn thứ tự) có ý nghĩa đặc biệt, vì nó liên quan đến cấu trúc thứ tự của không gian. Các định lý điểm bất động như định lý Banach về ánh xạ co là những công cụ mạnh mẽ để chứng minh sự tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm của các bài toán.

1.1. Giới Thiệu Không Gian Có Thứ Tự và Ánh Xạ Tăng

Không gian có thứ tự là một tập hợp mà trên đó có định nghĩa một quan hệ thứ tự, cho phép so sánh các phần tử. Ánh xạ tăng là ánh xạ bảo toàn thứ tự này. Nghiên cứu điểm bất động trong không gian có thứ tự thường sử dụng các tính chất đặc biệt của thứ tự để đưa ra các kết quả mạnh mẽ hơn so với không gian thông thường. Ví dụ, trong không gian lattice đầy đủ, định lý Tarski đảm bảo sự tồn tại của điểm bất động cho ánh xạ tăng.

1.2. Ý Nghĩa của Điểm Bất Động trong Toán Học Ứng Dụng

Điểm bất động có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học ứng dụng, bao gồm kinh tế toán học, lý thuyết trò chơi, và phân tích số. Trong kinh tế toán học, điểm bất động có thể biểu diễn trạng thái cân bằng của thị trường. Trong lý thuyết trò chơi, nó có thể biểu diễn chiến lược Nash. Trong phân tích số, các phương pháp lặp để giải phương trình thường dựa trên việc tìm điểm bất động của một ánh xạ liên quan.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Điểm Bất Động Ánh Xạ Tăng

Việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự đối mặt với nhiều thách thức. Một trong số đó là việc tìm ra các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động. Các điều kiện này thường liên quan đến tính chất của không gian (ví dụ, tính đầy đủ, tính compact) và tính chất của ánh xạ (ví dụ, tính liên tục, tính bị chặn). Một thách thức khác là việc xây dựng các phương pháp lặp hiệu quả để tìm điểm bất động trong thực tế. Các phương pháp lặp này cần đảm bảo tính hội tụ và có tốc độ hội tụ đủ nhanh.

2.1. Điều Kiện Đảm Bảo Tồn Tại và Duy Nhất Nghiệm

Để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động, cần có các điều kiện thích hợp. Ví dụ, định lý Banach yêu cầu ánh xạ phải là ánh xạ co trong không gian Banach. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ánh xạ không phải là ánh xạ co, và cần sử dụng các định lý khác, như định lý Schauder hoặc định lý Tarski, để chứng minh sự tồn tại của điểm bất động.

2.2. Xây Dựng Phương Pháp Lặp Hiệu Quả

Việc xây dựng phương pháp lặp hiệu quả để tìm điểm bất động là một vấn đề quan trọng trong phân tích số. Các phương pháp lặp cần đảm bảo tính hội tụ và có tốc độ hội tụ đủ nhanh. Ngoài ra, cần có các ước lượng sai số để đánh giá độ chính xác của kết quả. Các phương pháp lặp phổ biến bao gồm phương pháp Newton, phương pháp gradient, và phương pháp điểm bất động đơn giản.

III. Phương Pháp Lặp Suy Rộng Nghiên Cứu Điểm Bất Động

Một trong những phương pháp tiếp cận hiệu quả để nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng là sử dụng phương pháp lặp suy rộng. Phương pháp này cho phép xây dựng một dãy các điểm mà hội tụ về điểm bất động mong muốn. Ưu điểm của phương pháp lặp suy rộng là nó có thể áp dụng cho nhiều loại ánh xạ khác nhau, kể cả những ánh xạ không liên tục hoặc không khả vi. Tuy nhiên, việc chứng minh tính hội tụ của phương pháp này có thể gặp nhiều khó khăn.

3.1. Định Nghĩa và Tính Chất của Phương Pháp Lặp Suy Rộng

Phương pháp lặp suy rộng là một kỹ thuật lặp mà tại mỗi bước, điểm mới được tính toán không chỉ dựa trên điểm trước đó mà còn dựa trên một số điểm trước đó nữa. Điều này cho phép phương pháp này có khả năng "nhớ" lịch sử của quá trình lặp, và do đó có thể hội tụ nhanh hơn hoặc trong các trường hợp mà phương pháp lặp đơn giản không hội tụ.

3.2. Chứng Minh Tính Hội Tụ của Phương Pháp Lặp

Việc chứng minh tính hội tụ của phương pháp lặp suy rộng thường đòi hỏi các kỹ thuật phức tạp, chẳng hạn như sử dụng các bất đẳng thức đặc biệt hoặc các định lý về tính đầy đủ của không gian. Cần phải chỉ ra rằng dãy các điểm được tạo ra bởi phương pháp lặp là dãy Cauchy, và do đó hội tụ về một điểm nào đó. Sau đó, cần chứng minh rằng điểm giới hạn này thực sự là điểm bất động của ánh xạ.

IV. Ứng Dụng Điểm Bất Động Ánh Xạ Tăng trong Giải Tích Hàm

Các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích hàm. Chúng được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân, phương trình tích phân, và các bài toán biên. Ngoài ra, chúng còn được sử dụng trong việc nghiên cứu các ánh xạ không giãn và các bài toán tối ưu hóa trong không gian Banach.

4.1. Ứng Dụng trong Phương Trình Vi Phân và Tích Phân

Nhiều bài toán về phương trình vi phân và tích phân có thể được chuyển về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nào đó. Việc áp dụng các định lý điểm bất động cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình này, và đôi khi còn cho phép xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm gần đúng.

4.2. Nghiên Cứu Ánh Xạ Không Giãn và Tối Ưu Hóa

Ánh xạ không giãn là loại ánh xạ mà không làm tăng khoảng cách giữa các điểm. Các định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn có nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa, đặc biệt là trong việc tìm nghiệm của các bài toán tối ưu hóa lồi trong không gian Banach.

V. Kết Luận và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Điểm Bất Động

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự là một lĩnh vực năng động và có nhiều tiềm năng phát triển. Các hướng nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ rộng hơn, xây dựng các phương pháp lặp hiệu quả hơn, và tìm kiếm các ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học.

5.1. Mở Rộng Định Lý Điểm Bất Động cho Lớp Ánh Xạ Rộng Hơn

Một hướng nghiên cứu quan trọng là mở rộng các định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ rộng hơn, chẳng hạn như các ánh xạ đa trị hoặc các ánh xạ không liên tục. Điều này đòi hỏi việc phát triển các kỹ thuật chứng minh mới và sử dụng các công cụ mạnh mẽ hơn từ giải tích hàm.

5.2. Tìm Kiếm Ứng Dụng Mới trong Các Lĩnh Vực Khác

Các kết quả về điểm bất động có thể có nhiều ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật, chẳng hạn như lý thuyết điều khiển, mạng nơ-ron, và xử lý ảnh. Việc tìm kiếm và khai thác các ứng dụng này là một hướng nghiên cứu đầy hứa hẹn.

Tổng quan nghiên cứu

Nghiên cứu về phương pháp lặp suy rộng trong không gian các hàm khả tích và ứng dụng vào điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng và lý thuyết điều khiển. Theo ước tính, các bài toán liên quan đến chuỗi Fourier và các không gian hàm như (L^p(\Omega)), (C_0^c(\Omega)), và không gian Banach vô hạn chiều đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán về dao động, truyền nhiệt và các hệ thống động lực phức tạp. Mục tiêu nghiên cứu là phát triển và chứng minh các định lý liên quan đến tính tách được của các không gian hàm, đồng thời áp dụng phương pháp lặp suy rộng để tìm điểm bất động của ánh xạ tăng trong các không gian có cấu trúc thứ tự phức tạp.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các không gian hàm khả tích trên tập mở (\Omega \subset \mathbb{R}^n), với các trường hợp (1 \leq p < \infty), đồng thời khảo sát các tính chất của các nhóm toán học liên quan như nhóm nhị diện, nhóm đối xứng và nhóm thay phiên. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các công cụ toán học mạnh mẽ để giải quyết các bài toán thực tiễn trong vật lý toán, lý thuyết nhóm, và phân tích hàm, góp phần nâng cao hiệu quả của các phương pháp số và lý thuyết trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên hai khung lý thuyết chính: lý thuyết không gian hàm và lý thuyết nhóm đại số.

1. Lý thuyết không gian hàm:

   • Không gian (L^p(\Omega)) với (1 \leq p < \infty) được chứng minh là tách được, trong khi không gian (L^\infty(\Omega)) không tách được.
   • Định lý Urysohn và định lý Lusin được sử dụng để xây dựng các hàm liên tục có hỗ trợ compact gần đúng các hàm đo được, từ đó chứng minh tính tách được của không gian (C_0^c(\Omega)).
   • Không gian (C^1(\Omega)) được khảo sát với chuẩn ( |f|{C^1} = \max{|\alpha| \leq 1} |D^\alpha f|_\infty ), được chứng minh là không gian Banach vô hạn chiều nhưng không phải là không gian Hilbert.

2. Lý thuyết nhóm đại số:

   • Các khái niệm về nhóm, nhóm con, nhóm giao hoán, nhóm nhị diện (D_n), nhóm đối xứng (S_n) và nhóm thay phiên (A_n) được sử dụng để phân tích cấu trúc nhóm và tính chất độ giao hoán tương đối (Pr(G)).
   • Các mệnh đề và định lý liên quan đến độ giao hoán tương đối của nhóm con trong nhóm nhị diện và nhóm đối xứng được áp dụng để tính toán cụ thể các giá trị (Pr(H, G)) với các nhóm con (H) khác nhau.
   • Định nghĩa và tính chất của vành, ideal, và đồng cấu vành cũng được sử dụng để mở rộng nghiên cứu về cấu trúc đại số của các đối tượng liên quan.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích lý thuyết kết hợp với chứng minh toán học chặt chẽ:

• Nguồn dữ liệu: Các định nghĩa, định lý, mệnh đề và bài tập được trích xuất từ các tài liệu toán học chuyên sâu về giải tích hàm, đại số trừu tượng và lý thuyết nhóm.
• Phương pháp phân tích:
  • Áp dụng các định lý cơ bản như định lý Arzelà-Ascoli, định lý Lusin, và định lý Urysohn để chứng minh tính chất tách được của các không gian hàm.
  • Sử dụng các phép tính tổ hợp và đại số nhóm để xác định độ giao hoán tương đối của các nhóm con trong nhóm nhị diện và nhóm đối xứng.
  • Phân tích cấu trúc vành và ideal để khảo sát các tính chất của căn Jacobson và toán tử (\Delta) trong vành.
• Timeline nghiên cứu:
  • Giai đoạn 1: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức nền tảng về không gian hàm và lý thuyết nhóm (khoảng 3 tháng).
  • Giai đoạn 2: Phát triển và chứng minh các định lý liên quan đến tính tách được và độ giao hoán tương đối (khoảng 6 tháng).
  • Giai đoạn 3: Ứng dụng phương pháp lặp suy rộng để tìm điểm bất động và hoàn thiện luận văn (khoảng 3 tháng).

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Tính tách được của không gian (L^p(\Omega)) và (C_0^c(\Omega)):

   • Đã chứng minh rằng không gian (L^p(\Omega)) là tách được với mọi (1 \leq p < \infty), trong khi (L^\infty(\Omega)) không tách được.
   • Không gian (C_0^c(\Omega)) là không gian tách được và đếm được, có thể xấp xỉ tốt các hàm trong (L^p(\Omega)) với sai số nhỏ hơn bất kỳ (\varepsilon > 0).
   • Ví dụ minh họa: Hàm đơn giản đo được có thể được xấp xỉ bởi hàm liên tục có hỗ trợ compact với sai số (< \varepsilon) trong chuẩn (L^p).

2. Độ giao hoán tương đối của nhóm con trong nhóm nhị diện (D_n):

   • Công thức tổng quát cho (Pr(H, D_n)) được xác định rõ ràng với các trường hợp (H = R_k), (H = T_l), và (H = U_{i,j}).
   • Ví dụ cụ thể: Với (D_4), các giá trị (Pr(R_1, D_4) = \frac{3}{8}), (Pr(R_2, D_4) = 1), (Pr(U_{2,0}, D_4) = \frac{7}{16}) được tính chính xác.
   • Kết quả này cho thấy sự khác biệt rõ rệt về độ giao hoán tương đối giữa các nhóm con khác nhau, phản ánh cấu trúc đại số phức tạp của nhóm nhị diện.

3. Tính chất của nhóm đối xứng (S_n) và nhóm thay phiên (A_n):

   • Độ giao hoán tương đối (Pr(A_n, S_n) = \frac{2c(n)}{n!}), trong đó (c(n)) là số lớp liên hợp của (S_n) nằm trong (A_n).
   • Bằng cách liệt kê các phân hoạch của (n), các giá trị cụ thể của (Pr(A_n, S_n)) với (2 \leq n \leq 7) được xác định, ví dụ (Pr(A_7, S_7) = \frac{315}{5040}).
   • Điều này cung cấp một công cụ để phân tích sâu hơn về cấu trúc nhóm đối xứng và các nhóm con liên quan.

4. Phương pháp lặp suy rộng và ứng dụng vào điểm bất động:

   • Phương pháp lặp suy rộng được phát triển dựa trên các tính chất của không gian hàm và nhóm, cho phép tìm điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự.
   • Kết quả cho thấy sự hội tụ đồng đều của dãy xấp xỉ đến nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu, với ước lượng sai số cụ thể theo chuẩn (|\cdot|_\infty).
   • Ví dụ: Giải pháp của phương trình vi phân (x' = 3t^2 x) với điều kiện ban đầu (x(0) = 1) được biểu diễn dưới dạng chuỗi hội tụ nhanh.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên được củng cố bởi các định lý nền tảng trong giải tích hàm và đại số nhóm. Tính tách được của không gian (L^p(\Omega)) và (C_0^c(\Omega)) là cơ sở quan trọng để áp dụng các phương pháp xấp xỉ và lặp trong phân tích số. So sánh với các nghiên cứu trước đây, kết quả về độ giao hoán tương đối của nhóm nhị diện và nhóm đối xứng mở rộng hiểu biết về cấu trúc nhóm, đồng thời cung cấp các công thức tính toán chính xác hơn.

Việc chứng minh tính liên tục và hội tụ của các giải pháp trong phương pháp lặp suy rộng có ý nghĩa thực tiễn lớn trong việc giải các bài toán vi phân và điểm bất động trong không gian vô hạn chiều. Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ hội tụ của dãy xấp xỉ hoặc bảng so sánh giá trị (Pr(H, G)) giữa các nhóm con khác nhau, giúp minh họa trực quan các phát hiện.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các thuật toán số dựa trên phương pháp lặp suy rộng

   • Mục tiêu: Tăng tốc độ hội tụ và độ chính xác trong việc tìm điểm bất động.
   • Thời gian thực hiện: 6-12 tháng.
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà nghiên cứu toán học ứng dụng và kỹ sư phần mềm.

2. Mở rộng nghiên cứu sang các không gian hàm vô hạn chiều khác

   • Mục tiêu: Khảo sát tính tách được và các tính chất liên quan trong các không gian Sobolev hoặc Besov.
   • Thời gian thực hiện: 12 tháng.
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà toán học chuyên sâu về giải tích hàm.

3. Ứng dụng kết quả vào mô hình vật lý và kỹ thuật

   • Mục tiêu: Áp dụng phương pháp lặp suy rộng để giải các bài toán truyền nhiệt, dao động trong kỹ thuật cơ khí và điện tử.
   • Thời gian thực hiện: 9 tháng.
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà khoa học vật liệu, kỹ sư cơ khí.

4. Xây dựng phần mềm hỗ trợ tính toán độ giao hoán tương đối của nhóm

   • Mục tiêu: Tự động hóa việc tính toán và phân tích cấu trúc nhóm phức tạp.
   • Thời gian thực hiện: 6 tháng.
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà phát triển phần mềm toán học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học ứng dụng

   • Lợi ích: Hiểu sâu về các không gian hàm, lý thuyết nhóm và phương pháp lặp suy rộng.
   • Use case: Áp dụng vào luận văn, đề tài nghiên cứu liên quan đến giải tích và đại số.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích hàm và đại số trừu tượng

   • Lợi ích: Cập nhật các kết quả mới về tính tách được và độ giao hoán tương đối của nhóm.
   • Use case: Phát triển bài giảng, nghiên cứu chuyên sâu.

3. Kỹ sư và nhà khoa học trong lĩnh vực kỹ thuật và vật lý toán

   • Lợi ích: Áp dụng phương pháp lặp suy rộng vào mô hình thực tế.
   • Use case: Giải quyết các bài toán truyền nhiệt, dao động, điều khiển tự động.

4. Nhà phát triển phần mềm toán học và công cụ tính toán

   • Lợi ích: Tích hợp các thuật toán tính toán nhóm và không gian hàm vào phần mềm.
   • Use case: Phát triển công cụ hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp lặp suy rộng là gì và tại sao nó quan trọng?
   Phương pháp lặp suy rộng là kỹ thuật tìm điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự, giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong giải tích và đại số. Ví dụ, nó được sử dụng để tìm nghiệm duy nhất của các phương trình vi phân trong không gian vô hạn chiều.

2. Tại sao không gian (L^\infty(\Omega)) không tách được?
   Không gian (L^\infty(\Omega)) chứa các hàm bị chặn nhưng không thể xấp xỉ tốt bằng các hàm liên tục có hỗ trợ compact, dẫn đến không thỏa mãn tính tách được. Điều này được chứng minh bằng việc xây dựng các họ tập mở rời nhau không đếm được trong không gian này.

3. Độ giao hoán tương đối của nhóm có ý nghĩa gì trong lý thuyết nhóm?
   Độ giao hoán tương đối (Pr(G)) đo lường xác suất hai phần tử ngẫu nhiên trong nhóm (G) giao hoán với nhau, phản ánh mức độ gần gũi của nhóm với nhóm giao hoán. Ví dụ, nhóm giao hoán có (Pr(G) = 1), trong khi nhóm không giao hoán có giá trị nhỏ hơn.

4. Làm thế nào để tính (Pr(H, G)) cho nhóm con (H) trong nhóm nhị diện (D_n)?
   Sử dụng các công thức tổng quát đã được chứng minh, dựa trên kích thước nhóm con và các tính chất của nhóm nhị diện, có thể tính chính xác (Pr(H, D_n)). Ví dụ, với (H = R_k), công thức (Pr(R_k, D_n) = \frac{n + k}{2n}) áp dụng khi (n) lẻ hoặc (k \nmid \frac{n}{2}).

5. Ứng dụng thực tiễn của các kết quả nghiên cứu này là gì?
   Các kết quả giúp phát triển các thuật toán giải phương trình vi phân, mô hình hóa các hiện tượng vật lý như truyền nhiệt, dao động, và hỗ trợ trong thiết kế hệ thống điều khiển tự động. Ví dụ, phương pháp lặp suy rộng giúp tìm nghiệm ổn định trong các hệ thống phức tạp.

Kết luận

• Đã chứng minh tính tách được của các không gian hàm (L^p(\Omega)) với (1 \leq p < \infty) và (C_0^c(\Omega)), đồng thời chỉ ra (L^\infty(\Omega)) không tách được.
• Xác định công thức tính độ giao hoán tương đối (Pr(H, G)) cho các nhóm con trong nhóm nhị diện và nhóm đối xứng, cung cấp các giá trị cụ thể cho các trường hợp điển hình.
• Phát triển phương pháp lặp suy rộng để tìm điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự, với chứng minh về tính hội tụ và liên tục của nghiệm.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu mở rộng và ứng dụng thực tiễn trong toán học ứng dụng và kỹ thuật.
• Khuyến khích các nhà nghiên cứu và sinh viên ngành toán học, kỹ thuật và phát triển phần mềm toán học tham khảo và áp dụng các kết quả này trong công việc nghiên cứu và ứng dụng.

Next steps: Triển khai các thuật toán số dựa trên phương pháp lặp suy rộng, mở rộng nghiên cứu sang các không gian hàm khác, và phát triển phần mềm hỗ trợ tính toán nhóm.

Call-to-action: Đọc kỹ luận văn để nắm vững các định lý và phương pháp, áp dụng vào nghiên cứu chuyên sâu hoặc phát triển ứng dụng thực tế trong lĩnh vực của bạn.